動(dòng)手操作與運(yùn)動(dòng)變換型問(wèn)題--知識(shí)講解（提高）

1、word中考沖刺：動(dòng)手操作與運(yùn)動(dòng)變換型問(wèn)題知識(shí)講解提高責(zé)編：常春芳【中考展望】1對(duì)于實(shí)踐操作型問(wèn)題，在解題過(guò)程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價(jià)值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化和“再創(chuàng)造的過(guò)程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識(shí)與綜合能力，這是?全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)?的根本要求之一，因此，近年來(lái)實(shí)踐操作性試題受到命題者的重視，屢次出現(xiàn).2估計(jì)在今年的中考題中，實(shí)踐操作類(lèi)題目依舊是出題熱點(diǎn)，仍符合常規(guī)題型，與三角形的全等和四邊形的性質(zhì)綜合考查需具備一定的分析問(wèn)題能力和歸納推理能力圖形的設(shè)計(jì)與操作問(wèn)題，主要分為如下一些類(lèi)型： 1設(shè)計(jì)好的圖案，求設(shè)計(jì)方案(如：在什么根本圖案的根底上，進(jìn)行何種圖形變換等) 2利用

2、根本圖案設(shè)計(jì)符合要求的圖案(如：設(shè)計(jì)軸對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形，面積或形狀符合特定要求的圖形等) 3圖形分割與重組(如：通過(guò)對(duì)原圖形進(jìn)行分割、重組，使形狀滿(mǎn)足特定要求) 4動(dòng)手操作(通過(guò)折疊、裁剪等手段制作特定圖案) 解決這樣的問(wèn)題，除了需要運(yùn)用各種根本的圖形變換(平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、位似)外，還需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識(shí)對(duì)圖形進(jìn)行分析、計(jì)算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計(jì) 另外，由于折疊操作相當(dāng)于構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)變換，因此折疊問(wèn)題中，要充分利用軸對(duì)稱(chēng)變換的特性，以獲得更多的圖形信息必要時(shí)，實(shí)際動(dòng)手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效從歷年中考來(lái)看，動(dòng)態(tài)問(wèn)題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是

3、最低的.動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類(lèi)，一類(lèi)是代數(shù)綜合題，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解.另一類(lèi)就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考查.所以說(shuō)，動(dòng)態(tài)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有時(shí)機(jī)拼高分. 【方法點(diǎn)撥】 實(shí)踐操作問(wèn)題：解答實(shí)踐操作題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答實(shí)踐操作題的根本步驟為：從實(shí)例或?qū)嵨锍霭l(fā)，通過(guò)具體操作實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問(wèn)題，檢驗(yàn)猜測(cè)在解答過(guò)程中一般需要經(jīng)歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索

4、、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納等實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程，利用自己已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論，進(jìn)而解決問(wèn)題動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題：1、動(dòng)態(tài)幾何常見(jiàn)類(lèi)型 1點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題一個(gè)動(dòng)點(diǎn)2線動(dòng)問(wèn)題二個(gè)動(dòng)點(diǎn)3面動(dòng)問(wèn)題三個(gè)動(dòng)點(diǎn)2、運(yùn)動(dòng)形式 平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)3、數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想4、解題思路 1化動(dòng)為靜，動(dòng)中求靜2建立聯(lián)系，計(jì)算說(shuō)明3特殊探路，一般推證【典型例題】類(lèi)型一、圖形的剪拼問(wèn)題1直角三角形通過(guò)剪切可以拼成一個(gè)與該直角三角形面積相等的矩形方法如下(如下圖)：請(qǐng)你用上面圖示的方法，解答以下問(wèn)題：(1)對(duì)以下圖中的三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成假設(shè)干塊，再拼成一個(gè)

5、與原三角形面積相等的矩形；(2)對(duì)以下圖中的四邊形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成假設(shè)干塊，再拼成一個(gè)與原四邊形面積相等的矩形【思路點(diǎn)撥】 對(duì)于三角形的分割重組，要想拼成一個(gè)矩形，那么分割時(shí)必須構(gòu)造出直角來(lái)，例如中通過(guò)作中位線的垂線段而分割出兩個(gè)直角三角形對(duì)于四邊形的分割重組，可以先把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題，再利用三角形的分割重組方法進(jìn)行【答案與解析】解：(1)如下圖： (2)如下圖： 【總結(jié)升華】按照三角形的剪拼方法，探索規(guī)律，將任意四邊形先分割成三角形，再進(jìn)行剪拼，使學(xué)生經(jīng)歷由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的探索過(guò)程舉一反三：【變式】2022綏化把一張正方形紙片如圖、圖對(duì)折兩次后，再按如圖挖去一個(gè)三角形小孔，那么展

