線性代數(shù)及解析幾何第一堂課

1、線性代數(shù)及解析幾何第一堂課摘要：線性代數(shù)與解析幾何是大學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重要組成 部分，由于其知識點繁多及具有抽象性和邏輯性強(qiáng)的特點， 很多學(xué)生認(rèn)為這是一門枯燥難學(xué)的課程。如何在第一堂課上 讓學(xué)生認(rèn)同這門課并產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣呢？本文根據(jù)筆 者多年來在教學(xué)實踐中的思考，介紹我們第一堂課六個方面 的內(nèi)容：本課程的重要性、與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別、與“高 等數(shù)學(xué)"的聯(lián)系與區(qū)別、課程的基本思想、主要內(nèi)容及學(xué)好 本課程的關(guān)鍵。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；解析幾何；第一堂課；學(xué)習(xí)興趣； 杜勒魔方中圖分類號：g642. 4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：a文章編號： 1674-9324 (2012) 12-0076-03線性代數(shù)與

2、解析幾何是大學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重要組成部 分，相關(guān)課程是高等院校各專業(yè)重要的通識教育課程之一。 隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)理論在科學(xué)研究、工 程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的作用日益突出，因此對于本課 程的學(xué)習(xí)成效很大程度上影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和實踐能 力。由于課程具有知識點繁多以及抽象性和邏輯性強(qiáng)的特 點，很多學(xué)生認(rèn)為這是一門枯燥難學(xué)的課程，甚至對其龐大 的研究對象一一矩陣、向量空間等產(chǎn)生畏懼心理，更談不上 喜歡這門課程。俗話說“好的開始是成功的一半”。每門課 第一堂課的一個目的是要使學(xué)生對課程的概況有個初步的 了解，而對于本課程來說，第一堂課尤其重要，這是因為線 性代數(shù)與學(xué)生對數(shù)學(xué)已有的認(rèn)識

3、有很大不同。首先是研究對 象不再是單一的數(shù)，而是矩陣和向量這樣的高維數(shù)組；其次 是所涉及的概念不再是直觀具體的，而是基于直觀的抽象； 再則課程理論的表述與學(xué)生所熟悉的方式有很大差別。這些 差別可能會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，但是，如果能在第一堂課 上處理好上述問題，反而可使學(xué)生更加認(rèn)同這門課并對課程 的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣。本文根據(jù)多年來在教學(xué)實踐中的思 考，介紹我們第一堂課六個方面的內(nèi)容：課程的重要性、與 中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別、與“高等數(shù)學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別、課 程的基本思想、主要內(nèi)容以及學(xué)好本課程的關(guān)鍵。一、課程的重要性1眾多學(xué)科的廣泛基礎(chǔ)。線性代數(shù)是討論數(shù)學(xué)中線性關(guān) 系經(jīng)典理論的課程。掌握線性代數(shù)的

4、基本概念、基本理論和 基本方法，可以為解決理工醫(yī)管科各專業(yè)的實際問題奠定必 要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)、管理、運(yùn)籌學(xué)、社會學(xué)、 人口學(xué)、遺傳學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。高校中許 多專業(yè)的后繼課程都以此為基礎(chǔ)。尤其重要的是，很多工程 領(lǐng)域的科學(xué)問題在離散數(shù)值求解時實際上就是一個線性方 程組的求解問題。2.數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。本課程的教學(xué)目的不僅僅是講授課 程的理論，更重要的是向?qū)W生傳授課程特有的思維方式，給 予他們一種熏陶、訓(xùn)練和磨煉，這些素質(zhì)會使他們受益終生。二、本課程與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別現(xiàn)行中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教育有密切聯(lián)系，理念上又有很大 差別，大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教師要在教學(xué)中發(fā)掘中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)

5、 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的多種聯(lián)系與區(qū)別：大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課在知識上 是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的延伸和拓展，思想方法上是中學(xué)數(shù)學(xué)的因 襲和擴(kuò)張，觀念上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化和發(fā)展。換言之，很多 大學(xué)課堂里貌似困難的新問題都可以在中學(xué)數(shù)學(xué)中找到原 型。這些準(zhǔn)備工作可大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的畏難情 緒，為實現(xiàn)學(xué)生由中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的平穩(wěn)過渡 打下堅實的基礎(chǔ)。大學(xué)新生要完成兩個轉(zhuǎn)變。一是完成學(xué)習(xí) 目的從“應(yīng)試”向“應(yīng)用"的轉(zhuǎn)變。當(dāng)今大學(xué)主要培養(yǎng)應(yīng)用 型創(chuàng)新性人才已成為共識，這就要求學(xué)生能夠?qū)W(xué)到的理論 知識應(yīng)用于實踐，提髙自身觀察問題、分析問題和解決問題 的實際能力，增強(qiáng)自己日后的就業(yè)資本和競爭能力。二是

