數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問題和其解決方法

1、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問題及其解決方法 數(shù)學(xué)概念是事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基本要素。只有正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念，才能有效地進(jìn)行判斷、解釋、推理、運算與解決問題。因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位，一直是教學(xué)關(guān)注的重點之一。一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問題在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師往往先舉幾個引入例，然后提出概念定義，在黑板上抄寫定義，并要求學(xué)生復(fù)述，接著講解例題，最后是練習(xí)、鞏固。這一模式延續(xù)了數(shù)十年。新課程實施以來，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式逐漸淡出了課堂。探究式、體驗式、小組合作等學(xué)習(xí)方式被廣泛運用到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中來，課堂教學(xué)發(fā)生了前所未有的積極變化，激發(fā)了學(xué)

2、生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性。然而，伴隨這一積極變化的同時，數(shù)學(xué)概念教學(xué)出現(xiàn)的新問題也不容忽視。主要表現(xiàn)為以下幾個方面。1. 兜圈子，繞彎子不少教師注重在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境，注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索新知識的強(qiáng)烈愿望，取得了良好的效果。然而，問題情境也是一把“雙面刃”，運用不當(dāng)，會產(chǎn)生“冗余效應(yīng)”和“分散注意效應(yīng)”。例如，某位數(shù)學(xué)教師在“對稱圖形”教學(xué)中，設(shè)計了“在優(yōu)美的小提琴協(xié)奏曲'梁?；?#39;選段的渲染中，學(xué)生開始觀察'碧草清清花盛開，彩蝶雙雙久徘徊'的優(yōu)美畫面”的導(dǎo)入情境，接著提問學(xué)生：蝴蝶有什么特點？學(xué)生答道：“蝴蝶很漂亮”“一只蝴蝶大，一只蝴蝶小”不

3、難看出，上述導(dǎo)入情境雖賞心悅目，但充斥了許多與教學(xué)內(nèi)容無關(guān)的信息，離數(shù)學(xué)中的對稱圖形知識相去甚遠(yuǎn)。導(dǎo)入活動雖然占用了較長時間，卻沒有一個學(xué)生從對稱的角度指出蝴蝶圖案的特點，未達(dá)到教學(xué)設(shè)計的預(yù)期目標(biāo)。顯然，這種兜圈子、繞彎子的情境活動設(shè)計，轉(zhuǎn)移了學(xué)生的數(shù)學(xué)注意力。這是眾多類似事例（如通過“烏鴉喝水”故事的模擬演示，讓學(xué)生理解“占有空間”的含義等）中的一個典型案例。當(dāng)前，概念教學(xué)設(shè)計中存在的簡單問題復(fù)雜化現(xiàn)象，與一部分教師誤以為情境一定要有新花樣來吸引學(xué)生有著一定的關(guān)系。凡事要講求效率，兜圈子、繞彎子、華而不實、教學(xué)效率低下都是不可取的。我們要珍惜課堂上的每一分鐘，牢固樹立課堂教學(xué)效率意識，上好每

4、一節(jié)數(shù)學(xué)概念課。2. 重感知，輕認(rèn)知感知是人們認(rèn)識事物不可或缺的心理過程，是對事物外部特征的直接反映，屬于認(rèn)識過程的感性階段。感知所提供的對事物的認(rèn)識是簡單的、表面的、零散的。感知不等于認(rèn)知。例如，學(xué)生感知到的“圓是由一圈彎彎的線組成的”“圓沒有角，彎彎的，邊很光滑”等外部特征并不等于“圓”的本質(zhì)特征，也不是對“圓”的認(rèn)知。因為這些外部特征均不涉及“圓”的“一中同長”的本質(zhì)。然而，在概念教學(xué)，尤其是幾何圖形概念教學(xué)中，重感知、輕認(rèn)知的現(xiàn)象卻不在少數(shù)。例如，學(xué)習(xí)“角”，教師帶了很多“角”的物品，讓學(xué)生看一看、摸一摸，感知角的形狀是“尖尖的”，以銳角的特征去表征角的本質(zhì)特征；然后畫出若干個與銳角形