6、開(kāi)后圖形是A B C D【答案】A .當(dāng)正方形紙片兩次沿對(duì)角線對(duì)折成為一直角三角形時(shí)，在直角三角形中間的位置上剪三角形，那么直角頂點(diǎn)處完好，即原正方形中間無(wú)損，且三角形關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱(chēng)，三角形的AB邊平行于正方形的邊再結(jié)合C點(diǎn)位置可得答案為C應(yīng)選C類(lèi)型二、實(shí)踐操作2如下圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH1求證：APB=BPH；2當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；3設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是

7、否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個(gè)最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【思路點(diǎn)撥】1要證APB=BPH，由內(nèi)錯(cuò)角APB=PBC，即證PBC=BPH，折疊后EBP=EPB=90°，再由性質(zhì)等角的余角相等即可得證2PHD的周長(zhǎng)為PD+DH+PH過(guò)B作BQPH構(gòu)造直角三角形，再利用三角形全等：ABPQBP和BCHBQH證明AP=QP， CH=QH，可得其周長(zhǎng)為定值3，關(guān)鍵是用x來(lái)表示BE、CF過(guò)F作FMAB，垂足為M，先由邊角關(guān)系得EFMBPA，得=x在RtAPE中可由勾股定理表示出BE，再由，很容易用x表示出S，再配方求最值【答案與解析】解：1PE=BE，EBP=EPB 又EPH=EBC=90

8、°，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH 又ADBC，APB=PBCAPB=BPH2PHD的周長(zhǎng)不變，為定值 8 證明：過(guò)B作BQPH，垂足為Q由1知APB=BPH，又A=BQP=90°，BP=BP，ABPQBPAP=QP, AB=BQ 又 AB=BC，BC = BQ又C=BQH=90°，BH=BH，BCHBQH CH=QHPHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. 3過(guò)F作FMAB，垂足為M，那么.又EF為折痕，EFBP.，又A=EMF=90°，EFMBPA=x 在RtAPE中，解得，又四邊形PEFG與四邊形B

9、EFC全等，即：配方得，當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6【總結(jié)升華】此題將函數(shù)和幾何知識(shí)較好的綜合起來(lái)，對(duì)能力的要求較高此題考查了三角形全等、正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的面積公式、折疊的性質(zhì)、二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)難度較大，是一道很好的壓軸題，通過(guò)此題能夠反映出學(xué)生的思維能力及數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，解答此題要學(xué)會(huì)將題目中的量與待求量聯(lián)系起來(lái)此題的關(guān)鍵是證明幾組三角形的全等，以及用x來(lái)表示S3劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)圖、圖中，B90°，C60°，A30°，BC6 cm；圖中，D90°，E45°，DE4 cm圖是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一

10、個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將DEF的直角邊DE與ABC的斜邊AC重合在一起，并將DEF沿AC方向移動(dòng)在移動(dòng)過(guò)程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)(1)在DEF沿AC方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸_(填“不變、“變大或“變小)(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}：當(dāng)DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行? 問(wèn)題：當(dāng)DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形? 問(wèn)題：在DEF的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得FCD15°？如果存在，求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，

11、請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程【思路點(diǎn)撥】 此題以動(dòng)三角形為背景，考查特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理【答案與解析】 解：(1)變小(2)問(wèn)題：B90°，A30°，BC6，AC12FDE90°，DEF45°，DE4，DF4連結(jié)FC，設(shè)FCAB， FCDA30°在RtFDC中，DCADACDC即ADcm時(shí)，F(xiàn)CAB問(wèn)題：設(shè)ADx，在RtFDC中，F(xiàn)C2DC2+FD2(12-x)2+16(i)當(dāng)FC為斜邊時(shí)，由AD2+BC2FC2得，(ii)當(dāng)AD為斜邊時(shí)，由得，(不符合題意，舍去)(iii)當(dāng)BC為斜邊時(shí)，由得，1442480，方程無(wú)解

12、另解：BC不能為斜邊FCCDFC+AD12FC、AD中至少有一條線段的長(zhǎng)度大于6BC不能為斜邊由(i)、(ii)、(iii)得，當(dāng)cm時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形問(wèn)題：解法一：不存在這樣的位置，使得FCD15°理由如下：假設(shè)FCD15°由FED45°，得EFC30°作EFC的平分線，交AC于點(diǎn)P，那么EFPCFPFCP15°，PFPCDFPDFE+EFP60°PD，PCPF2FD8PC+PD8+不存在這樣的位置，使得FCD15°解法二：不存在這樣的位置，使得FCD15°假設(shè)FCD15

