工程數(shù)學(xué)(06)解線性代數(shù)方程組的直接解法

1、工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)第二節(jié)第二節(jié) 高斯消元法及其計算機實現(xiàn)高斯消元法及其計算機實現(xiàn)第三節(jié)第三節(jié) 用矩陣分解法求解線性方程組用矩陣分解法求解線性方程組第四節(jié)第四節(jié) 誤差分析和解的精度改進(jìn)誤差分析和解的精度改進(jìn)第五節(jié)第五節(jié) 大型稀疏方程組的迭代法大型稀疏方程組的迭代法第三章第三章 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法n第一節(jié)第一節(jié) 求解線性代數(shù)方程組的基本定理求解線性代數(shù)方程組的基本定理第六節(jié)第六節(jié) 極小化方法極小化方法工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)方程組的一般形式線性代數(shù)方程組的一般形式(1)mnAxbAR 用用矩矩陣陣形形式式表表示示為為其其增增廣廣矩矩陣陣記

2、記為為 11112211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11121121222212,nnmmmnmaaabaaabAA baaab 第一節(jié)第一節(jié) 求解線性代數(shù)方程組的基本定理求解線性代數(shù)方程組的基本定理工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)AxbAA 線線性性方方程程組組 有有解解的的充充分分必必定定理理1 1 （線線性性代代數(shù)數(shù)方方程程組組要要條條件件是是：秩秩（ ）= =秩秩有有解解判判定定理理（別別）(1)( )( ),AxbAArnAxb 線線性性方方程程組組有有解解（即即相相容容）時時，秩秩定定理理2 2秩秩則則方方程程

3、組組存存在在唯唯一一解解。(2) ( )( ),r Ar ArnAxb 方方程程組組有有無無窮窮多多解解。通通解解原原方方程程組組一一個個特特解解對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系的的線線性性組組合合。222,|min|mnAxbxxxxAxb 常常見見是是，稱稱為為欠欠定定方方程程組組（方方程程數(shù)數(shù)少少于于未未知知數(shù)數(shù)）此此時時，從從的的無無窮窮多多個個解解中中需需求求出出范范數(shù)數(shù)最最小小的的解解。即即求求使使， 滿滿足足。工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)22()()()|minr Ar AAxbmnbAR AxxbAx 方方程程組組無無解解（即即不不相相容容）。常常見見是是，

4、稱稱為為超超定定方方程程組組（又又稱稱矛矛盾盾方方程程組組）此此時時，向向量量 不不在在 的的列列空空間間之之中中，原原方方程程組組無無解解，但但可可求求出出最最小小二二乘乘意意義義下下的的解解 。即即求求 使使MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn): x=Ab11112211211222221122 nnnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 本本章章介介紹紹求求解解 階階線線性性方方程程組組的的數(shù)數(shù)值值方方法法工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 數(shù)值求解方法有以下三條途徑（三種框架）數(shù)值求解方法有以下三條途徑（三種框架） 直接法：利用直接法：利用Gauss消元或消元或矩陣分解

5、，通過有限次運算矩陣分解，通過有限次運算 可求出精確解?？汕蟪鼍_解。迭代法：構(gòu)造迭代格式，產(chǎn)生迭代序列，通過無限迭代法：構(gòu)造迭代格式，產(chǎn)生迭代序列，通過無限 次迭代過程求解。有限次截斷得近似解。次迭代過程求解。有限次截斷得近似解。極小化方法：構(gòu)造二次模函數(shù)，用迭代過程求二次極小化方法：構(gòu)造二次模函數(shù)，用迭代過程求二次 模函數(shù)的極小化問題，即變分法（經(jīng)模函數(shù)的極小化問題，即變分法（經(jīng)n 次運算，理論上得精確解）要求次運算，理論上得精確解）要求A 對稱正定對稱正定(S.P.D)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 用增廣矩陣表示為用增廣矩陣表示為同解同解初等變換初等變換組組化為同解的上三角方程化為同

6、解的上三角方程將原方程組將原方程組求解求解gUxbAxgUxbAxRAbAxnn 第二節(jié)第二節(jié) 高斯消元法及其計算機實現(xiàn)高斯消元法及其計算機實現(xiàn)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) A b U g )1()1()1(2)1(1)1(2)1(2)1(22)1(21)1(1)1(1)1(12)1(11nnnnnnnbaaabaaabaaa )()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11nnnnnnnbabaabaaa一、順序一、順序高斯消元法高斯消元法工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)12312312323623493261Gaussxxxxxxxxx 用用消消元元法法求求解解方

7、方程程例例組組11/1/21/2/01, 362319432632111313111212111)1( aamaamanbAA增增廣廣矩矩陣陣：解：解：11121,:11L AxL b 1 1L L = =, ,完完成成第第一一步步消消元元 得得工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)(2)(2)(2)223232222212110,/1/( 1)111,11amaaLL L AxL L b = =, ,完完成成第第二二步步消消元元 得得 3332632332321xxxxxx3231231233 /31( 32)( 321)16236213111,1,1xxxxxxxxx 回回代代求求得得故故所所求

