平面應(yīng)力和平面應(yīng)變

1、要點(diǎn)要點(diǎn) 建立平面問(wèn)題的基本方程建立平面問(wèn)題的基本方程包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等述；方程的求解方法等3 3.1 1 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題1. 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題(1) 幾何特征幾何特征xyyztba 一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)，工字形梁的腹板等如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力外力（體力、面力）和（體力

2、、面力）和約束約束，僅，僅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 z 方向不變化。方向不變化。xyyztba(3) 應(yīng)力特征應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為為xy 平面，垂直于中面的任一直線平面，垂直于中面的任一直線為為 z 軸。軸。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 軸方向不變。軸方向不變。0z0zx可認(rèn)為可認(rèn)為整個(gè)薄板的整個(gè)薄板的各點(diǎn)各點(diǎn)都有：都有：由剪應(yīng)力互等定理，有由剪應(yīng)力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx結(jié)論：結(jié)論：平面應(yīng)力問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)力分量：平面應(yīng)力問(wèn)題只有三個(gè)應(yīng)力分量

3、：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy應(yīng)變分量、位移分量也僅為應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。2. 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題(1) 幾何特征幾何特征水壩水壩滾柱滾柱厚壁圓筒厚壁圓筒 一個(gè)方向的尺寸比另一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸兩個(gè)方向的尺寸大得多大得多，且且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化尺寸不變化。 近似認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)近似認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)(2) 外力特征外力特征 外力外力（體力、面力）（體力、面力）平行于橫截面平行于橫截面作作用，且用，且沿長(zhǎng)度沿長(zhǎng)度 z 方向不變化方向不變化。 約束約束 沿長(zhǎng)度沿

4、長(zhǎng)度 z 方向不變化方向不變化。(3) 變形特征變形特征 如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為面，任一縱線為 z 軸。軸。 設(shè)設(shè) z方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，則方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，則, u, x, x沿沿 z 方向都不變化，方向都不變化，僅為僅為 x，y 的函數(shù)。的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱(chēng)面任一橫截面均可視為對(duì)稱(chēng)面水壩水壩因?yàn)槿我粰M截面均可視為對(duì)稱(chēng)面，則有因?yàn)槿我粰M截面均可視為對(duì)稱(chēng)面，則有0w所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移問(wèn)題平面位移問(wèn)題0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyx

5、xy 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題注：注：(1)平面應(yīng)變問(wèn)題中平面應(yīng)變問(wèn)題中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面應(yīng)變問(wèn)題中應(yīng)力分量：平面應(yīng)變問(wèn)題中應(yīng)力分量：)0(,zyzxxyzyx 僅為僅為 x y 的函數(shù)。的函數(shù)?？山茷槠矫鎽?yīng)變問(wèn)題的例子：可近似為平面應(yīng)變問(wèn)題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。 如圖所示三種情形，是否都屬平面問(wèn)題？是平如圖所示三種情形，是否都屬平面問(wèn)題？是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題？面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題非平面問(wèn)題3. 平面問(wèn)題的求解平面問(wèn)題的求

6、解問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 已知：外力（體力、面力）、邊界條件，已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 僅為僅為 x y 的函數(shù)的函數(shù)需建立三個(gè)方面的關(guān)系：需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：）物理學(xué)關(guān)系：形變形變與與應(yīng)力應(yīng)力間的關(guān)系。間的關(guān)系。應(yīng)力應(yīng)力與與體力、面力體力、面力間的關(guān)系；間的關(guān)系；形變形變與與位移位移間的關(guān)系；間的關(guān)系；建立邊界條件：建立邊界條件： 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；）位移邊界條件；l3-2 平

7、面問(wèn)題基本方程平面問(wèn)題基本方程xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydxxxyxy 3.2.1 3.2.1 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元體取微元體PABC（P點(diǎn)附近點(diǎn)附近），），dxPA dyPB DXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取單位長(zhǎng)度。方向取單位長(zhǎng)度。設(shè)設(shè)P點(diǎn)應(yīng)力已知：點(diǎn)應(yīng)力已知：yxxyyx,體力：體力：X ，YAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 這里用了小變形假

