第三章動量和角動量教案2008

1、第三章 動量和角動量教學要求：*掌握動量、沖量、質(zhì)點動量定理，解 決質(zhì)點平面運動問題。*理解質(zhì)點系動量定理、動量守恒定律 及適用條件。掌握用動量守恒定律分析問題的方 法，分析簡單系統(tǒng)平面運動。*理解質(zhì)點的角動量、力矩、沖量矩概 念，質(zhì)點系角動量定理。*理解角動量守恒定律 及適用條件 用于分析計算有關(guān)問題。教學內(nèi)容學時：4學時：§ 3 - 1質(zhì)點的動量定理§ 3-2 質(zhì)點系的動量定理§ 3-3 動量守恒定律§ 3-4 角動量 質(zhì)點的角動量定理§ 3-5 角動量守恒定律§ 3-6 質(zhì)點系的角動量定理教學重點：*建立動量、角動量的概念；*掌

2、握力的沖量與動量的變化量的關(guān) 系；*理解力矩的沖量矩與角動量的變化 量的關(guān)系；*掌握動量守恒定律以及適用條件；*理解角動量守恒定律及其適用條件。教學難點：動量、動量定理、動量守恒定律的矢量 性;建立角動量的概念；角動量、角動量定理、角動量守恒定律 的矢量性。作業(yè)：3-01), 3-03), 3-07),3-09), 3-12)，3-15),3-16),3-17),3-18), 3_19)。§ 3 - 1 質(zhì)點的 動量定理1. 質(zhì)點的動量P = mv牛頓第二定律：dtF dt = d P3-22. 力的沖量力對時間的累積F dt1恒力的沖量： I = F t2變力在dt時間內(nèi)的微沖量：

3、dl = F dt變力在tlt2的一個過程中的沖量：Pit2IF dtti(3-3)IPl式中：P2為質(zhì)點在t2時刻 的動量，Pl為質(zhì)點在11時刻 的動量。 動量定理積分形式說明：合外力在一段時間內(nèi)沖量等于質(zhì)點在 同一段時間內(nèi)動量的增量。在一維情況下，沖量是Ft曲線圖中沖 力曲線與橫軸間的面積將3-3、3-4式投影到坐標軸上就 是質(zhì)點動量定理的分量形式。例如對x、y、z軸就有：t2I X =Fxdt 二 Px2 - Px1tit2IytiFydtPy2Pyit2I 廠Fzdt 二 Pz2 - Pziti力在哪一個坐標軸方向形成沖量, 動量在該方向分量就發(fā)生變化，動量分 量的增量等于同方向上沖量

4、的分量。動量定理常用于碰撞、沖擊一類問 題，物體所受力叫做沖力。沖力的量值往往很大，作用時間那么 往往很短圖3-2實線3合力的沖量：t2F * itit2t2 F dt 二F i dt 二titi對力的沖量t2t2I 二 F dt 二F dt 二 Ititi3. 質(zhì)點動量定理的微分形式即牛頓第 二定律合外力：F 込dt即:質(zhì)點所受的合外力等于質(zhì)點動量對時間的變化率或：F dt = d P4. 質(zhì)點的動量定理的積分形式合外力的沖量：t2P1J F dt = J d P = P2P1tiP2即：在一過程中，質(zhì)點受到合 外力沖量等于質(zhì)點動量的增量幾何上即I、Pi、P2構(gòu)成閉合三 角形:5 質(zhì)點動量定

5、理的分量形式：Fxdt 二x2PxiFydtPytlFzdtz26 平均沖力:F dt例3.1 質(zhì)量m二1.0kg小球以初速率 vo = 20.0m/s沿水平方向拋出，求：一秒鐘之后小球速度的大 小和方向(不計空氣阻力)。小球拋出時的初動量Pi = mV。= 20kg m/s，沿水平方向, 一秒鐘內(nèi)小球所受重力沖量I = mg, 9.8N s，方向豎直向下。 根據(jù)(3-4)矢量關(guān)系可作圖，那么一 秒鐘后動量F2的大小為P2Pl2 *J(20)2(9.8)222.3kg m速度大小為：v = -P = 22 .3 m/sm速度方向為arcta narcta n(9.2026 .1例3.2 質(zhì)量m