5、狀相關(guān)的圖形，判斷它們是不是角。再如，在“三角形的穩(wěn)定性”教學(xué)中，比較普遍的做法是通過教師演示或讓學(xué)生用手拉三角形木架感知是否堅固、不變形，并以此解釋三角形的“穩(wěn)定性”，而忽視從“三角形三條邊的長度一定時，三角形的形狀和大小不變”上引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的穩(wěn)定性，誤導(dǎo)了學(xué)生。筆者認(rèn)為，考慮到小學(xué)生的思維處于形象思維逐步向抽象思維過渡的發(fā)展階段，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，重視直觀性、感知、體驗，無疑是必要的。但如果止步于對事物的感知，忽視對概念本質(zhì)特征的抽象與概括，這樣做實際上低估了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，勢必影響其抽象、概括能力和推理能力的發(fā)展。3. 重記憶，輕理解在概念教學(xué)中，重記憶、輕理解的現(xiàn)象仍然比較普遍。

6、主要表現(xiàn)為以下兩點。其一是偏重形式記憶。數(shù)學(xué)中有一些概念是以符號或式子的形式表示其意義的，而且在運用中又往往直接和這些符號或式子打交道。由此造成一些教師在教學(xué)中疏于引導(dǎo)學(xué)生對概念意義的理解，偏重于學(xué)生記憶概念的外部表現(xiàn)形式。例如，在“倒數(shù)”概念教學(xué)中，部分教師喜歡從倒數(shù)的外部特征（分子、分母上下顛倒位置）入手，類比語文中特殊結(jié)構(gòu)的復(fù)名詞（“蜜蜂、蜂蜜”“天上、上天”等）引入“倒數(shù)”的概念，并且引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注作為倒數(shù)的分子、分母互相顛倒這一形式上的特點。這樣教學(xué)，效果似乎很好，但卻淡忘了“倒數(shù)”概念的應(yīng)用意義與作用，是一種舍本求末的做法。事實上也確實如此。如某教師在“倒數(shù)”教學(xué)中遇到學(xué)生提出“六分

7、之四的倒數(shù)是九分之六”時，頓時蒙了：“六分之四與九分之六是互為倒數(shù)嗎？倒數(shù)怎么會是同分母分?jǐn)?shù)呢？”這位教師為什么會發(fā)蒙呢？原來，他雖熟諳“乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”這一定義，但在潛意識中還是以“分子、分母互相顛倒”作為“倒數(shù)”概念表征的緣故。教學(xué)中類似的例子不少，如強(qiáng)調(diào)負(fù)數(shù)是帶“”號的數(shù)，造成相當(dāng)多的學(xué)生在學(xué)了字母表示數(shù)以后，總認(rèn)為a一定是正數(shù)，a才是負(fù)數(shù)。經(jīng)驗告訴我們，無論圖形還是概念、名詞，不理解其意義，單純的、機(jī)械的形式記憶是靠不住的。形式記憶會影響學(xué)生后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，是一種短視的教學(xué)行為。其二是偏重概念復(fù)述。概念的定義或描述是對概念本質(zhì)特征和外延的說明，它是判斷、解釋、推理和應(yīng)用的基礎(chǔ)

8、。怎樣讓學(xué)生掌握概念？有些教師只是簡單地讓學(xué)生復(fù)述一遍概念的定義。結(jié)果，學(xué)生雖會背概念，但遇到具體問題時，卻茫然不知如何用概念，即所謂“死知識”。例如，在探索四分之一+二分之一時，雖然許多學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義熟記于心，但卻有半數(shù)以上（54.5）的學(xué)生直接用分母加分母、分子加分子的方法求和（北京市海淀區(qū)翠微小學(xué)，劉蓮，北京市海淀區(qū)上地實驗小學(xué)，吳金華，2008）。這從一個側(cè)面反映了相當(dāng)多的學(xué)生受思維定勢的影響，仍習(xí)慣于按整數(shù)加法的模式直接去相加，而不是結(jié)合分?jǐn)?shù)意義去理解分?jǐn)?shù)加法的意義（相同分?jǐn)?shù)單位下的份數(shù)相加）。因此，衡量學(xué)生是否理解和掌握概念，不是看他會不會說概念或背概念，而是看能否在具體情境中做