8、定，以變形前這里用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸。的尺寸代替變形后尺寸。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元體由微元體PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy當(dāng)當(dāng)0, 0dydx時(shí)，有時(shí)，有 剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx兩邊同除

9、以?xún)蛇呁詃x dy，并整理得：，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy兩邊同除以?xún)蛇呁詃x dy，并整理得：，并整理得：0Yxyxyy平面問(wèn)題的平衡微分方程：平面問(wèn)題的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2）說(shuō)明：說(shuō)明：（1）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：yxxyyx, 超靜定問(wèn)題，需找補(bǔ)充方程才能求解。超靜定問(wèn)題，需找補(bǔ)充方程才能求解。（2）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程兩類(lèi)平面

10、問(wèn)題均適用兩類(lèi)平面問(wèn)題均適用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程與材料性質(zhì)無(wú)關(guān)方程與材料性質(zhì)無(wú)關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對(duì)）平衡方程對(duì)整個(gè)彈性體內(nèi)都滿(mǎn)足整個(gè)彈性體內(nèi)都滿(mǎn)足，包括邊界。，包括邊界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy3.2.2 3.2.2 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力 主應(yīng)力主應(yīng)力1. 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力（1）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy設(shè)設(shè)P點(diǎn)的應(yīng)力分量已知：點(diǎn)的應(yīng)力分量已知：yxxyyx,斜面斜面A

11、B上的應(yīng)力矢量上的應(yīng)力矢量: s 斜面外法線斜面外法線 N 的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦：的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦： myN),cos(lxN),cos(ldsdymdsdx由微元體平衡：由微元體平衡： , 0 xF0111dsYdydxNxyy0111dsXdxdyNyxx整理得：整理得： xyyNlmY（3）0111dsXmdsldsNyxxyxxNmlX, 0yF整理得：整理得： （4）外法線外法線 xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy（2）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力NNNNNmXlY NNNmYlXxyyNlmYyxxNmlX（3）（4）將式（將式（2-3）（）

12、（2-4）代入，并整理得：）代入，并整理得：xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（5）（6）說(shuō)明：說(shuō)明：（1）運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理：）運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理：yxxy（2） 的正負(fù)號(hào)規(guī)定的正負(fù)號(hào)規(guī)定N 將將 N 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)90而到達(dá)而到達(dá) 的方向是順時(shí)針的，的方向是順時(shí)針的，則該則該 為正；反之為負(fù)。為正；反之為負(fù)。NN 任意斜截面上應(yīng)力計(jì)算公式任意斜截面上應(yīng)力計(jì)算公式（3）若）若AB面為物體的邊界面為物體的邊界S，則，則YYNXXNYlmXmlsxysysxysx)()()()(（18） 平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件2. 一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力

13、主向xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxyNNNNNmXlY NNNmYlX（1）主應(yīng)力）主應(yīng)力 若某一斜面上若某一斜面上 ，則該斜面上的正應(yīng)，則該斜面上的正應(yīng)力力 稱(chēng)為該點(diǎn)一個(gè)稱(chēng)為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力主應(yīng)力 ；0NN當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有0NsNmYlXNNxyyNlmYyxxNmlXmlmxyylmlyxx求解得：求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxyx（7） 平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計(jì)算公式平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計(jì)算公式主應(yīng)力主應(yīng)力 所在的平面所在的平面 稱(chēng)為稱(chēng)為主平面主平面；主應(yīng)力主應(yīng)力 所在平面的法線方向所在平面的法線方向 稱(chēng)為稱(chēng)為應(yīng)力主向應(yīng)力主向；由

14、式（由式（7）易得：）易得：yx21I 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力第一不變量應(yīng)力第一不變量（2）應(yīng)力主向）應(yīng)力主向yyxlmyxxlm 設(shè)設(shè)1 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為1， 1與坐標(biāo)軸正向的與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為方向余弦為 l1、m1，則則2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或 設(shè)設(shè)2 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為2， 2與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為 l2、m2，則則1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或應(yīng)力主向的計(jì)算公式：應(yīng)力主向的計(jì)算公式：yxyxyx2211tantan（8）由

