第5章不定積分

1、第第5 5章章 不定積分不定積分目錄5.1 不定積分的概念與性質(zhì)5.2 換元積分法5.3 分部積分法壹不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分概原函數(shù)與不定積分概念念01不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)02基本積分公式基本積分公式033例1 為重力加速度）的運動速度為時刻動在任意已知真空中自由落體運ggttvvt()(又知當時間t=0時，路程S=0，求自由落體的運動規(guī)律5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念4解：設(shè)所求運動規(guī)律為 S=S(t)5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念5例25.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念6解：設(shè)所求曲線方程為5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念7 歸納 以上兩個問題，如果除掉物理

2、意義或幾何意義，可以歸結(jié)為同一個問題，就是已知某函數(shù)的導數(shù)求這個函數(shù)本身。 即已知5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念89 回顧: 微分學的基本問題是“已知一個函數(shù), 如何求它的導數(shù).” 積分學包括兩個基本部分: 不定積分和定積分. 本章研究不定積分的概念、 性質(zhì)和基本積分方法. 那么, 如果已知一個函數(shù)的導數(shù), 要求原來的函數(shù), 這類問題, 是微分法的逆問題. 這就產(chǎn)生了積分學. 5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念10問題: 若已知某一函數(shù) F(x) 的導數(shù)為(x), 求這個函數(shù).則稱F(x)是已知函數(shù)(x)在該區(qū)間I上的一個原函數(shù).( )( ) ( )( ) .F xf xdF xf x d

3、x或1、原函數(shù)的定義、原函數(shù)的定義定義1 設(shè)(x)定義在區(qū)間I上, 若存在函數(shù)F(x), 使得對 Ix有 xxcossin 例 因為xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù).，所以 )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).因為所以5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念11定理1 若函數(shù)(x)在區(qū)間I上連續(xù), 則(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在。 簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). (證明略)原函數(shù)存在性定理原函數(shù)存在性定理:定理2 設(shè)F(x)是函數(shù)(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù), 則對任何常數(shù)C , F(x) + C也是函數(shù)(x)的原函數(shù).證 因為( ( )( )(

4、)F xCF xf x問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？所以 F(x) + C 也是函數(shù) (x) 的原函數(shù).5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念12定理3 設(shè)F(x)和G(x)都是函數(shù)(x)的原函數(shù), 則 F(x) G(x) C (常數(shù))證( ( )( )F xG x ( )( )( )( ) 0F xG xf xf x( )( )()F xG xC常數(shù)由拉格朗日定理知由此可見: 若 F(x)是(x)的一個原函數(shù), 則表達式 F(x) + C 可表示 (x) 的所有原函數(shù)。5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念135.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念2、不定積分的定義、

5、不定積分的定義定義2 函數(shù)(x)的全體原函數(shù)稱為(x)的不定積分. 記為( ).f x dx顯然，若F(x)是函數(shù)(x)的一個原函數(shù), 則 ( )( ).f x dxF xC14任意常數(shù)積分號被積函數(shù)CxFdxxf )()(被積表達式積分變量例如cossin.xdxxC5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念15例1 求.5dxx 解,656xx .665Cxdxx 解例2 求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念16例3 求下列不定積分(1) sin xdxsincosxdxxC 解22xdxxC解(2) 2xdx(3) x

6、dx111x dxxC解dxx1)4(cxdxxln1解5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念173、不定積分的幾何意義、不定積分的幾何意義而 是(x)的原函數(shù)一般表達式, 所以它對應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族, 其特點是:( )f x dx (1)積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條(如y =F(x) 沿 y 軸平行移動 |c| 個單位而得到. (如圖)當c0時, 向上移動; 當c 0時,向下移動.oxyxy=F(x)|c|函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念18oxyxy=F(x)( ( )( )(

7、)F xCF xf x(2) 即橫坐標相同點處, 每條積分曲線上相應(yīng)點的切線斜率相等, 都為(x) .從而相應(yīng)點的切線相互平行.注:當需要從積分曲線族中求出過點 的一條積分曲線時,則只須把 代入 y = F(x) + C 中解出 C 即可.00(,)xy00(,)xy 5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念19例4 已知一條曲線在任意一點的切線斜率等于該點橫坐標的倒數(shù), 且過點 求此曲線方程.3( ,5),e解 設(shè)所求曲線為 y = (x) , 則1 dydxx由題意1lnydxx Cx 3 5 x ey由條件知有35ln ,eC 2.C 得故所求曲線為 y = ln|x| + 25.1.1 原函

