高中數(shù)學解析幾何解題方法

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2、線。過a (2, 1)的直線與雙曲線交于兩點及，求線段 的中點p的軌跡方程。分析：設，代入方程得，。兩式相減得又設中點p(x,y),將代入，當時得又，代入得。當弦斜率不存在時，其屮點p (2, 0)的坐標也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是說明：本題要注意思維的嚴密性，必須單獨考慮斜率不存在時的情況。(2) 焦點三角形問題典型例題 設p(x，y)為橢圓上任一點，為焦點,(1)求證離心率0sin(<7 + 0)= ；sin q +sin 0(2)求的最值。分析：(1)設,由正弦定理得得c sin(cr + 0)e =a sin q + sin 0(2)當 時，最小值是 當x = ±

3、a時，最大值是(3) 直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式，應特別注意數(shù)形結合 的辦法典型例題(1) 求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2) 設直線與拋物線的交點為a、b,且oa丄ob,求p關于i的函數(shù)f(l)的表達式。(1)證明：拋物線的準線為由直線x+y=t與x軸的交點(t, 0)在準線右邊，得故直線與拋物線總有兩個交點。(2)解：設點 a(xj, yj,點 b(x2，y2)（4）圓錐曲線的有關最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關最值（范圉）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意

4、義，一般可用圖形性質來解決。<2>若命題的條件和結論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式） 求最值。典型例題已知拋物線y2=2px（p>0）,過m （a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點a、b, |ab|w2p（1）求a的収值范圍；（2）若線段ab的垂直平分線交x軸于點n,求anab面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，對于（1）,可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a 的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2） 首先要把anab的

5、面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想”。解：（1）直線l的方程為：y二xa,將y二xe代入拋物線方程y2=2px,得：設直線l與拋物線兩交點的坐標分別為a4(a+ p) _> 0x+x2 = 2(a + p)，又 yi=xra,y2=x2-a,ab= j（x -兀2）2 +（x -兒）2 = j2（“ +兀2）2 4兀兀2】=8p（p + 2a）/0 <| ab< 2p,8p（p + 2（7）> 0, /.0 <8p（p + 2d） < 2p,解得：.24（2）設ab的垂直平分線交ab與點q,令其坐標為（x3,y3），則由中

6、點坐標公式得:所以|qm|2=（a+p-a）2+（p-0）2=2p2.又 mnq為等腰直角三角形，所以|qm|=|qn|=邁p，所以s 1 °qnab= -ab-qn = p-ab< p-2p =3panab 面積的最大值為邁 ps2 2 2（5）求曲線的方程問題1.曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線l過原點，拋物線c的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點a (-1, 0)和點b (0, 8)關于l的對 稱點都在c上，求直線l和拋物線c的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設出它們的方程,l： y=kx(k0),c:y2=2px(p>

7、0)設a、b關于l的對稱點分別為a'、b；貝利用對稱性可求得它們的坐標分別為：k2 -1 2k1 gk (k2 -11az (二上,一),b (斗一)。因為a、b均在拋物線上，代入，消去p,得：k2-k-l=0.mw：疋+1疋+12+1疋+11 + v5 2v5k=,p=.25所以直線l的方程為：y二上¥$x,拋物線c的方程為半x.2.曲線的形狀未知一-求軌跡方程典型例題己知直角坐標平面上點q (2, 0)和圓c： x2+y2=l,動點m到圓c的切線長與|mq|的比等于常數(shù)2 ( a>0)，求動 點m的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設mn切圓c于點n,則動點

8、m組成的集合是：p=m|mn|=/l|mq|,由平面兒何知識可知： |mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1,將 m 點坐標代入,可得：(2 2-1 )(x2+y2)-42 2x+( 1 +4 2 2)=0.當久二1時它表示一條直線；當2h1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。(6) 存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這 交點在圓錐曲線形內(nèi)。(當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決)典型例題己知橢圓c的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓c上有不同兩點關于直線對稱。分析：橢圓上兩點，代入方程

9、，相減得又由解得交點交點在橢圓內(nèi)，則有，得。(7) 兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題己知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線c有兩個不同的交點(如圖)。(1)求的取值范圍；(2)直線的傾斜角為何值時，a、b與拋物線c的焦點連線互相垂直。分析：(1)直線代入拋物線方程得9由，得o(2)由上面方程得,焦點為。宙,得，0 = arctaih或卩=兀arcta止22b:解題的技巧方面在教學中，學生普遍覺得解析兒何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用兒何圖形、韋達定理、曲 線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下

10、面舉例說明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及英性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條 件，并結合平面兒何知識，這往往能減少計算量。典型例題 設直線與圓相交于p、q兩點，o為坐標原點，若，求的值。解： 圓過原點，并且，是圓的直徑，圓心的坐標為又在直線上，即為所求。,pq是圓的直徑，圓心在直線評注:此題若不充分利用一系列幾何條件:該圓過原點并且上，而是設再由和韋達定理求，將會增大運算量。評注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點m是在以0p為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法,計算量將很大，并且比較麻煩。二. 充分利用韋達定理及“設而不求”的策略我們經(jīng)常

11、設出眩的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點0,焦點在 軸上的橢圓與直線相交于p、q兩點，且求此橢圓方程。解：設橢圓方程為直線與橢圓相交于p兩點。由方程組消去后得由，得（1）又p、q在直線上，把（1）代入，得即化簡后，得（4）由，得把（2）代入，得代入（4）后，解得所求橢圓方程為評注：此題充分利用了韋達定理及“設而不求”的策略，簡化了計算。三. 充分利用曲線系方程o的交點，且圓心在直線：利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓上的圓的方程。解：設所求圓的方程為：即其圓心為c(又c在直線上

12、,解得 ，代入所設圓的方程得所求。評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點，故簡化了計算。四、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這也是我們常說的三角 代換法。典型例題2 2p為橢圓二+厶=1上一動點，a為長軸的右端點，b為短軸的上端點，求四邊形oapb面積的最大值 cr tr及此時點p的坐標。五、線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦ab長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程屮，得到型如的方程，方程的兩根設為,判別式為，則j1 +疋衛(wèi)仝,若丨。1 直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。例 求直線被橢圓所截