靜電場環(huán)路定理

1、1-3電場力的功電場力的功 電勢電勢rdrr cl dcE ba保守力保守力dlEql dEql dFdAcos00drdl cos其中其中 baEdrqA0EdrqdA0 則則與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) qarbrdr)11(400barrqq 一電場力做功的特點一電場力做功的特點q0barrodrrqq204 推廣推廣 banabl d)EEE(qA210 bababanl dEql dEql dEq02010 iibiain)rr(qqAAA1140021 (與路徑無關(guān)與路徑無關(guān))結(jié)論結(jié)論 試驗電荷在任何靜電場中移動時，靜電場力所做的功試驗電荷在任何靜電場中移動時，靜電場力所做的功只與路徑的起

2、點和終點位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。只與路徑的起點和終點位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。 靜電場力是保守力靜電場力是保守力! acbadbl dEql dEq000二、靜電場的環(huán)路定理二、靜電場的環(huán)路定理abcd即靜電場力移動電荷沿任一閉和路徑所作的功為零。即靜電場力移動電荷沿任一閉和路徑所作的功為零。00 q0LldEq0沿閉合路徑沿閉合路徑 a c b d a 一周電場力所作的功一周電場力所作的功l dEqA0在靜電場中，電場強度的環(huán)流恒為零。在靜電場中，電場強度的環(huán)流恒為零。 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理acbbdal dEql dEq00b點電勢能點電勢能bW則則ab電場力的功電場力的功 ba

3、abldEqA0baWW 0 W取取 aaaldEqAW0試驗電荷試驗電荷 處于處于0qa點電勢能點電勢能aWab三、電勢能三、電勢能保守力的功保守力的功 = 相應(yīng)勢能的減少相應(yīng)勢能的減少所以所以 靜電力的功靜電力的功=電勢能的減少電勢能的減少 =電勢能增量的負值電勢能增量的負值)(abWW 注意：注意：1.引入電勢能的目的是量度兩點間電場力的功；引入電勢能的目的是量度兩點間電場力的功；2.Wa與零點選擇有關(guān)；與零點選擇有關(guān)；3. Wa屬于屬于q0及電場系統(tǒng)共有及電場系統(tǒng)共有. aaaldEqWu0定義定義電勢差電勢差 電場中任意兩點電場中任意兩點 的的電勢之差（電壓）電勢之差（電壓）bauu

4、 abbaabl dEl dEuuu bal dE aaldEqW0四、電勢四、電勢 電勢差電勢差單位正電荷在該點單位正電荷在該點所具有的電勢能所具有的電勢能單位正電荷從該點到無窮遠點單位正電荷從該點到無窮遠點(電勢零點電勢零點)電場力所作的功電場力所作的功 a、b兩點的電勢差數(shù)值上等于將單位正電荷兩點的電勢差數(shù)值上等于將單位正電荷從從a點移到點移到b時，電場力所做的功。時，電場力所做的功。 定義定義電勢電勢 將電荷將電荷q從從ab電場力的功電場力的功 baldEq0baabWWA )(0bauuq 注意注意1、電勢是相對量，電勢零點的選擇是任意的。、電勢是相對量，電勢零點的選擇是任意的。對于

5、有限帶電體而言對于有限帶電體而言,電勢零點的選擇在電勢零點的選擇在無限無限遠點遠點;對于儀器而言電勢零點的選擇在底板上對于儀器而言電勢零點的選擇在底板上.2、兩點間的電勢差與電勢零點選擇無關(guān)。、兩點間的電勢差與電勢零點選擇無關(guān)。1 1、點電荷電場中的電勢點電荷電場中的電勢r qP 0r如圖如圖 P點的場強為點的場強為 0204rrqE PrPrqdrrqldEu02044 由電勢定義得由電勢定義得討論討論 對稱性對稱性: :大小大小以以 q 為球心的同一球面上的點為球心的同一球面上的點,電勢相等電勢相等.最最小小ururuq 00最最大大ururuq 00五、電勢的計算五、電勢的計算根據(jù)電場疊

