雞兔同籠](2)

1、人教人教20132013版數(shù)學(xué)四年級下冊版數(shù)學(xué)四年級下冊嘉魚縣實驗小學(xué)嘉魚縣實驗小學(xué) 熊少華熊少華 今有雉兔同籠，上有今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？足，問雉兔各幾何？孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)籠子里有若干只雞和兔。從上籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有面數(shù)，有3535個頭，從下面數(shù)，個頭，從下面數(shù)，有有9494只腳。雞和兔各有幾只？只腳。雞和兔各有幾只？籠子里有若干只雞和兔。從上籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有面數(shù)，有8 8個頭，從下面數(shù)，有個頭，從下面數(shù)，有2626只腳。雞和兔各有幾只？只腳。雞和兔各有幾只？籠子里有若干只雞和兔?；\子里有若干只雞和兔。從

2、上面數(shù)，有從上面數(shù)，有8 8個頭，從下個頭，從下面數(shù)，有面數(shù)，有2626條腿。雞和兔條腿。雞和兔各有幾只？各有幾只？一只雞有一只雞有2 2條腿，條腿，一只兔有一只兔有4 4條腿條腿。雞雞的的只只數(shù)數(shù)兔兔的的只只數(shù)數(shù)腿腿的的條條數(shù)數(shù)0 12 34 5 67 801234567832 30 28 26 24 22 20 18 16假設(shè)全是雞假設(shè)全是雞: :8 82=16 2=16 （條）（條） 26-16=1026-16=10（條）（條） (少算兔的腿少算兔的腿)8 82=162=16（條）（條） 假設(shè)全是雞假設(shè)全是雞: : 26-16=1026-16=10（條）（條） 10102=52=5（只）

3、（只）兔：兔：雞：雞： 8 - 5=38 - 5=3（只）（只）(少算兔的腿少算兔的腿)腿數(shù)差：腿數(shù)差：4-2=24-2=2（只）（只）8 84=324=32（條）（條） 假設(shè)全是兔假設(shè)全是兔: : 32-26=6 32-26=6 （條）（條） (多算雞的腿多算雞的腿)8 84=324=32（條）（條） 假設(shè)全是兔假設(shè)全是兔: : 32-26=6 32-26=6 （條）（條） 雞：雞： 6 62=32=3（只）（只） 8-3=58-3=5（只）（只）兔：兔：(多算雞的腿多算雞的腿)腿數(shù)差：腿數(shù)差：4-2=24-2=2（只）（只） 籠子里有若干只雞籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有和兔，從上面數(shù)

4、，有3535個頭；從下面數(shù)，個頭；從下面數(shù)，有有9494條腿。雞和兔各條腿。雞和兔各有幾只？有幾只？雞兔同籠雞兔同籠 小船乘小船乘4人人大船乘大船乘6人人 四（四（3 3）有）有3838個同學(xué)個同學(xué)去三湖連江劃船，共租去三湖連江劃船，共租了了8 8條船，每條船都坐滿條船，每條船都坐滿了。大小船各租了幾條？了。大小船各租了幾條？ 動物園有龜和鶴共動物園有龜和鶴共4040只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112112條。龜、鶴各有幾只？條。龜、鶴各有幾只？ 實驗小學(xué)實驗小學(xué)“環(huán)保小衛(wèi)士環(huán)保小衛(wèi)士”有有1212人參加植樹活動。男人參加植樹活動。男生每人栽了生每人栽了3 3棵樹，女生每人栽了

5、棵樹，女生每人栽了2 2棵樹，一共栽了棵樹，一共栽了3232棵樹。男、女生各有幾人？棵樹。男、女生各有幾人？ 有龜和鶴共有龜和鶴共4040只只, ,龜?shù)耐群旺Q的龜?shù)耐群旺Q的腿共腿共112112條條, ,龜和鶴各有多少只龜和鶴各有多少只? ?龜鶴算龜鶴算龜龜相當于相當于 “兔兔”鶴鶴相當于相當于 “雞雞” 四（四（3 3）班一共有）班一共有3838人去三湖連江劃船人去三湖連江劃船, ,共租了共租了8 8條船條船, ,每條大船乘每條大船乘6 6人人, ,每條小船乘每條小船乘4 4人人, ,每條船都坐滿了。問大船和小船各多每條船都坐滿了。問大船和小船各多少條？少條？大船大船相當于相當于 “兔兔”小船