15、由yx21得得)(12xyxxy12tan1tantan21顯然有顯然有表明：表明：1 與與 2 互相垂直?；ハ啻怪薄＝Y(jié)論結(jié)論任一點(diǎn)任一點(diǎn)P，一定存在兩，一定存在兩 互相互相垂直的主應(yīng)力垂直的主應(yīng)力1 、 2 。（3）N 的主應(yīng)力表示的主應(yīng)力表示xyOsNN2dxdydsPABN1由由xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(222212mlN)(12 lmN2212)(l1 與與 2 分別為最大和最小應(yīng)力分別為最大和最小應(yīng)力。（4）最大、最小剪應(yīng)力）最大、最小剪應(yīng)力由由)(12 lmN)1 (2lm122ml)(21411222lN)(1122llN)(1242llN顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)

16、)21(0212ll時(shí)，時(shí)，N為最大、最小值：為最大、最小值：221minmax由由21l得，得，max、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。xyOdxdydsPABN12sNN小結(jié)：小結(jié)：xyyNlmYyxxNmlX（3）（4）xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（5）（6）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18） 平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件2212mlN)(12 lmN2212)(l（1）斜面上的應(yīng)力）斜面上的應(yīng)力yxyxyx2211tantan（8）表明：表明：1 與與 2 互相垂直。互相垂直。（2）一點(diǎn)的主應(yīng)力、應(yīng)力主向

17、、最）一點(diǎn)的主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最大最小應(yīng)力大最小應(yīng)力222122xyyxyx（7）221minmaxmax、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。3.2.3 3.2.3 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移建立：建立：平面問(wèn)題中應(yīng)變與位移的關(guān)系平面問(wèn)題中應(yīng)變與位移的關(guān)系 幾何方程幾何方程1. 幾何方程幾何方程一點(diǎn)的變形一點(diǎn)的變形線段的線段的伸長(zhǎng)或縮短伸長(zhǎng)或縮短；線段間的相對(duì)線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)；xyOP考察考察P點(diǎn)鄰域點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：內(nèi)線段的變形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA變形前變形前變形后變形后PABBPAuvdxxvvdx

18、xuudyyuudyyvv注：注：這里略去了二階以上高階無(wú)窮小量。這里略去了二階以上高階無(wú)窮小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：dyvdyyvvyvyPB的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：dxudxxuuxuxP點(diǎn)的剪應(yīng)變：點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩點(diǎn)兩直角線段夾角直角線段夾角的變化的變化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxyxyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx幾何方程幾何方程（9）說(shuō)明：說(shuō)明：（1）反映任一點(diǎn)的反映任一點(diǎn)的位移位移與該點(diǎn)與該點(diǎn)應(yīng)變應(yīng)

19、變間的間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2） 當(dāng)當(dāng) u、v 已知，則已知，則 可完全確定；反之，已知可完全確定；反之，已知 ，不能確定不能確定u、v。xyyx,xyyx,（積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）xy 以?xún)删€段夾角以?xún)删€段夾角減小為正減小為正，增大為負(fù)增大為負(fù)。2. 剛體位移剛體位移物體無(wú)變形，只有剛體位移。物體無(wú)變形，只有剛體位移。 即：即： ,0, 0, 0時(shí)當(dāng)xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(

20、21xfvyfu(d)將將(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?dxxdfdyydf)()(21上式中，左邊僅為上式中，左邊僅為 y 的函數(shù)，的函數(shù)，右邊僅右邊僅 x 的函數(shù)，的函數(shù)，兩邊只能等兩邊只能等于同一常數(shù)，即于同一常數(shù)，即 dyydf)(1(d)積分積分(e) ，得：，得： dxxdf)(2(e)其中，其中，u0、v0為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。 （x、y方向的剛體位移），代入（方向的剛體位移），代入（d）得）得:(2-10)xvvyuu00 剛體位移表達(dá)式剛體位移表達(dá)式討論：討論： (2-10)xvvyuu00 剛體位移表達(dá)式剛體位移表達(dá)