6、完 成學(xué)習(xí)方式從“被動”向“主動”的轉(zhuǎn)變。在教學(xué)過程中， 教師是施教的主體，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。學(xué)習(xí)主體性是學(xué)生 作為學(xué)習(xí)活動的主體所具有的獨立性、自覺能動性和創(chuàng)造性 的內(nèi)在特性，它是學(xué)生主體得以確立的內(nèi)在依據(jù)和根本標(biāo) 志。為配合學(xué)生的這兩個轉(zhuǎn)變，在第一堂課上應(yīng)該向?qū)W生講 清楚本課程的考核方式。我們采用由期末成績、期中成績、 平時成績、數(shù)學(xué)實驗、學(xué)術(shù)小論文等按一定比例構(gòu)成的綜合 考核方式。這樣的考核更強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，教 師應(yīng)該充分調(diào)動學(xué)生的積極性，指導(dǎo)學(xué)生合理分配時間。教 師要起好引導(dǎo)作用，為學(xué)生創(chuàng)造好自學(xué)和討論的環(huán)境，并選 取既能激發(fā)學(xué)生興趣又能開拓學(xué)生思維的題目作為思考題 和學(xué)術(shù)

7、小論文的選題。三、本課程和“高等數(shù)學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別一般來說，大一學(xué)生同期學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程是''代數(shù)與幾 何”與“高等數(shù)學(xué)”，這兩門課既有聯(lián)系又有區(qū)別?？傮w而 言，代數(shù)是數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)計算與 邏輯思維能力；幾何是空間形式的科學(xué)，視覺思維占主導(dǎo)， 培養(yǎng)直覺能力和洞察力；分析是數(shù)形關(guān)系的科學(xué)，量變關(guān)系 占主導(dǎo)，函數(shù)為對象、極限為工具，培養(yǎng)周密的邏輯思維能 力和建模能力。這兩者的區(qū)別體現(xiàn)在多個方面。“高等數(shù) 學(xué)”主要研究實數(shù)及關(guān)于實數(shù)的函數(shù)，側(cè)重于處理單變量的 問題，“線性代數(shù)”則主要研究向量和矩陣，側(cè)重于處理高 維對象的問題。“高等數(shù)學(xué)”所涉及的數(shù)量是連續(xù)型的，“

8、線性代數(shù)”所涉及的數(shù)量是離散型的，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展 使得處理離散型關(guān)系數(shù)學(xué)理論的重要性日益突出。“高等數(shù) 學(xué)”中諸如導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念直接來自幾何，其許多理 論也可以直接用來刻畫幾何現(xiàn)象，而線性代數(shù)中諸如n維向 量及其線性相關(guān)性等重要概念只是借助幾何為之提供直觀， 其中大部分都是借助這一直觀經(jīng)過提煉抽象出來的，這就使 得線性代數(shù)的理論更具抽象性?！案叩葦?shù)學(xué)”重數(shù)學(xué)原理的 分析，"代數(shù)與幾何”則更側(cè)重于建立分析問題的框架。四、“線性代數(shù)與解析幾何”的基本思想1.解析幾何的基本思想一一從笛卡爾的解析幾何與古 典幾何作圖的三大難題談起。法國的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾 (descartes)引

9、進(jìn)了直角坐標(biāo)系，創(chuàng)立了用代數(shù)方法研究 幾何問題的解析幾何學(xué)。直角坐標(biāo)系的偉大功績是實現(xiàn)了兩 個幾何與代數(shù)之間的對應(yīng)：平面上的每一個點p與一對有序?qū)崝?shù)(x, y)之間的一一對應(yīng)；動點的軌跡產(chǎn)生一條曲 線與一個含有兩個變量的方程之間的對應(yīng)。從此，解析幾何揭開了變量數(shù)學(xué)也即近代數(shù)學(xué)的新篇章。解析幾何的一 個成功的例子是解決了古典幾何作圖的三大難題。幾千年以 來，許多卓越的數(shù)學(xué)家都未能解決這三大難題，既不能找到 它的解答，又不能證明它的不可行性。然而，解析幾何僅通 過提出并從代數(shù)的角度回答了三個問題就輕而易舉地解決 了這些難題，將幾何作圖的本質(zhì)歸結(jié)為求一系列二元一次或 二元二次圓方程的根；將幾何作圖有