8、數(shù)與不定積分的概念20不定積分的性質(zhì);, ,d)(d)(d)()()3(.,)(d)()2(;d)(d)(d)(d)(dd)1(為為常常數(shù)數(shù)其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)或或 xxgxxfxxgxfCCxFxxFxxfxxfxfxxfx5.1.2 不定積分的性質(zhì)21基本積分表基本積分表,sindcos)6(,ln1d)5(,ede)4()0(|lnd1)3(),1(11d)2()(d) 1(1CxxxCaaxaCxxCxxxCxxxkCkxxkxxxx 為為常常數(shù)數(shù)5.1.3 基本積分公式22 CxxxCxxxCxxxxCxxxxCxxxCxxxCxxxarctand11)13(arcsind1

9、1)12(cscdcotcsc)11(secdtansec)10(cotdcsc)9(tandsec)8(cosdsin)7(22225.1.3 基本積分公式23導數(shù)公式表積分公式表(sin)cosxx (cos)sinxx cossinxdxxC2(cot)cscxx (sec)sectanxxx 2(tan)secxx sincosxdxxC 2sectanxdxxC2csccotxdxxC sectansecxxdxxC(csc)csccotxxx csc cotcscxxdxxC 21(arcsin)1xx 2arcsin1dxxCx21(arctan)1xx 2arctan1dxxC

10、x以上基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ), 必須記牢！24例5 求下列不定積分3(3)dxx x2(2 ).xxxe dxedx解3(1) dxx-33dxx dxx解2(2) xxdx522xxdxx dx解-21 2xC 7722125712xCxC(4) 2xxe dx433dxxdxxx解133xC (2 )ln2xeCe5.1.3 基本積分公式25直接積分法: 利用基本積分公式和性質(zhì)求不定積分的方法稱為直接積分法.用直接積分法可求出某些簡單函數(shù)的不定積分.例6 求下列不定積分23(2)(1)xdxx2233(2)44xxxdxdxxx解2311144dxdxdxxxx242ln xCxx

11、5.1.3 基本積分公式264222(2)1xxdxx424222221 111xxxxdxdxxx 解222(1)11xdxx221(1)1xdxdxx31arctan3xxxC2(3) cos2xdx21coscos22xxdxdx解1(sin )2xxC5.1.3 基本積分公式27(cossin )xx dxsincos.xxC例7 一種流感病毒每天以 的速率增加, 其中t是首次爆發(fā)后的天數(shù), 如果第一天有50個病人, 試問在第10天有多少個人被感染？解 設(shè)在第t天有Q(t)個人被感染, 則 2( )(2403 )Q ttdt22403tdtt dt23120.ttCcos2(4).si

12、ncosxdxxx22cos2cossin.sincossincosxxxdxdxxxxx解天人/)3240(2tt5.1.3 基本積分公式28由題意知當 t = 1時, Q(t) = 50. 代入上式可解出 C = 69 , 則23( )12069Q ttt10( )10931tQ t即在第10天有10931個人被感染.5.1.3 基本積分公式例例8 8求求(103sin)xxx dx解解：(103sin)xxx dx103sinxdxxdxxdx1121013cos1ln1012xxxC321023cosln103xxxC5.1.3 基本積分公式29例例9 9求求32(1)xd xx解解：

13、231(3)xdxxx 32(1)xd xx322331xxxd xx2313xdxdxdxdxxx2133ln|2xxxCx5.1.3 基本積分公式30解解：例例1010 求求421xd xx421xd xx42111xd xx222(1)(1)11xxd xx221(1)1xd xx2211x d xd xd xx2arctan3xxxC5.1.3 基本積分公式31例例1111求求11co s 2d xx解解：11co s 2d xx212 co sd xx2112co sd xx21sec2xd x1tan2xC5.1.3 基本積分公式32檢驗5.1.3 基本積分公式33貳換元積分法第一

14、類換元積分法第一類換元積分法01第二類換元積分法第二類換元積分法0234一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法(湊微分法湊微分法)例例1求求2xe dx驗證驗證xxe dxeC2xe dx2122xedx21(2 )2xe dx2x u令12ue du12ueC2ux 回代 212xeC21()2xeC 2xe分析分析5.2.1 第一類換元積分法351( ) , ),( ), ( )( )uxa bxf uF ufxx dx定理 （第一類換元積分法）設(shè)在上可導，（在，上有定義并有原函數(shù)（則cuFduuf)()( ( )Fxcux )（令)(xu回代5.2.1 第一類換元積分法36證明證明:

