高等數(shù)學(xué)：4-2 洛必達(dá)法則

1、洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)時(shí)時(shí)或或如果當(dāng)如果當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 4.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在都存在

2、且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理:定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .,:該法則仍然成立該法則仍然成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)注注 x證證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFx

3、f則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4

4、 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.

5、.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsin

6、sinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:)sin(cos2sinlim0 xxxxx 例例9 9解解.)2(lim1xexxx 求求)( 1)12(lim1 xxexx原式原式xexxx11)21(lim1 . 3 tetttxt1)21(lim01 令令1)21(2lim0tttete 步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 例例1010解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1 1

7、1 1解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1 13 3解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意

8、：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件三、小結(jié)三、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明.思考題解答思考題解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在一

9、、一、 填空題：填空題：1 1、 洛必達(dá)法則除了可用于求洛必達(dá)法則除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決類型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 用洛必達(dá)法則求下列極限：用洛必達(dá)法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .三、三、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)