9、出正確判斷、解釋和運用。4. 重枝節(jié)，輕本質(zhì)在概念教學(xué)中，一些教師雖然重視了概念的理解，但往往關(guān)注枝節(jié)，從概念的枝節(jié)上提問題，忽視對概念的本質(zhì)理解。例如，關(guān)于“角”的認(rèn)識，許多教師都在角的大小與角的兩邊長短有無關(guān)系上做文章，花很大精力讓學(xué)生討論。實際上，教材中或教師、學(xué)生所畫的角，不論角的兩邊畫多長，本質(zhì)上都是射線，是無限長的。區(qū)分這些角，并非看角的兩邊長短，而是看這兩條邊的位置關(guān)系，看這兩條邊的張口大小，這才是對角概念的本質(zhì)把握。又如，一些學(xué)生誤認(rèn)為對邊不在水平位置的平行四邊形不是平行四邊形。問題出在哪兒呢？原來是有些教師總結(jié)平行四邊形特征時強(qiáng)調(diào)“上下兩條邊平行，左右兩條邊也平行”這一非本質(zhì)

10、特征的緣故。再如，有的教師在“體積和容積”教學(xué)中，提出了這樣的問題：水杯的體積與容積哪個大？同一個物體的體積是否一定大于容積？試想，這是體積與容積概念的本質(zhì)嗎?事實上，體積與容積哪個大是一個與度量有關(guān)的問題，不是體積與容積概念的本質(zhì)問題。若容器(如水杯)的厚度可以忽略不計，則它的體積與容積在數(shù)值上便相等。上述四個方面的問題既有區(qū)別又有聯(lián)系，一方面反映了一些教師在概念教學(xué)理念上的偏差，另一方面也反映了部分教師在數(shù)學(xué)概念理解上的偏差。二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)問題的解決方法為克服和解決數(shù)學(xué)概念教學(xué)中存在的上述問題，筆者認(rèn)為應(yīng)從以下兩個方面入手解決。1. 簡化導(dǎo)入情境，開門見山學(xué)生的概念學(xué)習(xí)，是在教師的指導(dǎo)下

11、，按照預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)主動獲得概念和建構(gòu)意義的過程。對于重要的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，首先要使學(xué)生認(rèn)識到引入新概念的必要性。這樣做既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索新知識的強(qiáng)烈愿望，又能激活學(xué)生的思維。其深層意義還在于使學(xué)生逐漸認(rèn)識到，數(shù)學(xué)中乃至科學(xué)中任何新概念的提出都是一種需要，數(shù)學(xué)概念并不是某個人或數(shù)學(xué)家臆想出來的東西。概念教學(xué)的第一步就是導(dǎo)入概念。概念如何導(dǎo)入，將直接關(guān)系到學(xué)生對概念的理解和接受。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念導(dǎo)入有問題導(dǎo)入、故事導(dǎo)入等多種方式。無論以什么方式導(dǎo)入，一要適合兒童的情趣，二要利于學(xué)生建立起清晰的表象。為此，要簡化導(dǎo)入情境，做到開門見山。具體來說就是：圍繞提出新概念的必要性和概念的本質(zhì)去

12、創(chuàng)設(shè)簡單的、有現(xiàn)實背景或數(shù)學(xué)背景的情境，并配以逐步遞進(jìn)的問題（問題串）。例如，在“對稱圖形”的概念教學(xué)中，有的教師設(shè)計了這樣的情境：首先，逐一呈現(xiàn)生活中常見的對稱圖形（飛機(jī)、三葉草、蝴蝶、蜜蜂、“喜喜”字等圖案），在欣賞的過程中感受圖形的對稱美。接著，提出問題：（1）仔細(xì)觀察這些圖形的形狀（提示：左右兩部分或上下兩部分），你發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點？（2）對折這些圖形（事前發(fā)給每個學(xué)生上述圖形的圖片），你又發(fā)現(xiàn)了什么？它和你通過觀察發(fā)現(xiàn)的特點有什么關(guān)系嗎？通過觀察和折紙活動，引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)對稱圖形的基本特征。課堂上雖然沒有熱烈的場面，但學(xué)生個個聚精會神地投入到觀察和折紙活動之中，認(rèn)真思考問

13、題。通過實踐與思考，在交流和討論中學(xué)生認(rèn)識了對稱圖形具有“圖形的一部分沿直線對折后與另一部分能完全重合”的特征。實踐表明，該情境設(shè)計開門見山，緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)（經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)對稱圖形基本特征的探索過程，認(rèn)識對稱圖形的基本特征）展開新知識的學(xué)習(xí)活動，給學(xué)生提供了充分的從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會（觀察與實踐操作），幫助學(xué)生建立起清晰的表象，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時，還獲得了廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。上述案例具有普遍意義，值得我們認(rèn)真思考與借鑒。2. 巧設(shè)問題情境，理解概念概念教學(xué)的第二步就是理解概念。正確理解概念是運用概念解決問題的基礎(chǔ)，十分重要。理解概念，不能僅停留在字面意義或圖形的說明