21、式（1）2222yxvu,0, 00時(shí)當(dāng)vu僅有僅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu則,0, 000時(shí)當(dāng)uv僅有僅有y方向平移。方向平移。, 0,0uvv則（3）,0, 000時(shí)當(dāng)uvxvyu則xyOPyxrrxyxyxytantan說(shuō)明：說(shuō)明：OPr P點(diǎn)沿切向繞點(diǎn)沿切向繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 繞繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（剛性轉(zhuǎn)動(dòng)）點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（剛性轉(zhuǎn)動(dòng)）3.2.4 3.2.4 斜方向的應(yīng)變及位移斜方向的應(yīng)變及位移1. 斜方向的正應(yīng)變斜方向的正應(yīng)變N問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知已知 ，求任意方，求任意方向的線應(yīng)變向的線應(yīng)變N 和線段夾角的和線段夾角的變化。變化。xyyx,xyOP(x,y)N 設(shè)設(shè) P 點(diǎn)

22、的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x，y)，N 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y+dy），PN 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 dr，PN 的的方向余弦為：方向余弦為：myPNlxPN),cos(,),cos(于是于是PN 在坐標(biāo)軸上的投影為：在坐標(biāo)軸上的投影為：mdrdyldrdx,P1N1N 點(diǎn)位移：點(diǎn)位移：dyyvdxxvvdvvvNdyyudxxuuduuuN 變形后的變形后的P1N1在坐標(biāo)方向在坐標(biāo)方向的投影：的投影：dyyvdxxvdyvvdyNdyyudxxudxuudxN 設(shè)設(shè)PN變形后的長(zhǎng)度變形后的長(zhǎng)度 P1N1=dr， PN 方向的應(yīng)變?yōu)榉较虻膽?yīng)變?yōu)镹 ，由應(yīng)變由應(yīng)變的定義：的定義：vudrdrr

23、dNdrdrrdN或22drdrrdN22)()(dyyvdxxvdydyyudxxudx兩邊同除以?xún)蛇呁?(dr)2，得得222)1 (drdyyvdrdxxvdrdydrdyyudrdxxudrdxN2211xvlyvmyumxul化開(kāi)上式，并將化開(kāi)上式，并將yvxvyuxuN,的二次項(xiàng)略去，有的二次項(xiàng)略去，有xvlmyvmyulmxulN2)21 (2)21 (2122xyOP(x,y)NvuP1N1drrd xvyulmyvmxulml2222222xvlmyvmyulmxulN2)21 (2)21 (2122xyyxNlmml22（11）2. P點(diǎn)兩線段夾角的改變點(diǎn)兩線段夾角的改

24、變yxxy1xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr變形前：變形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦變形后：變形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,mlmml lcos11111cosmml l2. P點(diǎn)兩線段夾角的改變點(diǎn)兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr變形前：變形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦變形后：變形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,ml),cos(111xN

25、Pl )1 (Ndrdyyudxxudx),cos(111yNPm )1 (NdrdyyvdxxvdyldrdxmdrdyNN1)1 (1利用：利用：化簡(jiǎn)，得：化簡(jiǎn)，得：yumxullN11xvlyvmmN11略去二階小量；略去二階小量；2. P點(diǎn)兩線段夾角的改變點(diǎn)兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr變形前：變形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦變形后：變形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,mlyumxullN11xvlyvmmN11同理，得：同理，得：yumxullN1

26、1xvlyvmmN11PN 與與 PN變形后的夾角改變?yōu)椋鹤冃魏蟮膴A角改變?yōu)椋?mml lcos11111cosmml l代入，并利用：代入，并利用：1cos)(mml lNN1)(2yxmml lxymlml)(并略去高階小量，有并略去高階小量，有xvyuyvxuxyyx,cos2. P點(diǎn)兩線段夾角的改變點(diǎn)兩線段夾角的改變xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr變形前：變形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦變形后：變形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,mlPN 與與 PN變形后的夾角改變?yōu)?/p>

