任意角的三角函數(shù)(一)

1、銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)? 1、初中所學習的銳角三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？、初中所學習的銳角三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？ sin對邊正弦斜邊 cos鄰邊余弦斜邊 tan對邊正切鄰邊 對對邊邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊 sin對邊正弦斜邊 cos鄰邊余弦斜邊 tan對邊正切鄰邊220 xyr0 xryxy x （x，y）MyrxryxOOP對邊 鄰邊 斜邊 . P銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)? OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPyxxy以原點為圓心以原點為圓心, ,以單位以單位長度為半徑的圓叫做長度為半徑的圓叫做單位圓單位圓

2、. .思考：思考：為了使為了使sinsin，coscos的表示式更的表示式更簡單，你認為點簡單，你認為點P P的位置選在何處最好？的位置選在何處最好？ryxy x （x，y）M. P的終邊的終邊P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx的終邊的終邊思考：思考：設設是一個是一個任意角任意角，它的終邊與單位圓，它的終邊與單位圓交于點交于點P P（x x，y y），為了與當），為了與當為銳角時的三為銳角時的三角函數(shù)角函數(shù)保持統(tǒng)一保持統(tǒng)一，你認為，你認為sinsin，coscos，tantan對應的值應分別如何定義？對應的值應分別如何定義？ 對應關系對應關系 ， ， 都

3、是以角為自變量，以都是以角為自變量，以單位圓單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù), ,分別稱為分別稱為正弦函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)余弦函數(shù)和和正切函數(shù)正切函數(shù)，并統(tǒng)稱為并統(tǒng)稱為三角函數(shù)三角函數(shù). .sinycosxtan(0)yxx思考思考5：三角函數(shù)該如何定義呢？三角函數(shù)該如何定義呢？0 , 1AOyxyxP ,sinycosxtan(0)yxx注意：注意：無論角無論角a是第幾象限角，它的三角函數(shù)是第幾象限角，它的三角函數(shù)的定義都是一樣。的定義都是一樣。例1、求 的正弦,余弦,正切的值2335sin yyxO53 53 1123213,22P 12

4、x 32y 2135cos x335tanxy點評：若已知角點評：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角終邊與終邊與單位圓的交點，然后再利用定義求三角函數(shù)單位圓的交點，然后再利用定義求三角函數(shù)值。值。32OxyP（x，y）M2332sin2132cos332tan32)23,21(P分析：可得點 ，故練習：求角練習：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。正切函數(shù)的定義域是正切函數(shù)的定義域是 正、余弦函數(shù)的定義域為正、余弦函數(shù)的定義域為R，kk ,2|思考思考6:在弧度制中，這三個三角函數(shù)的在弧度制中，這三個三角函數(shù)的定義域分別是什么？定義域分別是什么？ysin:的正弦xcos:的

5、余弦xytan:的正切y正弦余弦x正切xy例例2 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 ，求，求角角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P5)4()3(22OOP解解:由已知可得由已知可得設角設角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點分別過點 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP , 設角設角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的是

6、終邊上的任意一點，點任意一點，點 與原點的距離與原點的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos強調強調任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關，而有關，而與點與點 在角的終邊上的位置無關在角的終邊上的位置無關.P定義推廣：定義推廣：這也是計算角這也是計算角a三角函數(shù)值的重要方法！三角函數(shù)值的重要方法！135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，練習：練習： 已知角已知角 的終邊過點的終邊過點 ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值.5 ,12P解：

7、由已知可得：解：由已知可得：特殊角的三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù):sincostan00101010角度角 的弧度數(shù)00101321233222213231206030459018027036006342322不存在不存在不存在不存在oxy的的終終邊邊 ),(yxPrMxyoxy的的終終邊邊 ),(yxProxy的的終終邊邊 ),(yxProxy的的終終邊邊 ),(yxPr?tancossin在各象限的符號問題、xyo sin tan cos xyo ry(1)sin rx(2)cos xy(3)tan xyo全為全為+sincostan一全正一全正二正弦二正弦三正切三正切四余弦四余弦一、三角函數(shù)