14、上，而應(yīng)重在理解概念的要素及相互關(guān)系。因為概念的要素是構(gòu)成概念的基本元素，它們之間的相互關(guān)系反映了概念的本質(zhì)特征。為了幫助學(xué)生理解概念，可將其分為初步理解概念和深入理解概念兩個層次?！俺醪嚼斫飧拍睢笔侵概甯拍畹臉?gòu)成要素及相互關(guān)系。這是理解概念的基本要求。通過怎樣的途徑和方式能較好地幫助和促進(jìn)學(xué)生理解概念呢？一個有效的策略是在問題情境中理解概念。這是因為數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)比較抽象，難以直接看出來。在問題情境中學(xué)習(xí)，可以變抽象為具體，既有利于學(xué)生理解概念，又便于考查學(xué)生是否理解概念。例如，針對學(xué)生初學(xué)減法時，在運用中常常將加法和減法相混這一現(xiàn)象，某教師設(shè)計了如下問題情境：“（圖示）一條船上共有9個人

15、，船艙外有4個人。下面哪個算式可以直接用來表示船艙內(nèi)有幾個人？（1）9+4=；（2）9-4=；（3）9-=4；（4）+4=9?！痹擃}的設(shè)計重點不是計算本身，而是側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生在面對一個新的問題情境時，思考選擇哪種算法來解決問題。這就需要學(xué)生對各選項中的運算意義和問題的意義有深刻的思考。本題的正確選項（2）代表了學(xué)生對減法意義的理解。又如，教學(xué)“角”概念，雖然有的教材直接從生活中的事物抽象出各種角的圖形，且沒有給出“角”的定義或描述性文字，但仍要注重對“角”概念的理解-其要素是“有同一個端點，有兩條射線”。要素之間的相互關(guān)系是“由同一個端點引出兩條射線組成的圖形”。這個本質(zhì)特征決定了“角”不限于形

16、狀是“尖尖的”這一種情形，由同一個端點引出兩條射線可以有各種不同的位置，其形狀可以是“尖尖的”，也可以是“鈍鈍的”，還可以是“平平的”等。為幫助學(xué)生認(rèn)識和理解角的含義，有的教師做了這樣的設(shè)計：（1）設(shè)計畫角活動（要求畫3個不同的角）；（2） 呈現(xiàn)角的各種變式圖形（直角、鈍角、平角等），判斷這些圖形是不是角，并說明理由；（3）呈現(xiàn)角的簡單組合（如），指出其中有哪幾個角，并說明理由。問題（1）不是單純的畫角練習(xí)，而是通過要求學(xué)生畫不同的角，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生思考什么是不同的角，從角的外延上幫助學(xué)生理解角的含義。問題（2）是對問題（1）的補(bǔ)充，針對部分學(xué)生存在的“角是尖的”這一思維定勢，引導(dǎo)學(xué)生在面對一個

17、新的問題情境時，認(rèn)真思考角的含義，從而做出正確的判斷。問題（3）是解決復(fù)雜情境下角的辨別。學(xué)生在辨別時需思考角的含義，并據(jù)此從復(fù)雜的情境下分離出構(gòu)成角的要素。這種有層次、多角度的理解角的概念的問題情境設(shè)計，在教學(xué)實踐中取得了預(yù)期效果。有些概念（如圓）的要素涉及位置和大?。〝?shù)量關(guān)系），搞清楚它們的不同作用，直接關(guān)系到該知識的拓展與應(yīng)用。為幫助學(xué)生理解各要素的作用，需要設(shè)計相關(guān)的問題情境。例如，教學(xué)“圓”的概念，通過呈現(xiàn)大小不同的同心圓和大小相同、位置不同的兩個等圓的情境，可以幫助學(xué)生認(rèn)識圓心和半徑這兩個要素的不同作用：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。學(xué)生由此可進(jìn)一步認(rèn)識到：（1）畫一個圓，首