10、解的充要條件歸結(jié)為這 些方程組的根一定可以由原方程的系數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除 及開平方這5種運(yùn)算表示。經(jīng)檢驗三大難題都不滿足這個充 要條件，從而解析幾何用這精彩的三問將困擾數(shù)學(xué)家?guī)浊?的三大難題化解在無形之中，展現(xiàn)了解析幾何在解決該問題 時的科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，呈現(xiàn)了新的思維方式，即將一類問題 作為一個整體加以考察，而不是對每個問題單獨進(jìn)行研究。通過大一新生熟悉的平面解析幾何知識來揭示解析幾何的 基本思想，將使學(xué)生認(rèn)識到用代數(shù)方法研究幾何問題的重要 作用，從而激起學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何的欲望。 2.線 性代數(shù)的基本思想一一從兩個游戲談起。從動物連連看談 等價分類。學(xué)生喜愛的一些游戲的設(shè)計思想與線性代

11、數(shù)的思 想本質(zhì)上是吻合的。例如，動物連連看游戲蘊(yùn)含著等價分類 的思想。雖然現(xiàn)在大多連連看游戲都只是將完全一樣的動物 頭像連起來消掉，但只要將游戲規(guī)則改為將同一種類動物連 起來消掉就是等價分類。從理論上看，線性代數(shù)的一個重要 的任務(wù)就是將矩陣不同的等價關(guān)系進(jìn)行分類，這些等價關(guān)系 主要是指矩陣間的相抵關(guān)系、相似關(guān)系和相合關(guān)系。這些分 類方法的共同特征就是找出相應(yīng)的不變量和最簡形式。這就 揭示了線性代數(shù)的一個重要思想一一化繁為簡。從數(shù)獨游 戲談向量空間。數(shù)獨游戲是學(xué)生非常喜歡的數(shù)學(xué)智力游戲。 數(shù)獨游戲又稱數(shù)字九宮格，即3格寬3格高的正方形，每一 格又細(xì)分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上數(shù)

12、字1至9,讓整個大九宮格每一列、每一行的數(shù)字都不重復(fù)。 不妨嘗試解析幾何帶來的新思維方式：將一類問題作為一個 整體加以考察。下面以杜勒魔方為例來闡述其主要思想。杜勒魔方是指一個4x4數(shù)字方滿足每行、每列、每一對角線、 每一個小方塊上的數(shù)字和相等且是一確定數(shù)。作為例子，不 難構(gòu)造如下兩個杜勒魔方：我們不禁要問：杜勒魔方一共有多少個？如何構(gòu)造所有 的杜勒魔方呢？容易看到任意兩個杜勒魔方的和仍是一個 杜勒魔方；任意一個杜勒魔方的任意數(shù)乘還是一個杜勒魔 方。因此，如果杜勒魔方的元素允許取任意實數(shù)，且將每個 杜勒魔方元素首尾相接構(gòu)成一個16維列向量，那么所有杜勒魔方的集合就構(gòu)成了一個向量空間。從而，上述

13、兩個問題就不難回答了：杜勒魔方有無數(shù)多個,只要構(gòu)造杜勒魔方空間的一組基就可得到所有的杜勒魔方。杜勒魔方的魅力還不僅僅局限于引出向量空間和基的概念,它還可以在以后的課堂教學(xué)中引領(lǐng)我們揭示線性代數(shù)一個又一個的抽象概念：基 于化繁為簡的思想，構(gòu)造由0, 1構(gòu)成的和為1的八個基本 杜勒魔方，但它們線性相關(guān)，而去掉任何一個就是線性無關(guān) 的，從而找到了 7維杜勒魔方空間的一組基；當(dāng)增強(qiáng)或者放 松杜勒魔方中“和相等”的限制條件時，就可得到向量空間 的子空間和擴(kuò)張。用學(xué)生喜愛的游戲來揭示線性代數(shù)的基本 思想一一等價分類和化繁為簡，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神奇， 從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。我們在課堂教學(xué)中的這

14、一嘗試收到了很好的效果。3線性代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系一一從勾股定理說起。解 析幾何為線性代數(shù)提供幾何直觀，許多線性代數(shù)的概念和方 法都有其幾何原形。比如說，勾股定理是一個眾所周知的幾 何特征，其實在n維空間中，結(jié)論仍然成立，即當(dāng)n維向量 a , b垂直時，有丨丨a 土 b丨|2=| | a | |2+|丨b丨|2。在實踐 中常用的最小二乘法就是建立在此基礎(chǔ)上的。線性代數(shù)也為 解析幾何提供代數(shù)方法。比如說，平面上的二次曲線和空間 中的二次曲面的分類在幾何上是比較困難的問題，但是，如 果借助于代數(shù)上矩陣的特征值和二次型的慣性定理，該問題 就可以輕松圓滿地獲得解決。五、本課程的主要內(nèi)容“線性代數(shù)與解析