8、求解解為為 011032106321)2(A 330032106321)3(A工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 消元法是解線性方程組的基本方法，具有計算簡消元法是解線性方程組的基本方法，具有計算簡單的優(yōu)點，但有時由于主元過小，使得計算結(jié)果嚴(yán)重單的優(yōu)點，但有時由于主元過小，使得計算結(jié)果嚴(yán)重失真失真, ,實際中常采用選主元高斯消元法。實際中常采用選主元高斯消元法。工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)0.0001x1+x2=1 x1+x2=2假設(shè)求解是在四位浮點十進(jìn)制數(shù)假設(shè)求解是在四位浮點十進(jìn)制數(shù)的計算機上進(jìn)行的計算機上進(jìn)行0.1000 10-3 x1 + 0.1000 101 x2 = 0.1000

9、1010.1000 101 x1 +0.1000 101 x2 = 0.2000 101 解解: :本題用機器數(shù)系表示為本題用機器數(shù)系表示為 a11 =0.0001, m21=a21/a11=1/0.0001= 104, 消元消元得得 回代解得回代解得 x2 2=1=1 , x1 1=0=0 嚴(yán)重失真嚴(yán)重失真! ! (本題的準(zhǔn)確解為本題的準(zhǔn)確解為 x1 1= = 10000/9999, x2 2= =9998/9999 ）a22(2)= 0.1000 101 - 104 0.1000 101 = 0.00001 105 - 0.1000 105 (對階計算對階計算) = - 0.1000 10

10、5 0.1000 10-3 x1 + 0.1000 101 x2 = 0.1000 101 -0.1000 105 x2 = -0.1000 105 主元主元a11過小過小工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 選主元基本思想選主元基本思想 用高斯消元法求解線性方程組時用高斯消元法求解線性方程組時, ,為避免小的主元為避免小的主元. .在進(jìn)在進(jìn)行第行第k k步消元前步消元前, ,應(yīng)該在第應(yīng)該在第k k列元素列元素 ( (i=k,ni=k,n) )中找出第中找出第一個出現(xiàn)的絕對值最大者一個出現(xiàn)的絕對值最大者, ,例如例如 ， 再把第再把第i ik k個方程與第個方程與第k k個方程組進(jìn)行交換個方程組進(jìn)

11、行交換, ,使使 成為主元成為主元. .我們我們稱這個過程為選主元稱這個過程為選主元. .由于只在第由于只在第k k列元素中選主元列元素中選主元, ,通常通常也稱為也稱為按列選主元按列選主元. . )(kika()()maxkkki kikkinaa )(kija 如果在第如果在第k k步消元前步消元前, ,在第在第k k個方程到第個方程到第n n個方程所有個方程所有的的x xk k到到x xn n的系數(shù)的系數(shù) ( (i=k,n;j=k,ni=k,n;j=k,n) )中中, ,找出絕對值找出絕對值最大者最大者, ,例如例如 ( )kki ka二、選主元二、選主元高斯消元法高斯消元法工程數(shù)學(xué)工程

12、數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)再交換第再交換第k k, ,ikik兩個方程和第兩個方程和第k k, ,jkjk列列, ,使使 成為主元成為主元. . 稱這個過程為稱這個過程為完全選主元完全選主元. 不論是哪種方式選出主元不論是哪種方式選出主元, ,而后再按上面介紹的計而后再按上面介紹的計 算步算步驟進(jìn)行消元的計算驟進(jìn)行消元的計算, ,一般都稱為選主元的高斯消元法一般都稱為選主元的高斯消元法. .在在實際計算中實際計算中, ,常用按列選主元的高斯消元法常用按列選主元的高斯消元法. .( )k kki ja( )( ),maxk kkki jijk i j naa 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)假設(shè)求解是

13、在四假設(shè)求解是在四位浮點十進(jìn)制數(shù)位浮點十進(jìn)制數(shù)的計算機上進(jìn)行的計算機上進(jìn)行0.0001x1+x2=1 x1+x2=2將兩個方程對調(diào)，得將兩個方程對調(diào)，得 x1+x2=2 0.0001x1+x2=1在四位浮點十進(jìn)制數(shù)的計算機上在四位浮點十進(jìn)制數(shù)的計算機上,上式為上式為 x1+x2=2 即即 x1+x2=2 (0.1000101-0.00001 101x2=1 x2=1（1-0.0001) x2=1x1+x2=2消元，得消元，得解得：解得： x1=1， x2=1現(xiàn)在我們再用列主元法解例現(xiàn)在我們再用列主元法解例2工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)例例3 3 用列主元消去法解方程組用列主元消去法解方程組

14、解解 第一次消元對第一次消元對 因列主元素為因列主元素為a a3131(1)(1), ,故先作行交換故先作行交換E E1 1 E E3 3, ,然后進(jìn)行然后進(jìn)行消元計算可得消元計算可得-0.002x1+2x2+2x3 =0.4 x1+0.78125x2 =1.38163.996x1+5.5625x2+4x3=7.4178 -0.002 2 2 0.4 A(1) |b(1) = 1 0.78125 0 1.3816 3.996 5.5625 4 7.4178 3.996 5.5625 4 7.4178 A(2) |b(2) = 0 -0.61077 -1.0010 -0.47471 0 2.0029 2.0020 0.40371工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 由此回代由此回代, ,得得x x=(1.9272,-0.69841,0.90038)=(1.9272,-0.69841,0.90038)T T與精確解與精確解 x x=(1.9273,-0.69850,0.90042)=(1.9273,-0.69850,