18、先要確定圓心的位置，然后確定半徑；（2）移動某個圓，實際上就是移動圓心；平移某個圓，實際上就是平移這個圓的圓心。為了強(qiáng)化學(xué)生對概念要素的理解，有時也設(shè)計一些反例讓學(xué)生判斷其正誤。仍以角的概念為例，如呈現(xiàn)大家熟悉的將角的一條邊改為曲線，判斷它是不是角，或?qū)⒔堑膬蓷l邊都改為曲線，判斷它是不是角等。在此需要提醒的是，不要人為地編出許多新花樣，干擾學(xué)生對概念的理解。如果說“初步理解概念”著重解決概念構(gòu)成要素之間的基本關(guān)系是什么，那么“深入理解概念”是發(fā)現(xiàn)和理解概念構(gòu)成要素之間的新關(guān)系。方法有三。其一，設(shè)計變式問題（或圖形），發(fā)現(xiàn)要素之間的新關(guān)系。以“圖形的周長”概念教學(xué)為例，在學(xué)生明了圖形周長含義的基

19、礎(chǔ)上，設(shè)計求正方形變式圖形周長的問題：給出若干邊長相同的正方形變式圖形（如下圖）和正方形的邊長（如3厘米），求各個圖形的周長。對初學(xué)圖形周長的學(xué)生來說，這是一個充滿挑戰(zhàn)性的問題。為求各個變異正方形的周長，學(xué)生需要將它們分別與原來的正方形加以比較，分析變異圖形的各邊和原正方形相應(yīng)邊的位置關(guān)系。關(guān)系弄明白了，周長也就知道了。由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形周長的一個有趣現(xiàn)象：原來一個圖形的大小和形狀變化以后，周長卻能保持不變，即所謂“形變長不變”。類似的例子還有很多，這里就不一一列舉了。其二，在應(yīng)用中探索概念要素之間的新關(guān)系。應(yīng)用既是概念學(xué)習(xí)的目的，也是深化概念學(xué)習(xí)的手段和途徑。因此，重要概念的應(yīng)用教學(xué)不僅僅要

20、關(guān)注問題的解決，還要關(guān)注對概念的深化理解，探索概念要素之間的新關(guān)系（即概念的其他性質(zhì)），拓展對概念的認(rèn)識。下面，我們來看“分?jǐn)?shù)”概念教學(xué)的一個例子。學(xué)生通過實物和圖形等直觀模型理解了分?jǐn)?shù)中分子和分母的意義。實際上，這個理解還是很膚淺的。多數(shù)學(xué)生只是知道分?jǐn)?shù)中分子和分母分別表示什么，還缺乏整體領(lǐng)會分?jǐn)?shù)數(shù)值的意義（即分?jǐn)?shù)是把整體平均分以后表示這樣的一份或幾份的大小的數(shù)）。為解決這一認(rèn)識問題，可以在初學(xué)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，通過分?jǐn)?shù)的應(yīng)用加以強(qiáng)化與內(nèi)化，完成對分?jǐn)?shù)數(shù)值的意義的認(rèn)識。如通過比較分?jǐn)?shù)1/2和1/4的大小（分?jǐn)?shù)數(shù)值的比較），學(xué)生會將關(guān)注點同時聚焦于分子和分母的整體，認(rèn)識到在不同分母條件下，這兩個分

21、子“1”表示的數(shù)值大小是不同的：1/2中的1表示整體（比如一張餅）2等份中的1份（半張餅）；1/4中的1表示整體（比如一張餅）4等份中的1份（半張餅的一半，即一角餅）。因此，1/21/2。類似地，運用畫圖（圓或正方形）方法，學(xué)生能直觀地判斷出1/2比5/8小。進(jìn)一步，通過在數(shù)線上表示1/2和5/8，學(xué)生會清晰地看到，數(shù)線上表示1/2的點離原點的距離是0與1之間距離的一半，而表示5/8的點離原點的距離超過了一半，離1較近，顯示出1/2比5/8小。又因為1/2和5/8都在0與1之間，顯示出1/2和5/8都比整數(shù)1小。接著可以引導(dǎo)學(xué)生想象，分?jǐn)?shù)在0與1之間密密麻麻地排列著。通過分?jǐn)?shù)大小叭較的活動，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)數(shù)值比較的一個有趣性質(zhì)：分子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母大分?jǐn)?shù)值反而小。不