橢圓中焦點三角形的性質(zhì)

1、橢 圓 中 焦 點 三 角 形 的 性 質(zhì) ( 含 答 案 解析 ) ( 共 6 頁 )-本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可- -內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小- 2 焦點三角形習(xí)題性質(zhì)一： 過橢圓焦點的所有弦中通徑(垂直于焦點的弦 )最短，通徑為ab22性質(zhì)二： 已知橢圓方程為),0( 12222babyax兩焦點分別為,21ff設(shè)焦點三角形21fpf中,21pff則2tan221bspff.證明：記2211| ,|rpfrpf，由橢圓的第一定義得.4)(,2222121arrarr在21pff中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22

2、121221crrrrrr即.4)cos1 (242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面積公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrspff.2tan221bspff同理可證，在橢圓12222bxay（ab0）中，公式仍然成立 . 性質(zhì)三： 已知橢圓方程為),0( 12222babyax兩焦點分別為,21ff設(shè)焦點三角形21fpf中,21pff則.21cos2e性質(zhì)三證明：設(shè),2211rpfrpf則在21pff中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrca

3、rrcrrrrrrffrr3 .2112221)2(222222222122eacarrca命題得證。例1.若 p是橢圓16410022yx上的一點，1f 、2f 是其焦點，且6021pff，求21pff的面積.例 1解法一：在橢圓16410022yx中，,6, 8,10cba而.60記.| ,|2211rpfrpf點 p在橢圓上，由橢圓的第一定義得：.20221arr在21pff中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr從而.325621rr.336423325621sin212121rrspff解法二：在橢圓

4、16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bspff例 2.已知 p是橢圓192522yx上的點，1f、2f分別是橢圓的左、右焦點，若21|2121pfpfpfpf，則21pff的面積為（）a. 33 b. 32 c. 3 d. 33解：設(shè)21pff，則21|cos2121pfpfpfpf，.604 .3330tan92tan221bspff故選答案 a.例 3.已知橢圓191622yx的左、右焦點分別是1f、2f，點 p在橢圓上 . 若 p、1f、2f是一個直角三角形的三個頂點，則點p到x軸的距離為（）a. 59 b. 779 c. 49 d. 49或7

5、79解：若1f或2f是直角頂點，則點p到x軸的距離為半通徑的長492ab；若 p是直角頂點，設(shè)點p到x軸的距離為 h，則945tan92tan221bspff，又,7)2(2121hhcspff97h，.779h故選 d.1. 橢圓1244922xy上一點 p與橢圓兩個焦點1f 、2f 的連線互相垂直，則21pff的面積為（） a. 20 b. 22 c. 28 d. 24解：24,90221bpff，2445tan242tan221bspff.故選 d.2. 橢圓1422yx的左右焦點為1f、2f， p是橢圓上一點，當(dāng)21pff的面積為 1時，21pfpf的值為（） a. 0 b. 1 c.

6、 3 d. 6解：設(shè)21pff，12tan2tan221bspff，90,452，021pfpf.故選 a.3. 橢圓1422yx的左右焦點為1f 、2f ， p是橢圓上一點，當(dāng)21pff的面積最大時，21pfpf的值為（） a. 0 b. 2 c. 4 d. 2解：3, 1,2cba，設(shè)21pff，2tan2tan221bspff，5 當(dāng)21pff的面積最大時，為最大，這時點 p為橢圓短軸的端點，120，2120coscos|22121apfpfpfpf.故答案選 d.4已知橢圓1222yax（a1）的兩個焦點為1f、2f，p為橢圓上一點，且6021pff，則|21pfpf的值為（）a1 b

7、 31 c 34 d 32解：6021pff，1b，3330tan2tan221bspff，又|43sin|21212121pfpfpfpfspff，33|4321pfpf，從而34|21pfpf.故答案選 c.5. 已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，1f、2f為焦點，點 p在橢圓上，直線1pf與2pf傾斜角的差為9021pff，21pff的面積是 20，且c/a=5/3 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .解：設(shè)21pff，則90. 2045tan2tan22221bbbspff，又3522abaace，95122ab，即952012a.解得：452a.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1204522yx或1204

8、522xy.專題 2：離心率求法：1若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，則橢圓的離心率為()1.解析：選a.如圖所示，四邊形b1f2b2f1為正方形，則b2of2為等腰直角三6 角形，ca22.2若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()2.解析：選b.由題意知2bac，又 b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20. 5c22ac3a2 0.5e22e30.e35或 e 1(舍去 )3若橢圓的短軸長為6，焦點到長軸的一個端點的最近距離是1，則橢圓的離心率為_3.解析：依題意，得b3，ac1.又 a2b2c2，解得 a

9、5，c4，橢圓的離心率為eca45. 答案：454.已知 a 為橢圓x2a2y2b21(ab0)上的一個動點，直線ab、ac分別過焦點f1、f2，且與橢圓交于 b、c兩點，若當(dāng)ac垂直于 x 軸時，恰好有| af1| | af2| 31，求該橢圓的離心率4.解：設(shè) | af2| m，則 | af1| 3m，2a| af1| | af2| 4m.又在 rtaf1f2中，| f1f2| | af1|2| af2|222m.e2c2a| f1f2|2a22m4m22.5如圖所示，f1、f2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點m 的橫坐標(biāo)等于右焦點的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的23，求橢圓的離心率5. 解：法一：設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c.則焦點為f1(c,0)，f2(c,0)，m 點的坐標(biāo)為 (c，23b)，則 mf1f2為直角三角形在 rtmf1f2中，7 | f1f2|2| mf2|2| mf1|2，即 4c249b2| mf1|2.而| mf1| | mf2| 4c249b223b2a，整理得 3c2 3a22ab.又 c2a2b2，所以 3b