6、加原理場中任一點的根據(jù)電場疊加原理場中任一點的2、電勢疊加原理、電勢疊加原理若場源為若場源為q1 、q2 qn的點電荷系的點電荷系場強場強電勢電勢nE.EEE 21 PPnl dEEEl dEu)(21 niinuu.uu121各點電荷單獨存在時在該點電勢的代數(shù)和各點電荷單獨存在時在該點電勢的代數(shù)和.(標(biāo)量疊加標(biāo)量疊加). PPnPl dE.l dEl dE21由電勢疊加原理，由電勢疊加原理，P的電勢為的電勢為點電荷系的電勢點電荷系的電勢 iiirquu04 rdqduu04 連續(xù)帶電體的電勢連續(xù)帶電體的電勢由電勢疊加原理由電勢疊加原理dqP r1r 1q 2qnq 2rnr 根據(jù)已知的場強分

7、布，按定義計算根據(jù)已知的場強分布，按定義計算 由點電荷電勢公式，利用電勢疊加原理計算由點電荷電勢公式，利用電勢疊加原理計算 PPldEu電勢計算的三種電勢計算的三種方法方法：rdqduu04前提：前提：無窮遠處為電勢零點無窮遠處為電勢零點 利用已知電勢結(jié)果利用已知電勢結(jié)果 + 電勢疊加原理電勢疊加原理例例1 、求電偶極子電場中任一點求電偶極子電場中任一點P的電勢的電勢lOq q XYr1r2r ),(yxP 2101220104)(44rrrrqrqrquuuqqP由疊加原理由疊加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220

8、)(41yxpxuVrqu3011088. 244rO2q1q4q3q課堂練習(xí)：已知正方形頂點有四個等量的點電荷課堂練習(xí)：已知正方形頂點有四個等量的點電荷r=5cmC9100 . 4 求求將將求該過程中電勢能的改變求該過程中電勢能的改變oucq90100 . 1 0電場力所作的功電場力所作的功JquuqA8300001088. 2)1088. 20()(電勢能電勢能 01088. 2800WWA Rdqr Px例例2、求均勻帶電圓環(huán)軸線、求均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布。已知：上的電勢分布。已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法rdqdu04 rdqduuP04 2204xRq 方法二方法

9、二 定義法定義法由電場強度的分布由電場強度的分布23220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(4OXYZl d例例3、求均勻帶電球面電場中電勢的分布，已知、求均勻帶電球面電場中電勢的分布，已知R, q,解解: 方法一方法一 疊加法疊加法 (微元法微元法)任一圓環(huán)任一圓環(huán)RdRdSsin2dRdSdqsin22ldRldqdu sin2414200 ldq08sin drRldlsin22 rRqdldu08 cos2222RrrRl RrRrrqrRqdlu0048 RrRr rRrRRqrRqdlu0048 ORPr 方法二方法二 定義法定義法Rr Rr 由高斯定理求

10、出場強分布由高斯定理求出場強分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定義由定義 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 Rq04 rdrrqu204 rq04 ORPrOR rEE1/r2uu1/r課堂練習(xí)課堂練習(xí) ：求等量異號的同心帶電球面的電勢差：求等量異號的同心帶電球面的電勢差 已知已知+q 、-q、RA 、RB ARBRq q 解解: 由高斯定理由高斯定理ARr BRr 204rq BARrR E0由電勢差定義由電勢差定義 BAABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 思考：思考：內(nèi)、外球面上的電勢分別是多少？內(nèi)、外球面上的電勢分別是多少？ 例例

11、4 4：點電荷：點電荷q q處于處于A A點，若以點，若以B B作為電勢零點作為電勢零點。 求求C C點的電勢。點的電勢。ABCqr1r2解題思路：解題思路：兩點之間的電勢差與電勢零點的選取無關(guān)。兩點之間的電勢差與電勢零點的選取無關(guān)。點）（選無窮遠處為電勢零點為電勢零點）選 B ( 000 CCBUUBBr例例5 5：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。 BP l dEUCrln2rln2rln20B00 BrB解：選取解：選取 點為電勢零點，點為電勢零點，B點距帶電點距帶電直導(dǎo)線為直導(dǎo)線為 。drr2B rr0 當(dāng)電荷分布到無窮遠時，電勢零點不能

