北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系工程力學(xué)課件 §12扭轉(zhuǎn)

1、北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌12.1 12.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力分析1. 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念4種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲）之一種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲）之一特點(diǎn)：特點(diǎn)：幾何幾何直桿（軸）直桿（軸）圓截面軸（實心、空心）圓截面軸（實心、空心）非圓截面軸非圓截面軸外力外力僅有軸橫截面內(nèi)的外力偶僅有軸橫截面內(nèi)的外力偶內(nèi)力內(nèi)力橫截面上只有扭矩橫截面上只有扭矩變形變形橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動，任意兩橫截面產(chǎn)橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動，任意兩橫截面產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角生相對扭轉(zhuǎn)角例如，傳動軸：主動輪例如，傳動軸：主動輪1，從動輪，從動輪2，3 123mt1mt2mt3已知：軸的轉(zhuǎn)

2、速已知：軸的轉(zhuǎn)速 n (轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，分，r/min) 該輪傳遞的功率（輸入或輸出）該輪傳遞的功率（輸入或輸出） n (kw)則該輪處的外力偶矩為：則該輪處的外力偶矩為：min)/()(9549)(rnkwnmnmt主動輪或輸入功率處主動輪或輸入功率處mt與與n 同向；同向；從動輪或輸出功率處從動輪或輸出功率處mt與與n 反向。反向。123mt1mt2mt3mnnnmt1 .222830070954995491mnmt9 .9543003095492mnmt2 .1273300409549370kw30kw40kwn=300 r/min 若已知：若已知：2228.1nm954.9nm1273.2n

3、mx1x22228.1nmt(x1)1273.2nmt(x2)mnxt1 .2228)(1mnxt2 .1273)(2(t)2228.1nm1273.2nm2. 圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析（1）圓軸扭轉(zhuǎn)變形幾何關(guān)系）圓軸扭轉(zhuǎn)變形幾何關(guān)系mtmt單元體：純剪切單元體：純剪切 變形后觀察：軸向線，仍為直線，長短不變，傾斜變形后觀察：軸向線，仍為直線，長短不變，傾斜 角角 圓周線，大小形狀不變，繞桿軸轉(zhuǎn)動圓周線，大小形狀不變，繞桿軸轉(zhuǎn)動rbc rd表層處的單元體表層處的單元體abcd的切應(yīng)變：的切應(yīng)變：dxdrdxrdabbbro1o2abcddxrdxddxd(a) ro1o2abcdbcd

4、dx 距離桿的軸線距離桿的軸線o1o2半徑為半徑為 處的單元體處的單元體的切應(yīng)變?yōu)椋旱那袘?yīng)變?yōu)椋浩渲衅渲衐xd稱為稱為在某一橫截面上在某一橫截面上dxd常數(shù)常數(shù)在橫截面上半徑為在橫截面上半徑為 處切應(yīng)變處切應(yīng)變 ，且且 半徑半徑 t（2） 物理關(guān)系物理關(guān)系由剪切胡克定律由剪切胡克定律dxdgg（b）故橫截面上半徑為故橫截面上半徑為 處切應(yīng)力處切應(yīng)力 圓心圓心 =0處，處，00圓截面周邊圓截面周邊 =r處，處，maxr tmaxmax（3）靜力學(xué)關(guān)系）靜力學(xué)關(guān)系dxddxd(a)dxdgg（b）tmaxmaxda橫截面上分布切應(yīng)力構(gòu)成的合橫截面上分布切應(yīng)力構(gòu)成的合力偶矩就是該截面上的扭矩力偶矩就

5、是該截面上的扭矩tdadxdgdadxdgdataaa2稱為稱為,單位：單位：m4,cm4,mm4 記幾何量記幾何量daiap2(12.1)由此可求出由此可求出dxddxdgidadxdgtpa2 (c)dxdgitp (c)dxddxd(a)dxdgg（b）故得出：故得出：pgitdxd(12.2)ppitgitg(12.3)pppwtrititrmax(12.4)記記riwpp單位：單位：m3,cm3,mm3(12.5)以上分析只適用于圓截面軸（實心、空心、圓錐軸）以上分析只適用于圓截面軸（實心、空心、圓錐軸）幾何量幾何量 ip , wp :32242/022dddaidap1623234

6、dddriwpp實心圓軸，直徑實心圓軸，直徑 d ：d)1 (3232)(4444dddip)1 (162/43ddiwpp空心圓軸，內(nèi)、外徑空心圓軸，內(nèi)、外徑 d , d , =d/d :dd圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布：tpwtmaxpwtmaxpwtmax實心圓軸：實心圓軸：tpwtmaxpwtmaxpwtmax空心圓軸：空心圓軸：實驗：圓軸扭轉(zhuǎn)實驗：圓軸扭轉(zhuǎn)3. 扭轉(zhuǎn)時軸內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)扭轉(zhuǎn)時軸內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 主單元體：主單元體： 1 = 3= - 4545主方向為主方向為45主應(yīng)力：主應(yīng)力： 1= ， 2= 0 ， 3= - 各點(diǎn)為純剪切：各點(diǎn)為純

7、剪切：pit - 4. 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的測量扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的測量tt max 1= max 3= - max - 45純剪應(yīng)力狀態(tài)：由廣義胡克定律純剪應(yīng)力狀態(tài)：由廣義胡克定律)(13211emaxmaxmax3145)1 ()()(1eee145maxewtp5. 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形分析由單位長度的扭轉(zhuǎn)角：由單位長度的扭轉(zhuǎn)角：pgitdxd(12.2)故得出相距故得出相距dx的兩截面間的相對扭轉(zhuǎn)角：的兩截面間的相對扭轉(zhuǎn)角：pgitdxdlttxablplabgitdxd0a ，b兩截面間的相對扭轉(zhuǎn)角為：兩截面間的相對扭轉(zhuǎn)角為：（12.5）若軸在若軸在 l 段內(nèi)扭矩段內(nèi)扭矩t=常數(shù)，則：常