27、：變形后的夾角改變?yōu)椋?mml lcos11111cosmml l1cosNN1)(2yxmml lxymlml)(cos（12）從中求出變形后兩線段間的夾角從中求出變形后兩線段間的夾角,1進(jìn)一步求出進(jìn)一步求出13. 斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用3. 斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用（1）已知一點(diǎn)的應(yīng)變已知一點(diǎn)的應(yīng)變 ，可計(jì)算任意方向的，可計(jì)算任意方向的應(yīng)變應(yīng)變 。 的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)變方向等。變方向等。xyyx,NN（2）已知一點(diǎn)任意三方向的應(yīng)變已知一點(diǎn)任意三方向的應(yīng)變 ，可求得，可求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量該點(diǎn)的應(yīng)變分量 。321,NN

28、Nxyyx,xyyxNxyyxNxyyxNmlmlmlmlmlml332323322222221121211xy453N1N2N若若 用用45應(yīng)變花測(cè)構(gòu)件表面應(yīng)變：應(yīng)變花測(cè)構(gòu)件表面應(yīng)變：2233 ml0, 111ml1,022ml2132NNNxy1Nx2Nyxyyx,120120120若若 用用120應(yīng)變花測(cè)構(gòu)件表面應(yīng)變，即：應(yīng)變花測(cè)構(gòu)件表面應(yīng)變，即：xy1N2N3N求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量:321,NNNxyyx,作為作業(yè)！作為作業(yè)！xyyx,3.2.5 3.2.5 物理方程物理方程建立：建立：平面問(wèn)題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系平面問(wèn)題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系物理方程也稱(chēng)：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系

29、、物性方程。物理方程也稱(chēng)：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。1. 各向同性彈性體的物理方程各向同性彈性體的物理方程 在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學(xué)中的力學(xué)中的廣義虎克（廣義虎克（Hooke）定律）定律。)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（13）其中：其中：E為拉壓彈性模量；為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；為剪切彈性模量；為側(cè)向收為側(cè)向收縮系數(shù)，又稱(chēng)泊松比?？s系數(shù)，又稱(chēng)泊松比。)1 (2EG（1）平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程）平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xz

30、yyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面應(yīng)力問(wèn)題由于平面應(yīng)力問(wèn)題中中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15） 注：注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (20zxyzz（2）平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程）平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程由于平面應(yīng)變問(wèn)題由于平面應(yīng)變問(wèn)題中中)1(12yxxExyxyE)1 (2（16） 注：注：(2) 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：)1(12xyyE由式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzy

31、yExyxyG1yzyzG1zxzxG1（13）)(yxz0zxyzz(1) 平面應(yīng)變問(wèn)題中平面應(yīng)變問(wèn)題中0z，但，但0z)(yxz（3）兩類(lèi)平面問(wèn)題物理方程的）兩類(lèi)平面問(wèn)題物理方程的轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換：)1(12yxxExyxyE)1 (2（16） )1(12xyyE)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 （15）(1) 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：1(2) 平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：21 E12)1 ()21 (EEE3.2.6 3.2.6 邊界條件邊界條件1. 彈性力學(xué)平面

32、問(wèn)題的基本方程彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）幾何方程：）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）未知量數(shù)：未知量數(shù)：vuxyyxxyyx,8個(gè)個(gè)方程數(shù)：方程數(shù)：8個(gè)個(gè)結(jié)論：結(jié)論：在適當(dāng)?shù)脑谶m當(dāng)?shù)倪吔鐥l件邊界條件下，上述下，上述8個(gè)方程可解。個(gè)方程可解。2. 邊界條件及其分類(lèi)邊界條件及其分類(lèi)邊界條件：邊界條件：建立建立邊界上的物理量邊界上的物理量與與內(nèi)部物理量?jī)?nèi)部物理量間的關(guān)系。間的關(guān)系。xyOqPuSSuSSS是是力學(xué)計(jì)算模型力學(xué)計(jì)算模型建立的重要

33、環(huán)節(jié)。建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類(lèi)邊界分類(lèi)（1）位移邊界）位移邊界SuS（2）應(yīng)力邊界）應(yīng)力邊界（3）混合邊界）混合邊界 三類(lèi)邊界三類(lèi)邊界（1）位移邊界條件）位移邊界條件位移分量已知的邊界位移分量已知的邊界 位移邊界位移邊界 用用us 、 vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上的位移分量， 表表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：可表達(dá)為：vu,vvuuss（17） 說(shuō)明：說(shuō)明：,0時(shí)當(dāng) vu稱(chēng)為固定位移邊界。稱(chēng)為固定位移邊界。xyOqPuSSuSSS（2）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件給定面力分量給定面力分量 邊界邊界 應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界YX,x