12、再選在無窮遠。當(dāng)電荷分布到無窮遠時，電勢零點不能再選在無窮遠。PrA 利用已知電勢結(jié)果加電勢疊加原理利用已知電勢結(jié)果加電勢疊加原理例例1 1：求均勻帶電圓盤中心軸線上一點的電勢：求均勻帶電圓盤中心軸線上一點的電勢例例2 :2 :半徑均為半徑均為R R的兩個球體相交的兩個球體相交, ,球心球心距離距離o o1 1o o2 2=d=d，不重疊部分均勻帶電，電，不重疊部分均勻帶電，電荷體密度左側(cè)為荷體密度左側(cè)為 ，右側(cè)為，右側(cè)為 。求距離求距離o o2 2為為r r的的P P點的電勢。點的電勢。12 2Pr提示提示: :將相交部分看成帶將相交部分看成帶 電荷。電荷。提示：將圓盤看成許多圓環(huán)組成提示：

13、將圓盤看成許多圓環(huán)組成rrdRrRrdRUP113434434030303 求單位正電荷沿求單位正電荷沿odc 移至移至c ，電場力所作的功，電場力所作的功 將單位負電荷由將單位負電荷由 O O電場力所作的功電場力所作的功 課堂練習(xí)課堂練習(xí) ：如圖已知如圖已知+q 、-q、Rq q RRR0dabc求單位正電荷沿求單位正電荷沿odc 移至移至c ，電場力所作的功，電場力所作的功 將單位負電荷由將單位負電荷由 O O電場力所作的功電場力所作的功 )(coocuuqARq06 0)(oOuuqA課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案 ：如圖已知如圖已知+q 、-q、Rq q RRRodabc)434(000Rq

14、Rq用同心均勻帶電球面的電勢用同心均勻帶電球面的電勢, 求求 Ua、 Ub、 UcQ1Q2rarbrc功、電勢差、電勢能之間的關(guān)系功、電勢差、電勢能之間的關(guān)系 bababaabWWuuql dEqA)(討討 論論bauu bauu 2.0 abAbaWW 則則則則0 q0 q.0 abAbaWW 0 q則則0 q則則bauu bauu 1-4 場強與電勢的關(guān)系場強與電勢的關(guān)系一、一、 等勢面等勢面等勢面等勢面 ： 電場中電勢相等的點組成的曲面電場中電勢相等的點組成的曲面+正點電荷的等勢面正點電荷的等勢面1-4 場強與電勢的關(guān)系場強與電勢的關(guān)系 （僅（僅A2班要求）班要求）+等量異號點電荷的等勢

15、面等量異號點電荷的等勢面 等勢面的性質(zhì)等勢面的性質(zhì)等勢面與電力線處處正交，等勢面與電力線處處正交， 電力線指向電勢降落的方向。電力線指向電勢降落的方向。abu0)( baabuuqA2 bauu 令令q在面上有元位移在面上有元位移ld0cos dlqEldEqdA 0)( dcdccduuqWWA沿電力線移動沿電力線移動 q cdEdcuu a,b為等勢面上任意兩點為等勢面上任意兩點,移動移動q,從從a到到b 等勢面較密集的地方場強大，較稀疏的地方場強小。等勢面較密集的地方場強大，較稀疏的地方場強小。規(guī)定規(guī)定:場中任意場中任意兩相鄰等勢面間兩相鄰等勢面間的的電勢差相等電勢差相等 課堂練習(xí)：由等

16、勢面分析課堂練習(xí)：由等勢面分析a、b點的場強大小和方向點的場強大小和方向1u2u3uab03221 uuuu已知已知aEbEbaEE Eabl dn uduu 二、場強與電勢梯度的關(guān)系二、場強與電勢梯度的關(guān)系)(cosduuudlEl dE dudlE cos單位正電荷從單位正電荷從 a到到 b電場力的功電場力的功dudlEl dlduEl 電場強度沿某電場強度沿某一方向的分量一方向的分量沿該方向電勢的沿該方向電勢的變化率的負值變化率的負值),(zyxuu 一般一般xuEx yuEy zuEz 所以所以方向上的分量方向上的分量 在在El dlEkEjEiEEzyx )(kzujyuixu ugraduE graduu 或或u的梯度的梯度: 的方向與的方向與u的梯度反向，即指向的梯度反向，即指向u降落的方向降落的方向E0ndnduE電勢梯度的電勢梯度的物理意義：電勢梯度是一個物理意義：電勢梯度是一個矢量矢量，它的，它的大大小小為電勢沿等勢面法線方向的變化率，它的為電勢沿等勢面法線方向的變化率，它的方向方向沿等沿等勢面法線方向且指向電勢增大的方向。勢面法線方向且指向電勢增大的方向。例例1利用場強與電勢梯度的關(guān)系，利用場強與電勢梯度