6、 = 0.15kg 的小球以v°=10m/s速度射向光滑地面，入射角r = 30,然后沿，2 = 60的反射角方向彈岀。設(shè)碰撞時間M = 0.01s，計算： 小球?qū)Φ孛娴钠骄鶝_力。yOx解因為地面光滑，地面對小球沖力沿 法線方向豎直向上，水平方向小球不受作用力。設(shè)地面 對小球的平均沖力為F，碰后小球速度為V,建立坐標如圖, 根據(jù)質(zhì)點的動量定理有：I x = 0 = mv sin，2 mv0 si 1I y = (F mg) t = mvcos 2 ( mv0 cos 1)由此得sinmv o sin( 2 )sinmg代入數(shù)據(jù)0.15100.013 20.159.8175 N小球?qū)Φ?/p>

7、面的平均沖力就是 f的 反作用力。此題考慮重力作用，重力 mg = 0.15 9.8 = 1.47N ，不至U f 1%可忽略不計。§ 3-2動量定理質(zhì)點系的1. 概念:質(zhì)點系;外力;內(nèi)力2. 質(zhì)點系的動量定理微分形式：對i質(zhì)點應用質(zhì)點的動量定理:dt對質(zhì)點系中n個質(zhì)點求和:d P i' F 外 i _ F 內(nèi) iiii dt(3-5)由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)瓦F由.內(nèi)ii二 0故：F外=d Pdt(3-6)或：F外dt二 d P3質(zhì)點系的動量定理積分形式 在一個過程中f F 外 dt =t(3-7)或:P 2d P = P 2Pi(3-8)例3.3 木板B靜止置于水平臺面上，

8、小木塊A放在B板的一端上。 mA = 0.25kg , m = 0.75kg ,A與B間的摩擦因數(shù)= 0.5，木板B與臺面間的 摩擦因數(shù)1 2 = 0.1?，F(xiàn)在給小木塊A一向右的水平初速度Vo=40m/s,問：經(jīng)過多長時間AB恰好具 有相同速度？B板足夠長A voB7 / / / 7 / / / /解：根據(jù)質(zhì)點系的動量定理有：Frt = (mA mB )v mAVo以及Fk = J 2( mA mB )g得：v = ( mA© J mA * mBJ2對小木塊A應用質(zhì)點的動量定理FFk mAVmAVo以及Fr k解得：代入有關(guān)數(shù)據(jù)得:v = 2.5m/st = 7 65 s§

9、 3-3 動量守恒定律一動量守恒定律如果質(zhì)點系所受的合外力為零，質(zhì) 點系的動量將保持不變，即：F外=0P =、 m i v i = 恒矢量(3-9)注意：1動量守恒是指質(zhì)點系總動量不變!丄mi vi =恒矢量各質(zhì)點i的動量是可以變化的2.當質(zhì)點系內(nèi)部的作用遠遠大于外力F 內(nèi) >>F 外,或外力不太大而作用時間很短促，可忽略外力效果，近似應用。3動量守恒定律的分量形式為：右：Fx =0,那么:Zimi Vix=常量右：Fy =0 ,貝U：ZimMy=常量右：Fz =0 ,那么:Zm i v iz二常量i合外力在哪一坐標軸上分量為零，該方 向上質(zhì)點系總動量分量守恒。二碰撞過程中的動量守

10、恒現(xiàn)象碰撞一強烈而短暫，內(nèi)力作用強，通 常F內(nèi)- F外,且作用時間短暫，因此動量守恒，碰撞可分為三類：1完全彈性碰撞：碰撞后二體分開，系統(tǒng)動量守 恒，機械能守恒表現(xiàn)為系統(tǒng)的總動能前后相等。2非完全彈性碰撞：碰撞后二體分開，系統(tǒng)動量守恒機械能不守恒。3完全非彈性碰撞：碰撞后二體合一，系統(tǒng)動量守恒機械能不守恒。例3.4 質(zhì)量為m的小球A以速度vo沿x 軸正方向運動，與另一質(zhì)量為m的靜止小球B 在水平面內(nèi)碰撞，碰后A沿y軸正方向運動，B 運動方向與x軸成：角。(1) 求：碰撞后A的速率V1和 B的速率V2；(2) 設(shè)碰撞的接觸時間為A t , 求：A受到的平均沖力。y解(1)以A、B兩球構(gòu)成系統(tǒng)，合