15、由復合函數(shù)的求導法則驗證得: )()()()(xuFCxFdxdxu( ) ( )( )uxf ux)()(xxf5.2.1 第一類換元積分法37注注解解 在一般情況下：在一般情況下：設(shè)設(shè)則則)()( ufuF CuFduuf)()(使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將化為化為 dxxg)( dxxxf)( )( 5.2.1 第一類換元積分法38921)xdx例2求（解解:dxx9) 12(91(21)(21)2xdxux12令duu921101210uC12 xu回代Cx1012201）（5.2.1 第一類換元積分法39cos3xdx例3求解解:xdx3cos)3(3cos31xxd

16、ux 3令uducos311sin3uCxu3回代Cx 3sin315.2.1 第一類換元積分法4022 cosxx dx例4求cosudu解解:22cosxx dx22cos()x d xsin uc2sin xc5.2.1 第一類換元積分法41 有上面的例題可以看出,用第一類還原積分法計算積分時,關(guān)鍵是把被積表達式湊成兩部分,使其中一部分為 ( ),dx( ) ( ).xfx的函數(shù)另一部分為 因此,通常有把第一類還原積分成為湊微分法. 熟練計算以后熟練計算以后,可以不寫出換元這可以不寫出換元這一步一步,直接計算直接計算.5.2.1 第一類換元積分法42121xedxx例5求解解:dxxex

17、211111()xxedeCx5.2.1 第一類換元積分法436cscxdx例求xdxcsc解解:22sincos122sin2sincos22xxdxdxxxxdxxx)2cot2(tan21)2()2cot2(tanxdxxCxx2sinln2coslnCx2tanlnCxxsincos1lnCxxcotcscln5.2.1 第一類換元積分法44secxdx例7求解解:xdxsec1cosdxx1()2sin()2dxxln csc()cot()22xxCCxxtansecln(利用例題6結(jié)果)5.2.1 第一類換元積分法452218dxax例求解解:dxxa2212211( )dxxaa

18、211( )1 ( )xdxaaa1arctanxCaa22arcsin0)dxxCaaax類似地，可得（5.2.1 第一類換元積分法462219dxxa例求解解:dxax221)(axaxdxdxaxaxaxaxa)()()(21dxaxaxa)11(21)()(21axaxdaxaxda1lnln2xaxaCaCaxaxaln215.2.1 第一類換元積分法47小結(jié)：第一類換元積分法（湊微分法）的基本步驟：對于不定積分( )g x dx，把被積表達式設(shè)法湊成( ) ( )( ) ( )( ),g x dxfxx dxfx dx常用的湊微分公式 見下頁附表.令( ),ux則( ) ( )(

19、)( )( )g x dxfxx dxf u duF uC.把( )ux代回，得( )( )( ) ( )g x dxf u duF uCFxC5.2.1 第一類換元積分法48序號積分類型變量代換1()() ()f axb dxf axb d axbauax b1()2() ()fxdxfx dxxux11()() ()(0)kkkkf axb xdxf axb d axb kkakuaxb21111()()()fdxfdxxxx 1ux()()xxxxf ee dxf edexue1(ln)(ln)(ln)fxdxfx dxxlnux5.2.1 第一類換元積分法49序號積分類型變量代換(si

20、n )cos(sin )fxxdxfx dsinxsinux(cos)sin(cos ) cosfxdxfx dx cosux2(tan )sec(tan ) tanfxxdxfx dxtanux2(cot )csc(cot ) cotfxxdxfx dx cotux21(arcsin )(arcsin ) arcsin1fxdxfx dxxarcsinux21(arctan )(arctan ) arctan1fxdxfx dxxarctanux( )ln ( )ln ( ) ln ( )( )xfxdxfx dxxln( )ux5.2.1 第一類換元積分法50例例12 求求3sin xdx

21、解解：322sinsinsin(1 cos) cosxdxxxdxx dx 2(cos )cos(cos )dxxdx31coscos3xx C5.2.1 第一類換元積分法51例例13 求求2sin xdx解解：21 cos2sin2xxdxdx11cos222dxxdx11sin24xx C5.2.1 第一類換元積分法52注注解解sincos.xxdx求求例例14解法解法1：同一個積分可以有幾個不同的解法同一個積分可以有幾個不同的解法,其結(jié)果在形式其結(jié)果在形式上不同上不同,但實質(zhì)上它們只相差一個常數(shù)但實質(zhì)上它們只相差一個常數(shù).檢驗結(jié)果是否正確檢驗結(jié)果是否正確, ,只要對所得的結(jié)果求導即可只要