13、°，設(shè)ADx由FED45°，得EFC30°作EHFC，垂足為H HEEF，CEACADDE8-x，且FDCEHC90°，DCF為公共角，CHECDF又，整理后，得到方程(不符合題意，舍去)，(不符合題意，舍去)不存在這樣的位置，使得FCD15°【總結(jié)升華】此題的突破點(diǎn)是將圖形靜止于所要求的特殊位置，根據(jù)題中條件得出相應(yīng)的結(jié)論此題涉及分類(lèi)討論思想、方程思想，有一定的難度舉一反三：【高清課堂：圖形的設(shè)計(jì)與操作及運(yùn)動(dòng)變換型問(wèn)題 例3 】【變式】如圖，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DCOB，OB=6,CD=BC=4，BC

14、OB于B,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，開(kāi)發(fā)區(qū)綜合效勞管理委員會(huì)其占地面積不計(jì)設(shè)在點(diǎn)P4,2處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路路寬不計(jì)，并且是這條路所在的直線將直角梯形OBCD分成面積相等的兩局部，你認(rèn)為直線是否存在？假設(shè)存在求出直線的解析式,假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】解：如圖，存在符合條件的直線，                       

15、     過(guò)點(diǎn)D作DAOB于點(diǎn)A，那么點(diǎn)P4，2為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心             過(guò)點(diǎn)P的直線只要平分的面積即可.易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H，使得直線PH將面積平分，從而，直線PH平分梯形OBCD的面積.即直線PH為所求直線                

16、0;         設(shè)直線PH的表達(dá)式為且過(guò)點(diǎn)直線OD的表達(dá)式為解之，得點(diǎn)H的坐標(biāo)為PH與線段AD的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為解之，得直線的表達(dá)式為類(lèi)型三、平移旋轉(zhuǎn)型操作題4兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中A60°，AC1固定ABC不動(dòng)，將DEF進(jìn)行如下操作：(1)如下圖，DEF沿線段AB向右平移(即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng))，連結(jié)DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷地變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積(2)如下圖，當(dāng)D點(diǎn)移動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜測(cè)四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由(3)如下

17、圖，DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)，點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連結(jié)AE，請(qǐng)你求出sin的值 【思路點(diǎn)撥】平移時(shí)，CFAD，ADBE，根據(jù)等底等高的特征，將求梯形面積轉(zhuǎn)化為求，旋轉(zhuǎn)時(shí)需知道ABE90°，BECB，運(yùn)用相似等知識(shí)解答【答案與解析】 【解析】(1)過(guò)C點(diǎn)作CGAB于G，如圖 在RtAGC中，AB2，(2)菱形CDBF，F(xiàn)CBD，四邊形CDBF是平行四邊形DFAC，ACB90°，CBDF，四邊形CDBF是菱形(3)解法一：過(guò)D點(diǎn)作DH AE于H，如圖， 那么，又，在RtDHE中，解法二：ADHAEB，即，【總結(jié)升華】

18、 此題是平移和旋轉(zhuǎn)類(lèi)型的操作題，需知道平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，這兩種變換都是全等變換.類(lèi)型四、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題52022石峰區(qū)模擬如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，4，動(dòng)點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，M是線段AC的中點(diǎn)將線段AM以點(diǎn)A為中心，沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段AB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，交直線BE于點(diǎn)D，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒1當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，求t的值；2當(dāng)t為何值時(shí)，SBCD=？【思路點(diǎn)撥】1由于CAB=90°，易證得RtCAORtABE；當(dāng)B、D重合時(shí)，BE的長(zhǎng)即OC長(zhǎng)，根據(jù)AC、AB的比例關(guān)系，即可得到AO、BE的比例關(guān)系，由此求得t的值2求BCD的面積時(shí)，可以CD為底、BD為高來(lái)解，那么表示出BD的長(zhǎng)是關(guān)鍵；RtCAORtABE，且知道AC、AB的比例關(guān)系，即可通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)一步得到BD的長(zhǎng)，在表達(dá)BD長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)分兩種情況考慮：B在線段DE上，B在ED的延長(zhǎng)線上【答案與解析】解：1CAO+BAE=90°，ABE+BAE=90°，CAO=ABERtCAORtABEt=82由RtCAORtABE可知：BE=t，AE=2當(dāng)0t8時(shí)，SBCD=CDBD=2+t4=t1=t2=3當(dāng)t8時(shí)，SBCD=CDBD=2+t4