6、小船相當于相當于 “雞雞” （1 1）這道題是）這道題是“雞兔同籠雞兔同籠”這一類的問題嗎？這一類的問題嗎？ （2 2）解決這個問題，你喜歡用哪種方法呢？）解決這個問題，你喜歡用哪種方法呢？日本的日本的“龜鶴算龜鶴算”問題就是從我國問題就是從我國的的“雞兔同籠雞兔同籠”問問題題演變來的。演變來的。 有龜和鶴共有龜和鶴共4040只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112112條。龜、鶴各有幾只？條。龜、鶴各有幾只？ 假設(shè)都是鶴：假設(shè)都是鶴： 如果都是鶴，就有如果都是鶴，就有 40402 28080條腿，比題目中少條腿，比題目中少 11211280803232條腿。條腿。 那么需要用龜換鶴

7、，換上一只龜，腿的總數(shù)就多那么需要用龜換鶴，換上一只龜，腿的總數(shù)就多2 2條，條，4-2=24-2=2（只）（只） 所以龜有：所以龜有：32322 21616（只）（只） 所以鶴有：所以鶴有：404016162424（只）。（只）。 有龜和鶴共有龜和鶴共4040只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112112條。龜、條。龜、鶴各有幾只？鶴各有幾只？ 如果都是龜，就有如果都是龜，就有40404 4160160條腿，比題目中多條腿，比題目中多 160 1601121124848條腿。條腿。 那么需要用鶴換龜，換上一只鶴，腿的總數(shù)就少那么需要用鶴換龜，換上一只鶴，腿的總數(shù)就少2 2條，條，

8、4-2=24-2=2（只）（只） 所以鶴：所以鶴：48482 22424只。只。 所以龜：所以龜：404024241616只。只。 假設(shè)都是龜：假設(shè)都是龜： 有龜和鶴共有龜和鶴共4040只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112112條。龜、條。龜、鶴各有幾只？鶴各有幾只？ 假設(shè)都是男生栽樹假設(shè)都是男生栽樹： 如果都是男生栽樹，就栽了如果都是男生栽樹，就栽了12123 33636棵樹，棵樹，比題目中多比題目中多363632324 4棵樹?？脴?。 那么需要用女生換男生，一名女生比一名男那么需要用女生換男生，一名女生比一名男生少栽生少栽1 1棵樹，即棵樹，即3-2=13-2=1，所以女生有

9、，所以女生有4 41 14 4名。名。 所以男生有所以男生有12124 48 8名。名。 實驗小學(xué)實驗小學(xué)“環(huán)保小衛(wèi)士環(huán)保小衛(wèi)士”有有1212人參加植樹活動。人參加植樹活動。男生每人栽了男生每人栽了3 3棵樹，女生每人栽了棵樹，女生每人栽了2 2棵樹，一共栽了棵樹，一共栽了3232棵樹。男、女生各有幾人？棵樹。男、女生各有幾人？ 假設(shè)都是女生栽樹：假設(shè)都是女生栽樹： 如果都是女生栽樹，就栽了如果都是女生栽樹，就栽了12122 22424棵樹，棵樹，比題目中少比題目中少323224248 8棵樹?？脴?。 那么需要用男生換女生，一名男生比一名女生那么需要用男生換女生，一名男生比一名女生多栽多栽1

10、1棵樹，即棵樹，即3-2=13-2=1，所以男生有，所以男生有8 81 18 8名。名。 所以女生有所以女生有12128 84 4名。名。 實驗小學(xué)實驗小學(xué)“環(huán)保小衛(wèi)士環(huán)保小衛(wèi)士”有有1212人參加植樹活人參加植樹活動。男生每人栽了動。男生每人栽了3 3棵樹，女生每人栽了棵樹，女生每人栽了2 2棵樹，棵樹，一共栽了一共栽了3232棵樹。男、女生各有幾人？棵樹。男、女生各有幾人？常見思想常見思想: 孫子的解法孫子的解法“上置三十五頭，下置九十四足。上置三十五頭，下置九十四足。半其足得四十七。以少減多，再命之，上三除下半其足得四十七。以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除