22、對所得的結(jié)果求導即可. .sincosxxdxsin(sin )xdx21sin2xC解法解法2：sincosxxdxcos(cos )xdx 21cos2xC 解法解法2：sincosxxdx1sin22xdx1sin2(2 )4xdx1cos24xC 5.2.1 第一類換元積分法53定理定理2 設(shè) )(tx是單調(diào)的、可導的函數(shù),并且 0)( t,又設(shè) )()(ttf有原函數(shù))(tF, ,則有換 元公式 dxxf)()(tx令)()(tdtf dtttf)()( CtF)(）（回代xt11( )FxC5.2.2 第二類換元積分法54使用第二換元法關(guān)鍵是恰當?shù)倪x擇變換函數(shù)使用第二換元法關(guān)鍵是恰

23、當?shù)倪x擇變換函數(shù) ,tx對于對于 ,xt要求其單調(diào)可導，要求其單調(diào)可導， , 0 t且其反函數(shù)且其反函數(shù) xt1下面通過一些例子來說明下面通過一些例子來說明存在存在5.2.2 第二類換元積分法5511dxx例10求解解:求這個定積分的困難在于積分式中含有根式x,為了去掉根式. 令xt,即22(0),()2xttdxd ttdtdtttdxx1211121dtdttCtt)1ln( 2xt 回代2ln(1)xxC5.2.2 第二類換元積分法563111xdxx例求解解:6xt令63253,6xtxtxtdxt dt則823611xtdxdttx642216 11tttdtt 7531116arc

24、tan 753tttttC6566666266arctan75x xxxxxC5722112dxax例求解解:22 ,ax此積分困難也在被積表達式中有根式22axt若仍像上面那樣令，并不能使之有理化。sin()22xatt 令22222sincos ,cosaxaatatdxatdt則221coscosatdxdtdttCatax于是，2arcsinxt 回代Caxarcsin5822113(0)dxaxa例求解解:tan ,(),22xatt令2222222tan1tansec ,secaxataatat dxatdt則221dxxa于是2secsecatdtatsectdt利用例題7的結(jié)果

25、得221ln sectandxttCxa5.2.2 第二類換元積分法5922secxata22xaatx221dxax因此22lnxaxCaa22lnlnxaxCa2211ln(ln ).xxaCCCa221dxxa類似可得22ln xxaCsectantanttxxta為了把及換成 的函數(shù)，根據(jù)做輔助直角三角形60通過上面的例子看到,當被積函數(shù)含有根式 22xa 22xa或時,可將被積表達式作如下的變換22(1)ax含有時,sinxat令22(2)xa含有時，tanxat令22(3)xa含有時，secxat令n（4） 含有 ax+b時，1()nntaxbxtba令即5.2.2 第二類換元積分

26、法61221211dxxx例求解解:1,xt令211( ),dxddttt 2211dxxx2221()11tdttt21tdtt 2211(1)21d tt 12221(1)(1)2td t 21212tC 21xCx 62小結(jié) 第一類換元積分法與第二類換元積分法本質(zhì)上都是變量代換法，當待求的不定積分不能由運算性質(zhì)和基本積分公式求出時，通過變量代換轉(zhuǎn)化為可利用運算性質(zhì)和基本積分公式求不定積分的形式，兩個換元法是同一過程的兩個不同方面，因此，待運算熟練后也可不必嚴格區(qū)分，只需把握待定情形用相應(yīng)的變量代換即可：( ) ( )( )f x dxftt dt第一類換元積分法第二類換元積分法63叁分部

27、積分法分部積分公式應(yīng)用分部積分公式應(yīng)用01不同類型函數(shù)乘積不同類型函數(shù)乘積02循環(huán)積分循環(huán)積分0364混合運算混合運算04遞推公式遞推公式0565ln, arctan,sinxxdxxdx exdx定理5 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)的導數(shù),則udvuvvdu直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計算問題;但對形如等類型的不定積分,下面利用兩個函數(shù)乘積的求導法則來推得分部積分法.證 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu ,對此式兩邊同時求不定積分, 得采用這兩種方法卻無效.66而不定積分 易于計算,udvvdu則可采用分部積分公式, 使計算大為簡化