34、yOdxdydsPABXNYNNyxxyxy由前面斜面的應(yīng)力分析，得由前面斜面的應(yīng)力分析，得xyyNlmYyxxNmlX式中?。菏街腥。篩YXXNN,sxyxysyysxx,得到：得到：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）式中：式中：l、m 為邊界外法線關(guān)于為邊界外法線關(guān)于 x、y 軸的方軸的方向余弦。如：向余弦。如： 垂直垂直 x 軸的邊界：軸的邊界：. 1, 0ml垂直垂直 y 軸的邊界：軸的邊界：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,例例1 如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2

35、), ax 0, 1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq說(shuō)明：說(shuō)明：x = 0 的邊界條件，是有矛的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：盾的。由此只能求出結(jié)果：. 0, 0vu0, 0YXqYX , 00, 0YX內(nèi)容回顧：內(nèi)容回顧：1.兩類(lèi)平面問(wèn)題：兩類(lèi)平面問(wèn)題：平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應(yīng)力應(yīng)力特征。特征。幾何特征幾何特征;

36、受力特征受力特征;應(yīng)變應(yīng)變特征。特征。yxxyyx,yxxyyx,xyyztba水水壩壩滾滾柱柱位移邊界條件位移邊界條件2.平面問(wèn)題的基本方程：平面問(wèn)題的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）幾何方程）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）（4）邊界條件：）邊界條件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題例例2 如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。如圖所示，試寫(xiě)出其邊界條件。(1)ABCxyhp

37、(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN例例3 圖示水壩，試寫(xiě)出其邊界條件。圖示水壩，試寫(xiě)出其邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：sin,cosmlsinyY cosyX 由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界

38、條件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右側(cè)面：右側(cè)面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx例例4圖示薄板，在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無(wú)應(yīng)處無(wú)應(yīng)力存在。力存在。解：解： 平面應(yīng)力問(wèn)題，在平面應(yīng)力問(wèn)題，在 AC、AB 邊界上邊界上無(wú)面力作用。即無(wú)面力作用。即0YXAB 邊界：邊界：111sin,cosml由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有YlmXmlsxysysx

39、ysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 邊界：邊界：12122sincoscosml代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 點(diǎn)同處于點(diǎn)同處于 AB 和和 AC 的邊界，的邊界，滿(mǎn)足式（滿(mǎn)足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 點(diǎn)處無(wú)應(yīng)力作用點(diǎn)處無(wú)應(yīng)力作用例例5圖示楔形體，試寫(xiě)出其邊界條件。圖示楔形體，試寫(xiě)出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫(xiě)出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫(xiě)出其邊界條件。例例6例例5圖示楔形體，試寫(xiě)出其邊界條件。圖示楔形體，試寫(xiě)出其邊界條件。0YXsin)90cos(l

40、YlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)180cos(m上側(cè)：上側(cè)：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下側(cè)：下側(cè)：, 0X0l1mqYqsysxysxysx) 1()(0)(0) 1()(0)(0)(sxyqsy)(圖示構(gòu)件，試寫(xiě)出其應(yīng)力邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫(xiě)出其應(yīng)力邊界條件。例例6上側(cè)：上側(cè)：, qX 0l1m0Y0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(syYlmXmlsxysysxysx)()()()(, 0X,sin)90cos(lcosm下側(cè)：下側(cè)：NpYpsysxysxysxcos)(sin()(0

41、cos)()sin()(（3）混合邊界條件）混合邊界條件(1) 物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2) 物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。如：一為應(yīng)力邊界條件。如：圖圖(a)：0Ysxy 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件圖圖(b)：0sx0 uus0 vvs 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件平面問(wèn)題的基本方程平面問(wèn)題的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程00YyxXyxyxyyxx（2）2. 幾何方程幾何方程yux