11、外力 為零，系統(tǒng)的動量守恒。建立坐標如圖，應用動量守恒定律的分量形式：x方向m 2v2 cos '= m 1 v0y 方向m - m2v2 sin聯(lián)解，得：ta ncos以小球A為研究對象，由質(zhì)點的動量定理X方向m1v1mpoy方向m1v1mMy所以:的大小為:Fx)2(F y )(-)2 (、/v廠與x軸的夾角為:arcta n三動量守恒定律與牛頓運動定律牛頓運動定律導出 動量定理動量守恒定律。動量守恒定律遠比牛頓定律更廣 泛，更深刻揭示物質(zhì)世界一般規(guī)律。其 適用范圍，大到宇宙，小到微觀粒子。 可得宇宙中動量總量不變的結(jié)論，動量 守恒定律為自然界普遍遵從定律。 下面從動量守恒定律岀發(fā)

12、導岀牛頓第 二、三定律設(shè)有質(zhì)點1和質(zhì)點2構(gòu)成一個圭寸閉系 統(tǒng)，兩個質(zhì)點不受外界作用，只有彼此間 相互作用。根據(jù)動量守恒定律，系統(tǒng)總動量保持 不變：PPi * P2 =恒矢量但兩質(zhì)點通過彼此間相互作用交換動 量，因此：PP1即：P 2質(zhì)點1獲得：P1P1 P10質(zhì)點2失去：P 2(P 2 - P 20)有:P1A P 2TA t令t0，那么有：d P 1d P 2(3-10)dtdt說明：兩物體相互作用彼此施加a r. 力，使動量發(fā)生變化，因此定義：質(zhì)點1對質(zhì)點2的作用力:F 21普質(zhì)點2對質(zhì)點1的作用力：F 12d P1dt(3-11 )得:F 12頓第二定律 由此可知：“作用力與反作用力大小

13、相等，方向相 反與"動量守恒對質(zhì)點系等價！考慮一質(zhì)點，所受力都是外力，由 (3-11)或(3-11 ):再考慮到：P及低速時質(zhì)量m是常量，那么:d Pdtmvd (mv)dtd v m dt牛頓第二定律 注意*從歷史上看，動量守恒定律從實驗 研究得到，迄今，尚未發(fā)現(xiàn)與動量守恒定律相 悖的現(xiàn)象。*動量守恒定律和動量定理都只對慣 性參照系成立。在非慣性參照系中那么需要加上慣性 力才能應用。例3.5 如下圖，一輕繩懸掛質(zhì)量為 m的砂袋靜止下垂，質(zhì)量為m的子彈以速度V。傾斜角，射入砂袋中不再出來，求：子彈與砂袋一同開始運動 時的速度。Omvor_J mi解 在子彈射入過程中以子彈和砂袋構(gòu) 成

14、一系統(tǒng)，豎直方向受重力忽略和繩沖力 不可忽略，動量豎直分量不守恒。在 水平方向上系統(tǒng)不受外力作用，動量水 平分量守恒。設(shè)碰后子彈與砂袋以共同速度 V開 始運動。m2v0 sin ： = mm2v得m 2 sin 日vvom m 2例3.6 小游船靠岸的時候速度已幾乎減為零，坐在遠離岸端的一位游客站起來走向船近岸端準備上岸，設(shè)游人體重m=50kg，小游船重 m=100kg，小游船長L=5m問：游人能否一步跨上岸。水 的阻力不計解該系統(tǒng)水平方向動量守恒。設(shè)游客速度為Vi，游船速度為V2， 那么有：m1v m2v2 = 0積分得m v dtm 2 v 2 dt 二 0tt即m x m 2 x 2 =

15、 0其中：x = v1dt八At，S x2 = v2dt為游客和游船對岸位移。t按相對運動的位移關(guān)系A(chǔ)= A x+'x1 x12游客對游船的位移X12 = L ,故有x 1 = Lx 2聯(lián)立求解1、兩式，可得游客對岸的位移：X110050100游船對岸的位移X2m1m m250501001.67 m負號表示游船對岸后退了1.67 米2021/03/12§ 3-4 角動量 的角動量定理質(zhì)點質(zhì)點的角動量L1.角動量描述物體的轉(zhuǎn)動質(zhì)點相對于O點的角動量為:L r P rm v(3-12)角動量等于質(zhì)點對 O點的矢徑 與動量的矢積。2.角動量的大小根據(jù)矢積計算規(guī)那么為：L = r P

16、 sin： = mrv sin(3-13)角動量的方向由矢積方向的右 手定那么確定。注意:角動量必須針對某一確定的 O點。二力矩1 .力矩定義力的作用點的矢徑r與力F的矢 積M = r F(3-14)M力 矩 的 大 小 ：M = r F sin = F d力矩的方向：由右手定那么確定2.力矩的沖量矩力矩對時間的累積 力矩在dt時間內(nèi)的微沖量矩為：M外dt力矩在tlt2過程中的沖量矩為：t2 M 外 dtti三.質(zhì)點的角動量定理1.角動量定理的微分形式質(zhì)點角動量對時間的變化率dtdtdtdt第一項V與動量P=mV同方 向，二者矢積等于零由 M外= F外，得：dt3-15即質(zhì)點受到的合外力矩等于

17、質(zhì)點 角動量對時間的變化率或： d L M外dt角 動量定理的微分形式L 2d L L 2 L12 角動量定理的積分形式t2 M 外 dt =ti(3-16)一角動量定理的積分形式在一個過程中，質(zhì)點受合外力矩的 沖量矩等于質(zhì)點角動量增量L = L 2 - L !ti 至 y t 2 時間內(nèi)質(zhì)點角動量的增量注意：力矩與角動量必須對同 一參考點。例3.7 地球的質(zhì)量 m = 6.01024kg,地球與太陽的中心距離r=1.5 io11 m假設(shè)近似認為地球繞太陽作勻速率圓周運動，v = 3 104m/s,求：地球?qū)μ栔行牡慕莿恿?。vm解作示意圖如圖，0點為太陽中心， 地球?qū)μ栔行牡慕莿恿繛椋篖

18、= r m v因為r與v垂直，2，故角動 量的大小為：71L = r mv sin rmv2=1.5 10116.010243 104=2.71040 kg m2/s在圖示情況下L垂直于r、v構(gòu) 成的平面，方向向上 可見：對于做圓周運動的質(zhì)點，由于矢 徑r與速度v時時都彼此垂直，故質(zhì)點對圓心O的角動量的大小L = mrv，方向向上，如果是做勻速率圓周運動，角動 量是一常矢量。例3.一質(zhì)點以速度v沿I方向作直線運動，質(zhì)點質(zhì)量m0點到直線垂直距離為d。求:質(zhì)點對直線外一點0的角動量0解：設(shè)任一時刻質(zhì)點到0點的矢徑為r如圖質(zhì)點角動量的大小根據(jù)3-13為：L = rmv sin = mvdd為0到I的

19、垂直距離，0到v延長線的垂直距離_動量臂，因此角動量的大小為：L = Pd假設(shè)質(zhì)點作勻直運動，任意時刻質(zhì)點 對0點角動量大小和方向恒定。§ 3-5 角動量守恒定律i. 角動量守恒定律如果合外力矩等于零，質(zhì)點的角動量守恒，即假設(shè) M外=0那么:L = r P =恒矢量角動量守恒定律角動量守恒定律條件：質(zhì)點所受的合 外力矩為零兩種實現(xiàn)的可能*質(zhì)點所受的合外力為零，那么合外力 矩為零。* F外=0,但力與作用點矢徑同一直線，力臂為零，力矩為零。在有心力場，如萬有引力場、點電荷 的庫侖場中常見例3.9 我國第一顆人造地球衛(wèi)星繞地 球運行的軌道為一橢圓，地球在橢圓的一個焦點上，衛(wèi)星在近地點和遠

20、地點時距地心r 1=6.82 x 106m 和.76 x 106m,在近地點時的速度Vi=8.1 x103m/s,求：衛(wèi)星在遠地點時的速度V2解如圖衛(wèi)星在軌道上任一處受地球引 力始終指向地心，力矩為零，衛(wèi)星對地心角動量守恒，在近地點 角動量等于在遠地點角動量，設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m*在近地點：L二 mr 1 v1L2 = mr 2v2Li = L2 ,角動量守恒得:V2 =2Vi6 .82108 .31108 .7610*在遠地點：=6 . 310 3 m / s本例，衛(wèi)星受地球引力作用，引力沖 量改變衛(wèi)星動量，動量不守恒。但引力對地心力矩為零，衛(wèi)星對地心 角動量守恒，重要性！ 例3.10 光滑水平臺

21、面上有一質(zhì)量為 m 的物體拴在輕繩一端，輕繩的另一端穿過臺面上的 小孔被一只手拉緊，并使物體以初始角速度作半徑r0的圓周運動(如圖)手拉著繩以勻速率 v向下運 動，使半徑逐漸減小，半徑減小為r時物體的角速度® ;假設(shè) 以向下拉動時為計時起點(t=0)，求：角速度與時間的關(guān)系(t)。解 在水平方向上，物體m只受繩拉力 作用，拉力對小孔的力矩為零，物體對 小孔的角動量守恒。m rv = m r0v0考慮至UV。= r°0，2fmr2=mr o o所以：2蛍=ro七r 20再按題意，r = r0 - vt，代入上式：0 ro22 0(r vt ) 2例3.11_用角動量守恒定律再

22、解例,應有:3.5，一輕繩懸掛質(zhì)量 m的砂 袋靜止下垂，質(zhì)量m的子彈以Vo 傾斜角射入砂袋中不再出來，求：子彈與砂袋一同開始運動 時的速度。V0 二m1解 在子彈射入砂袋的過程中，將子彈 和砂袋視為一個系統(tǒng)，除碰撞內(nèi)力外，屬于外力的重力及繩拉力對懸掛點0都不形成力矩，故系統(tǒng)的角動量守恒：m 2 v0 I sin °= m m 2 vl所以m2Vom m2sin與例3.5的結(jié)果一致§ 3-6質(zhì)點系的角動量定理1.質(zhì)點系的角動量系統(tǒng)中各質(zhì)點對同一參考點的角動量的矢量和：LL jri mi v iii2.質(zhì)點系的角動量定理的微分形式：作用于質(zhì)點系各質(zhì)點的力分為 外力和內(nèi)力：外力形

23、成外力矩M外j內(nèi)力形成內(nèi)力矩M內(nèi)i合力矩為外力矩和內(nèi)力矩的 矢量和對同一參考點為：j個質(zhì)點，應用質(zhì)dtM j M外j M內(nèi)j 對質(zhì)點系中第 點角動量定理M廠M外求和:對整個系統(tǒng)M內(nèi)i二iM內(nèi)iid L idt(3-17)=0，故:d Ldt(3-18)點系角動量定理的微分形式即：作用于質(zhì)點系合外力矩等于質(zhì) 點系的角動量對時間的變化率3. 質(zhì)點系的角動量定理的積分形式：t2L2M 外 dt= dL= L2 一 L.3-19tiLi即：合外力矩的沖量矩等于角動量的增量4. 質(zhì)點系的角動量守恒定律如果作用于質(zhì)點系的合外力矩為零，即：假設(shè)M外=0貝U :Lj二恒矢量i點系的角動量守恒 例3.12 長a的輕質(zhì)細桿可在光滑水平 面上繞過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，細桿的兩端分別固定質(zhì)量為m和m2的小球，且靜止不動。有一質(zhì)量m的小粘性泥團以 水平速度V。且與桿成：角方向射向m2，并且粘在m2上如圖，設(shè)m2 = m3，求：桿開始旋轉(zhuǎn)時的角速度解：將三個質(zhì)點m、m和m設(shè)想為一個 質(zhì)點系，在m與m碰撞的過程中，只有軸0 對系統(tǒng)有作用，軸的作用力對軸自身力矩為零，所 以系統(tǒng)對0軸角動量守恒。碰前：m和m靜止，系統(tǒng)角動量為：Lo =2 m3V0 sin碰后:三個質(zhì)點都在運動并且有