28、.udvuvvduuvdxuvvudx注1:不定積分 不易計算,例1 求解 (1) 設(shè) (2)arctanarctanxxxdx原式2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxCudvdxxex）（ 1dxxarctan2）（，則，xxedxedvxuv由分部積分公式得dxexexxcexexxxxxdedxxe67(2). 要比 容易積出.( ) ( ).f x g x dxvduudv注2:分部積分法是基本積分法之一,常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分這類積分在具體計算過程中,如何正確地選定u和v卻顯得非常重要.一般說來要考慮以下兩點:(1). v要容易求得;dx

29、xgxf)()(dxexexdexexdxedxxexxxxxx222221 ）若（后一積分更難求68例2 求cosxxdx cossinxxdxxdx解sinsinsincosxxxdx xxx C一般按“反對冪指三”的順序, 后者先湊入的方法確定 u 和 v .69比原積分更難積出.例3 求下列不定積分21 (2)arctan2xdx原式否則若 2221coscoscossin222xxxxdxxdxxxdx221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxC lnlnlnxd

30、xxxxdx1lnlnxxxdxxxxCx dxxxarctan2）（dxxln1 ）（7022ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xx dx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解 原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1) (1)xxxxC 711122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解ln(4).xdxx2ln2lnxxxdx122ln2xxx dx練習：22(1)(2) (2)cosxx e dxxxdx2ln4.xxx C72dxexx21 ）（xdex-22-2-dxeexxxdxexexxx-22

31、-xxexdex-22-dxexeexxxx-222-Cexeexxxx-22-2-dxxxcos)2(22）（xdxsin)2(2dxxxxxsin2sin)2(2cxxxxxsin2cos2sin)2(2參考答案：73例4 求sinxexdx sinsinxxexdxxde解這是一個關(guān)于 的方程,移項并兩邊同除以2,得sinxexdx1sin(sincos )2xxexdxexxC注:有些不定積分需要將積分的幾種方法綜合起來使用.sinsinxxexe dxsincosxxexexdxsincosxxexxdesincossinxxxex exexdx行嗎？湊成xdexsin還有不同的解法

32、嗎？743cos(2)sinxxdxx例5 求(1)xe dx解 令2, ,2xtxt dxtdt則2tetdt原式2ttde22ttteeC22ttteedt22111csc2sin2xdxdxx3sin sinxdxx解 原式221( csccsc)2xxxdx 21( csccot )2xxxC22xxxeeC先換元再分部積分先湊微分再分部積分75sin xx( )xfx dx是 f(x) 的一個原函數(shù), 求解 ( )( )( )xf x dxxf xf x dx因為(4)已知sin xx是f(x)的一個原函數(shù)1sin( )xf x dxCx即1cossinsin ( )()xxxxxf

33、x dxC CCxx2sincossin( )()xxxxf xxxcos2sinxxxCx所以76例6求不定積分.1arcsindxxx 解xdxdxxx 1arcsin21arcsinxdxxxarcsin12arcsin12 dxxxxxx 11arcsin12.2arcsin12Cxxx 綜合練習題77例7 求不定積分.1arctan2dxxxx 解dxxxx 21arctan tdttdtttxxdxsecsectan11tan11222.)1ln()tanln(sec2CxxCtt 原式.)1ln(arctan122Cxxxx xdxxx 2211arctan178例8求不定積分.

34、)1ln(dxx 解令,xt 則,2tx 2)1ln()1ln(dttdxx )1ln()1ln(22tdttt dttttt 1)1ln(22 tdtdtttt1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22Cttttt .2)1ln()1(Cxxxx 還有解法嗎？先分部積分再換元79例9解法 1求.33/1dxxeIx 先分部積分,設(shè),1,33/1dxxdveux 則,23,313/23/23/1xvdxexdux 于是 dxeexIxx3/13/121233/2再設(shè),3tx 則,32dttdx 于是后換元.dtteetdtetdxetttx 633223/1dtteetdtetdxetttx 633223/1 .)22(36322Cettdteteettttt 代入上式, CexxexIxx 3/13/1)22(23233233/2.)1(33/13Cexx 得例9解法 1求.33/1dxxeIx 8081解法 2 先換元, 例9求.33/1dxxeIx 后分部積分.設(shè),3tx ,32dtt