42、vyvxuxyyx（9）3. 物理方程物理方程（平面應(yīng)力問(wèn)題）（平面應(yīng)力問(wèn)題）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）4. 邊界條件邊界條件位移：位移：vvuuss（17）應(yīng)力：應(yīng)力：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）3.2.7 圣維南原理圣維南原理問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出：PPP 求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量、求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿(mǎn)足形變分量、位移分量完全滿(mǎn)足8個(gè)基本個(gè)基本方程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿(mǎn)方程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿(mǎn)足，往往很困難。足，往往很困難。 如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界如圖所示，其力的作

43、用點(diǎn)處的邊界條件無(wú)法列寫(xiě)。條件無(wú)法列寫(xiě)。1. 靜力等效的概念靜力等效的概念 兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系靜力等效力系。)(iOOFmMiFR 這種這種等效等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來(lái)而言完全正只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來(lái)而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。2.圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一小部分邊界上的面力，變換為分布，變換為分布不同但不同但靜力等效的面力靜力等效的面力，

44、則，則近處近處的應(yīng)力分布將有的應(yīng)力分布將有顯著改變，而顯著改變，而遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2APAPAP3.圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用(1) 對(duì)對(duì)復(fù)雜的力邊界復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。(2) 有些有些位移邊界位移邊界不易滿(mǎn)足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿(mǎn)足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：(1) 必須滿(mǎn)足必須滿(mǎn)足靜力等效靜力等效條件；條件；(2) 只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊

45、界PAP次要邊界次要邊界例例7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式0hxxyhxxy右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0,YyX代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效

46、：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！yPxyyx上端面：上端面： （方法（方法2）取圖示微元體，取圖示微元體，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可見(jiàn)，與前面結(jié)果相同?？梢?jiàn)，與前面結(jié)果相同。注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得，3.2.8 3.2.8 按位移求解平面問(wèn)題按位移求解平面問(wèn)

47、題1.彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）幾何方程）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）（4）邊界條件：）邊界條件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,2.彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）按位移求解（位移法、剛度法）以以u(píng)、v 為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、

48、v ，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以以應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，將所有方程都用為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出表示，并求出應(yīng)力分量 ，再由幾何方程、物理方程求出再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。形變分量與位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量 和部分和部分應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，將，為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量并求出這些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。3. 按位移求解平面問(wèn)題的基本方程按位移求解平面問(wèn)題的基本方程（1）將平

49、衡方程用位移表示）將平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由應(yīng)變表示的物理方程由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有將幾何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（19）（a）將式將式(a)代入平衡方程，化簡(jiǎn)有代入平衡方程，化簡(jiǎn)有021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（20）（2）將邊界條件用位移表示）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1

50、(2（a）將式（將式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（21）（17）式（式（20）、（）、（17）、（）、（21）構(gòu)成按位移求解問(wèn)題的基本方程）構(gòu)成按位移求解問(wèn)題的基本方程說(shuō)明：說(shuō)明：（1）對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將式中的）對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將式中的E、作相替換即可。作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。（3）按位移求解平面問(wèn)題的基本方程）按位移求解平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEX

51、yxvyuxuE（20）（2）邊界條件：）邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,（17）應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（21）3.2.9 3.2.9 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程相容方程1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的未知函數(shù)：按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的未知函數(shù)：（2）平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2個(gè)方程方程，個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問(wèn)題。個(gè)未知量，為超靜定問(wèn)題。需尋求補(bǔ)充方程，需尋求補(bǔ)

52、充方程， 從從形變形變、形形變與應(yīng)力的關(guān)系變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。建立補(bǔ)充方程。將幾何方程：將幾何方程：xvyuyvxuxyyx,（9）作如下運(yùn)算：作如下運(yùn)算：2323xyvyxu2322yxuyx2322xyvxyxvyuxyyxxy22顯然有：顯然有：yxxyxyyx22222（22） 形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：即： 必須滿(mǎn)足上式才能保證位移分量必須滿(mǎn)足上式才能保證位移分量 u、v 的存在與協(xié)的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。調(diào)，才能求得這些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C為常數(shù)。為常數(shù)。由幾何方程得：由幾何方程得：0, 0