11、上五，四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得即得”。 翻譯成算術(shù)方法就是：翻譯成算術(shù)方法就是： 兔數(shù)兔數(shù) （94942 2）35351212 雞數(shù)雞數(shù) 353512122323 這一思路新穎而奇特，其這一思路新穎而奇特，其“砍足法砍足法”也令古也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已。這種思維方法叫化歸法。今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已。這種思維方法叫化歸法?；瘹w法就是在解決問題時，先不對問題采取直接化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個已經(jīng)解決的問題。之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個已經(jīng)解決的問

12、題。抬腿法抬腿法 （1 1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，相當）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，相當于腳數(shù)去掉了一半，還有于腳數(shù)去掉了一半，還有 94942 24747只腳。只腳。 （2 2）這時，每只雞一只腳，每只兔子兩只腳?；\）這時，每只雞一只腳，每只兔子兩只腳?；\子里只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多子里只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1 1。 （3 3）這時腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差）這時腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差 474735351212，就，就是兔子的只數(shù)。是兔子的只數(shù)。 古人的算法可以用下圖表示：古人的算法可以用下圖表示：頭頭 35 35 35 23 雞雞腳腳 9

13、4 47 12 12 兔兔（ ）（ ） （ ）（ ）下減上下減上腳減半腳減半 上減下上減下古人的算法是讓頭的數(shù)量和腳的數(shù)量對應(yīng)起來進行思考。古人的算法是讓頭的數(shù)量和腳的數(shù)量對應(yīng)起來進行思考。外國解法外國解法 美國數(shù)學(xué)家美國數(shù)學(xué)家-美國杰出數(shù)學(xué)教育家美國杰出數(shù)學(xué)教育家G ?G ?波利亞對這種解波利亞對這種解法創(chuàng)設(shè)了教學(xué)情景：法創(chuàng)設(shè)了教學(xué)情景： 意外地看見籠中的禽畜正在作一種古怪的姿式，每一意外地看見籠中的禽畜正在作一種古怪的姿式，每一只雞都用一條腿站著，而每一只兔子都用其（兩條）后腿只雞都用一條腿站著，而每一只兔子都用其（兩條）后腿站著，在這個不尋常的情況下，只用了半數(shù)的腿，即站著，在這個不尋常

14、的情況下，只用了半數(shù)的腿，即4747條條腿。在這種情景中，雞的頭只計算了一次，而兔子的頭則腿。在這種情景中，雞的頭只計算了一次，而兔子的頭則計算了兩次，從計算了兩次，從4747這個數(shù)減去所有頭數(shù)這個數(shù)減去所有頭數(shù)3535，就剩下兔子的，就剩下兔子的頭數(shù)了。當然，雞的只數(shù)可立刻求出。頭數(shù)了。當然，雞的只數(shù)可立刻求出。 這種解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握題中的數(shù)量這種解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握題中的數(shù)量關(guān)系，不是所有學(xué)生都能理解的。關(guān)系，不是所有學(xué)生都能理解的。 總腳數(shù)總腳數(shù)2-2-總只數(shù)總只數(shù)= =兔數(shù)兔數(shù) 總只數(shù)總只數(shù)- -兔數(shù)兔數(shù)= =雞數(shù)雞數(shù)雞兔同籠方程法雞兔同籠方程法:思路：雞腿

15、的總數(shù)思路：雞腿的總數(shù)+ +兔腿的總數(shù)兔腿的總數(shù)= =雞兔的總腿數(shù)雞兔的總腿數(shù) 解：設(shè)兔子解：設(shè)兔子x x只解：只解： 設(shè)有雞設(shè)有雞x x只只 4x+24x+2（8-x8-x）=26 2x+4(8-x)=26 =26 2x+4(8-x)=26 2x+16=26 2x+32-4x=26 2x+16=26 2x+32-4x=26 2x=10 32-2x=26 2x=10 32-2x=26 x=5 32-2x+2x=26+2x x=5 32-2x+2x=26+2x 8-5=3 8-5=3只只 32=26+2x32=26+2x 26+2x=32 26+2x=32 26+2x-26=32-26 26+2x-26=32-26 2x=6 2x=6 x=3 x=3 答：兔子答：兔子5 5只，雞只，雞3 3只只延伸延伸小結(jié)小結(jié) 1 1、靜靜地反思：這節(jié)課