8、值的符號一、三角函數(shù)值的符號: sin tan cosxyo xyo xyoxyo規(guī)律規(guī)律:?sin)360sin(有關系嗎有關系嗎與與 koxy的的終終邊邊 ),(yxPrMxy終終邊邊相相同同的的角角與與 360 kxykrxkryk )360tan()360cos()360sin( 由三角函數(shù)的定義有由三角函數(shù)的定義有 cos sin tan 結論結論:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.二、三角函數(shù)的誘導公式一二、三角函數(shù)的誘導公式一:sin2sin kcos2cos ktan2tan k的角）。之間找出與它終邊相同到（方法在的角的同一三角函數(shù)值到化為

9、正切函數(shù)值，余弦正弦作用：可以把任意角的000036003600,例例2、確定下列三角函數(shù)值的符號：、確定下列三角函數(shù)值的符號：;250cos)1(o);4sin()2( );672tan()3(o (4) tan3 .例例1:確定下列三角函數(shù)值的符號：確定下列三角函數(shù)值的符號：711(1)cos; (2)sin( 465 ); (3)tan123 77(1) cos0. 2 112解：是第二象限的角，解：是第二象限的角，(2)-465 =-2 360 +255-465sin( 465 )0. ，即是第三象限的角，即是第三象限的角，11511(3)233311tan0.3 , ,即是第四象限的

10、角，即是第四象限的角， 611tan3;49cos2;780sin1 224cos)24cos(49cos2 336tan)26tan()611tan(3解：解： )360260sin(780sin160sin23例例2:求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值：3、解答下列問題：、解答下列問題：(1)若若 ，試指出，試指出 所在的所在的象限；象限；(2)若若 在第三象限，判斷在第三象限，判斷 的符號的符號.sin(cos ) cos(sin )tan0,sin00)cos(sincossin第三象限第三象限sincossincosxxyxx2、函數(shù)、函數(shù) 的值域是的值域是( ) .2,4.2,0,

11、2.2,0,2,4.4, 2,0,2,4ABCD1、設角、設角 屬于第二象限角屬于第二象限角,且且 ， 則角則角 屬于第屬于第 象限角？象限角？sinsin22 2.ABCD一二三四BC當角的終邊不在坐標軸上時，我們把當角的終邊不在坐標軸上時，我們把 ，都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段有向線段OMMP三角函數(shù)線三角函數(shù)線：用：用有向線段的數(shù)量有向線段的數(shù)量來表示。來表示。sin(yMPMPrOP 正弦線正弦線) )cos(xOMOMrOP 余弦線余弦線) )tan(yATATxOA 正切線正切線) )yOxPMAT(1) 作出角的終邊，畫

12、單位圓作出角的終邊，畫單位圓;作作三角函數(shù)線三角函數(shù)線的步驟的步驟:(2) 設設的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點P，作，作PMx軸于軸于M，則有向線段，則有向線段MP是正弦線是正弦線,有向線段有向線段OM是余弦線是余弦線;(3) 設單位圓與設單位圓與x軸的正半軸交于點軸的正半軸交于點A，過點過點A作作x軸的垂線與角軸的垂線與角的終邊的終邊(或其反向延長線或其反向延長線)交于點交于點T，則有向線段則有向線段AT是正切線是正切線.yOxyOxyOxyOxP終邊終邊 MATPMAT正弦線正弦線余弦線余弦線正切線正切線PPMATPMAT1注意： 、正弦線、余弦線、正切線解釋了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的幾何意義。2、正弦線的起點在x軸上，正弦線與y軸平行；余弦線的起點在原點，余弦線在x軸上；正切線的起點在A（1，0）,正切線與y軸平行.3、當正弦線、余弦線、正切線的方向與x軸或y軸的正方向相同時，對應的三角函數(shù)值為正值；與x軸或y軸的正方向相反時，對應的三角函數(shù)值為負值。-1xy11-1O例例:在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: 21sin121y665Zkkk)652 ,62(-1xy11-1O例例:在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: