高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)掃描：五數(shù)列

1、五、數(shù)列一、數(shù)列定義：數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，那么它就必定有開(kāi)頭的數(shù)，有相繼的第二個(gè)數(shù)，有第三個(gè)數(shù)，于是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)于數(shù)列中的一個(gè)數(shù)。因此，數(shù)列就是定義在正整數(shù)集*n（或它的有限子集, 3, 2, 1n）上的函 數(shù))(nf， 當(dāng) 自 變 量 從1 開(kāi) 始 由 小 到 大 依 次 取 正 整 數(shù) 時(shí) ， 相 對(duì) 應(yīng) 的 一 列 函 數(shù) 值 為),2(),1 (ff；通常用na代替)(nf， 于是數(shù)列的一般形式常記為,21aa或簡(jiǎn)記為na，其中na表示數(shù)列na的通項(xiàng)。注意： （1）na與na是不同的概念，na表示數(shù)列,21aa，而na表示的是數(shù)

2、列的第n項(xiàng)；（2）數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值。（3）na和ns之間的關(guān)系：)2() 1(11nssnsannn如：已知na的ns滿足)() 1lg(*nnnsn，求na。二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列公差（比）)2,(*1nnndaann，或daann 1；qaann1)2,(*nnn，或qaan

3、n 1（0q） ；通項(xiàng)公式namad= nama求和公式由倒序相加法推得ns= 由錯(cuò)項(xiàng)相減法推得1q，ns= 1q，ns用函數(shù)的思想理解通若na為等差數(shù)列banan，則a，b；若na為等比數(shù)列nncaa，則a，c；項(xiàng)公式等差數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn)用函數(shù)的思想理解求和公式等差數(shù)列na，cbnansn2，則c；a；b；若0c，說(shuō)明：；),(nsn在二次函數(shù)的圖象上，是一群孤立的點(diǎn)。若na為等比數(shù)列，baasnn，則a；a；b；（其中的系數(shù)與為互為相反數(shù)， 這是公式一很重要特點(diǎn)，注意前提條件1,0 qq。 ）若ab，說(shuō)明：；等比數(shù)列na，asnn3，則a；增減性na為遞增數(shù)列；n

4、a為遞減數(shù)列；na為常數(shù)列。na為遞增數(shù)列；na為遞減數(shù)列；na為常數(shù)列；na為擺動(dòng)數(shù)列；等差（比）中項(xiàng)任意兩個(gè)數(shù)ba,有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即為；兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。兩 個(gè) 數(shù)ba,的 等 比 中 項(xiàng) 為；（0ab）等差（比）數(shù)列的性質(zhì)mnnaaaa_21中a2mnnaaaa_212中a若qpnm，則 _ _；特別當(dāng)pnm2，則；若qpnm，則 _ _；特別當(dāng)pnm2，則；在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列。如：,531aaa；問(wèn)公差為在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)

5、的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列，剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列也不一定是等比數(shù)列。如：,531aaa；問(wèn)公比為987654321,aaaaaaaaa是數(shù)列；公差為；,232mmmmmsssss成 等 差 數(shù)列。987654321,aaaaaaaaa是數(shù)列；公比為；987654321,aaaaaaaaa是數(shù)列；公比為；963852741,aaaaaaaaa是數(shù)列；公差為；963852741,aaaaaaaaa是數(shù)列；公比為；若數(shù)列na與nb均為等差數(shù)列，則nnkbma仍為等差數(shù)列， 公差為；若數(shù)列na與nb均為等差數(shù)列，則nnbma仍為等比數(shù)列， 公比為；nnbma仍為等比數(shù)列，公比為；如：

6、 （ 1）在等差數(shù)列na中10ns，302ns，則ns3；（ 2）在等比數(shù)列na中10ns，302ns，則ns3；另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（1）等差數(shù)列na中，若)(,nmnamamn，則nma；（2）等差數(shù)列na中，若)(,nmnsmsmn，則nms；（3）等差數(shù)列na中，若)(nmssmn，則nmmaaa21；nms；（4）若qpss，則n時(shí)，ns最大。（5）若na與nb均為等差數(shù)列，且前n 項(xiàng)和分別為ns與nt，則_tsbamm；_tsbanm（6）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)n2的等差數(shù)列na，有)(22)(1212nnnnaanaans（na與1na為中間的兩項(xiàng)）奇偶ss；偶奇ss；項(xiàng)數(shù)為

7、奇數(shù)12n的等差數(shù)列na，有nnans) 12(12（na為中間項(xiàng)）偶奇ss；偶奇ss；偶奇ss；等比數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（1）若na是等比數(shù)列， 則)0(na，|na也是等比數(shù)列， 公比分別；（2）若na是等比數(shù)列，則1na，2na也是等比數(shù)列，公比分別；三、判定方法：（1）等差數(shù)列的判定方法：定義法：daann 1或)2(1ndaann（d為常數(shù)）na是等差數(shù)列中項(xiàng)公式法：221nnnnaaaa是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：qpnan（qp,為常數(shù)）na是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法：bnansn2（ba,為常數(shù)）na是等差數(shù)列注意：是用來(lái)證明na是等差數(shù)列的理論依據(jù)。（2）等比數(shù)列的判定方法：定

8、義法：qaann 1或)2(1ndaann（q是不為零的常數(shù)）na是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法：)0(21221nnnnnnnaaaaaaa是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：nncqa（qc,是不為零常數(shù)）na是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法：kkqsn2（11qak是常數(shù)）na是等差數(shù)列注意：是用來(lái)證明na是等比數(shù)列的理論依據(jù)。四、數(shù)列的通項(xiàng)求法：（1）觀察法：如： （1）0.2，0.22，0.222，（ 2） 21，203，2005，20007，（2）化歸法：通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。遞推式為daann 1及nnqaa1（qd,為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。遞推式為)(1nfaann：迭加法如

9、：已知na中211a，14121naann，求na遞推式為nnanfa)(1：迭乘法如：已知na中21a，nnanna11，求na遞推式為qpaann 1（qp,為常數(shù)）：構(gòu)造法：、由qpaaqpaannnn121相減得)()(112nnnnaapaa，則1nnaa為等比數(shù)列。、 設(shè))()(1taptann， 得到qtpt，1pqt， 則1pqan為等比數(shù)列。如：已知52, 111nnaaa，求na遞推式為nnnqpaa1（qp,為常數(shù)）：兩邊同時(shí)除去1nq得qqaqpqannnn111，令nnnqab，轉(zhuǎn)化為qbqpbnn11，再用法解決。如：已知na中，651a，11)21(31nnnaa

10、，求na遞推式為nnnqapaa12（qp,為常數(shù)）：將nnnqapaa12變形為)(112nnnntaastaa，可得出qstpts解出ts,，于是1nntaa是公比為s的等比數(shù)列。如：已知na中，2, 121aa，nnnaaa313212，求na（3）公式法：運(yùn)用2,1,11nssnsannn已知1532nnsn，求na；已知na中，nnas23，求na；已知na中，)2(122, 121nssaannn，求na五、數(shù)列的求和法：（1）公式法：等差（比）數(shù)列前n項(xiàng)和公式：n321；6)12)(1(3212222nnnn；233332)1(321nnn（2）倒序相加（乘）法：如：求和：nnn

11、nnncncccs) 1(32210；已知ba,為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若在ba,之間插入n個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以a為首項(xiàng)，b為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這n個(gè)正數(shù)的積np；（3）錯(cuò)位相減法：如：求和：nnxxxxs3232（4）裂項(xiàng)相消法：)(1knnan；nknan1；如：)1(1431321211nns；)2(1531421311nns；若11nnan，則ns；（5）并項(xiàng)法：如：求100994321100s（6）拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列na中，1210nann，求ns，六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略：（1）分類討論問(wèn)題： 在等比數(shù)列中，用前n項(xiàng)和公式時(shí)， 要對(duì)公比q進(jìn)行討論； 只有1q時(shí)才能用前n項(xiàng)和公式，1q時(shí)11nas已知ns求na時(shí)，要對(duì)2, 1 nn進(jìn)行討論；最后看1a滿足不滿足)2(n