15、幾何”的主要內(nèi)容顧名思義分為線 性代數(shù)和解析幾何兩部分，但是不同教材講授的內(nèi)容不盡相 同，講授順序也各有差別，這里僅以教材為例介紹內(nèi)容。線 性代數(shù)的核心工具是初等變換，主要任務(wù)是求解線性方程 組，為此要研究各個方程之間的關(guān)系；每一個方程對應(yīng)一個 向量，因此要研究向量組的線性相關(guān)性、極大無關(guān)組和秩以 及向量空間的基和維數(shù)；一個向量組構(gòu)成一個矩陣，又要研 究矩陣的各種運(yùn)算，矩陣中行列數(shù)相等的方陣還有一個特殊 的行列式運(yùn)算，因此最先研究的應(yīng)該是行列式的各種性質(zhì)和 計算。知識點環(huán)環(huán)相扣，而學(xué)習(xí)的過程要按照上述從后向前 的順序進(jìn)行。線性方程組的一個主要應(yīng)用就是計算方陣的特 征值和特征向量，從而研究方陣的

16、相似對角化問題?？臻g解析幾何包括用代數(shù)方法研究三維空間的直線、平面和二次曲 面?；谙蛄康臄?shù)量積、向量積和混合積，可以得到直線、 平面的各種方程，并能研究直線、平面間的夾角、距離等位 置關(guān)系；基于實對稱矩陣的合同關(guān)系的等價分類，通過可逆 線性變換特別是正交變換將一般二次曲面轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，從 而判別二次曲面的類型。課程的重點和難點是向量組的線性 相關(guān)性、極大無關(guān)組；矩陣的秩；向量空間的基和維數(shù)；二 次曲面的類型判別等。六、學(xué)好本課程的關(guān)鍵 學(xué)好本課程的關(guān)鍵是要解決學(xué)什么及怎樣學(xué)的問題。學(xué)什么？課程知識是一個方面，更重要的是課程帶給我們的數(shù) 學(xué)思維方式以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力。在學(xué) 習(xí)

17、過程中應(yīng)當(dāng)力求弄清知識產(chǎn)生的背景和課程內(nèi)容前后的 聯(lián)系，增強(qiáng)知識的整體感、系統(tǒng)性和連貫性，以免淹沒在知 識點的海洋之中。怎么學(xué)？第一掌握三基，即基本概念（定 義、符號）、基本理論（定理、公式）、基本方法（計算、證 明）；第二做好預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)，課上體會思路，課下學(xué)會總結(jié)； 第三多看多練多想，深入體會思想方法，提高邏輯思維能力; 第四培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力、獨立分析問題和解決問題的能力。要做好教學(xué)工作，需要我們在各個環(huán)節(jié)上認(rèn)真細(xì)致的努力, 作為其中一環(huán)，第一堂課的成功與否對整個課程教學(xué)有直接 的影響。這幾年的教學(xué)實踐讓我們越來越感受到努力的成 效?，F(xiàn)在，常有學(xué)生告訴我們這樣的話，“原本以為這是一 門比較枯燥

18、的課程，但是在第一堂課上的杜勒魔方和連連看 的例子徹底顛覆了我們原有的認(rèn)識，原來看似單調(diào)的矩陣?yán)?也是一個數(shù)字的舞臺，在其中向我們展示著數(shù)學(xué)神奇的魔 力，也因此對這門課程產(chǎn)生了濃厚的興趣”。參考文獻(xiàn)：1 周興和，葉惟寅實踐中的好課和好課的實踐j 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2005, 14 (2)： 80-82.2 陳懷琛，高淑萍，楊威.科學(xué)計算能力的培養(yǎng)與線性代數(shù)改革j 高等數(shù)學(xué)研究，2009, 12 (3)： 23-25.3 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系線性代數(shù)編寫組線性代數(shù)(第 四版)m.北京：高等教育出版社，2007, 5.4 朱小紅.線性代數(shù)教學(xué)中學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)j武漢冶金管理干部學(xué)院學(xué)報，2007, 17 (2)： 53-54.5 侯維民從數(shù)學(xué)方法論看高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的多種聯(lián)系j.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003, 12 (3)： 84-87.6 王子和.淺談學(xué)生學(xué)習(xí)