53、yvxu積分得：積分得：)()(21yfvxfu由幾何方程的第三式得：由幾何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿(mǎn)足幾何方程的解。顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿(mǎn)足幾何方程的解。0Yyxyyx0Xyxxyx（2）2. 變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1）平面應(yīng)力情形）平面應(yīng)力情形將將物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：yxxyxyyx22222（22）yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程將上述化簡(jiǎn)：利用平衡方程將上述化簡(jiǎn)：)(1xyyE)(1yxxExyxyE

54、)1 (2（15）（a）xXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222將上述兩邊相加：將上述兩邊相加：yYyyxyxy222（b）將將 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：yYxXxyyx)1 ()(2222將將 上式整理得：上式整理得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(（23）應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程（2）平面應(yīng)變情形）平面應(yīng)變情形將將 上式中的泊松比上式中的泊松比代為：代為： ， 得得1（24）（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）（平面應(yīng)變情形）當(dāng)體力當(dāng)體力 X、Y

55、為常數(shù)時(shí)，兩種平面問(wèn)題的相容方程相同，即為常數(shù)時(shí)，兩種平面問(wèn)題的相容方程相同，即yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx（25）3.按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的基本方程按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（23）（3）邊界條件：）邊界條件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）說(shuō)明：說(shuō)明：（1）對(duì)位移邊界問(wèn)題，不易按應(yīng)）對(duì)位移邊界問(wèn)題，不易按應(yīng)力求解。力求解。（2）對(duì)應(yīng)力邊界問(wèn)題，且為）對(duì)應(yīng)力邊界問(wèn)題

56、，且為單連單連通問(wèn)題通問(wèn)題，滿(mǎn)足上述方程的解，滿(mǎn)足上述方程的解是唯一正確解。是唯一正確解。（3）對(duì)）對(duì)多連通問(wèn)題多連通問(wèn)題，滿(mǎn)足上述方，滿(mǎn)足上述方程外，還需滿(mǎn)足程外，還需滿(mǎn)足位移單值條位移單值條件件，才是唯一正確解。，才是唯一正確解。例例8下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解（a）（b）（1） 將式（將式（a）代入平衡方程：）代

57、入平衡方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2）03322xyxy033 yy 滿(mǎn)足滿(mǎn)足將式（將式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a）不是一組可能）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。的應(yīng)力場(chǎng)。例例8下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）

58、（2）解解將式（將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：）代入應(yīng)變表示的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b）滿(mǎn)足相容方程，）滿(mǎn)足相容方程，（b）為可能的應(yīng)變分量。）為可能的應(yīng)變分量。例例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力壓應(yīng)力 =0，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。xyxy解解材料力學(xué)解

59、答：材料力學(xué)解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）滿(mǎn)足）滿(mǎn)足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否滿(mǎn)足）是否滿(mǎn)足邊界條件？邊界條件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2）顯然，顯然，平衡微分方程平衡微分方程滿(mǎn)足。滿(mǎn)足。00 yIPyIP0000式（式（a）滿(mǎn)足）滿(mǎn)足相容方程。相容方程。再驗(yàn)證，式（再驗(yàn)證，式（a）是否滿(mǎn)足）是否滿(mǎn)足邊界條件？邊界條件？0, 022hyyxhyy 滿(mǎn)足滿(mǎn)足00 xx滿(mǎn)足滿(mǎn)足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pd

60、ylxhhxy22022dylxhhx近似滿(mǎn)足近似滿(mǎn)足近似滿(mǎn)足近似滿(mǎn)足結(jié)論：式（結(jié)論：式（a）為正確解）為正確解0)(2222yxyx代入代入相容方程：相容方程：02222xyIPyx0上、下側(cè)邊界：上、下側(cè)邊界：右側(cè)邊界：右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：左側(cè)邊界：3.2.10 3.2.10 常體力情況下的簡(jiǎn)化常體力情況下的簡(jiǎn)化1.常體力下平面問(wèn)題的相容方程常體力下平面問(wèn)題的相容方程令：令：22222yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子則相容方程可表示為：則相容方程可表示為：yYxXyx11)(2yYxXyx)1 ()(2 平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形 平面應(yīng)變情形平面應(yīng)變情形當(dāng)體力當(dāng)體力 X