8、數(shù)，則：pgitl(12.6)的單位為弧度的單位為弧度pgitl(12.6)扭轉(zhuǎn)變形公式扭轉(zhuǎn)變形公式其中其中g(shù)ip稱為稱為若軸中扭矩為分段常數(shù)若軸中扭矩為分段常數(shù)ipiiiiiglt(12.7)l1l2l3g1ip1g2ip2g3ip3軸向拉壓與扭轉(zhuǎn)的比較軸向拉壓與扭轉(zhuǎn)的比較軸向拉壓軸向拉壓扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)構(gòu)件幾何構(gòu)件幾何直桿直桿圓截面直桿圓截面直桿外力外力軸向外力軸向外力橫截面內(nèi)力偶矩橫截面內(nèi)力偶矩橫截面橫截面內(nèi)力內(nèi)力軸力軸力fn扭矩扭矩t應(yīng)力公式應(yīng)力公式變形公式變形公式afnpitpwtmaxealflnpgitl6.材料扭轉(zhuǎn)時的力學(xué)性能材料扭轉(zhuǎn)時的力學(xué)性能材料的扭轉(zhuǎn)試驗：材料的扭轉(zhuǎn)試驗：低碳鋼：

9、薄壁圓管扭轉(zhuǎn)低碳鋼：薄壁圓管扭轉(zhuǎn)低碳鋼低碳鋼（塑性）：（塑性）：沿橫截面、沿橫截面、縱向線出縱向線出現(xiàn)滑移線現(xiàn)滑移線鑄鐵：圓軸扭轉(zhuǎn)鑄鐵：圓軸扭轉(zhuǎn)鑄鐵（脆性）：鑄鐵（脆性）：沿沿45斜面斷斜面斷開開7.圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度與剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度與剛度計算（1）扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件）扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件工作時最大切應(yīng)力工作時最大切應(yīng)力 maxmaxpwt(12.8) nu塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：subu對等截面圓軸，即：對等截面圓軸，即： pwtmaxmax（2）扭轉(zhuǎn)剛度條件）扭轉(zhuǎn)剛度條件軸類構(gòu)件對扭轉(zhuǎn)角的限制條件：軸類構(gòu)件對扭轉(zhuǎn)角的限制條件：單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角 max180pgit(1

10、2.9) 常用單位：常用單位：/m工程上，工程上， 精密儀器傳動軸精密儀器傳動軸 m/5 . 025. 0一般傳動軸一般傳動軸 m/0 . 15 . 0 m/0 . 2 剛度要求不高的軸剛度要求不高的軸例例 題題 112 例題例題abcmt1mt2mt3l1l2d1d2n一階梯軸，軸直徑一階梯軸，軸直徑d2=2d1,輸入功率輸入功率n3=30kw,輸出功輸出功率率n1 =13kw, n2=17kw,軸軸的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n=200rpm,若軸材料若軸材料的的g=80gpa,=50mpa, (1)根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計d1, d2 (2)按此設(shè)計若按此設(shè)計若=1.8/m, 校核剛度條件校核剛

11、度條件例例 題題 112 例題例題abcmt1mt2mt3l1l2d1d2n解：解：1.求出各輪處的外力求出各輪處的外力偶矩，畫出扭矩圖偶矩，畫出扭矩圖mnnnmt621200139549954931mnnnmt809200179549954922mnnnmt1430200309549954933(t)621nm1430n m例例 題題 112 例題例題abcmt1mt2mt3l1l2d1d2n(t)621nm1430n m3.強(qiáng)度設(shè)計強(qiáng)度設(shè)計ab段：段： 31max, 116dtab mmtdac8 .39501062116163331取取d1=40mm,則則d2=80mm校核校核bc段：段

12、： mpa2 .14801610143033 32max, 216dtbc例例 題題 112 例題例題abcmt1mt2mt3l1l2d1d2n(t)621nm1430n m4.剛度條件的校核剛度條件的校核ab段：段：1801pababgit mm/8 . 1/77. 11804080321062143bc段：段：1802pbcbcgit mm/8 . 1/254. 018080803210143043注意單位！注意單位！例例 題題 212 例題例題l1l2mtmtd1d2(1)求此軸兩端的允許外力偶矩求此軸兩端的允許外力偶矩mt。(2)若要求若要求l1， l2兩段的扭轉(zhuǎn)角相等，兩段的扭轉(zhuǎn)角相

13、等， l1和和 l2各長多少？各長多少？(3)校核在最大允許外力偶矩作用下，剛度條件校核在最大允許外力偶矩作用下，剛度條件=2/m是否滿足？是否滿足？圖示傳動軸全長圖示傳動軸全長l=510mm，外徑，外徑d=50mm，長為，長為l1的的一段內(nèi)徑一段內(nèi)徑d1 =25mm，另一段長為另一段長為l2，內(nèi)徑，內(nèi)徑d2 =38mm，材料的許用切應(yīng)力，材料的許用切應(yīng)力 =70mpa，g=80gpa，例例 題題 212 例題例題l1l2mtmtd1d2解：解：1.求允許外力偶矩求允許外力偶矩由由l1段的強(qiáng)度條件：段的強(qiáng)度條件： 1max, 1ptwm mnmmndwmpt1611101 .16170)21(

14、1 (501616)1 (4434131例例 題題 212 例題例題l1l2mtmtd1d2由由l2段的強(qiáng)度條件：段的強(qiáng)度條件： 2max,2ptwm mnmmndwmpt1145105 .11470)5038(1 (501616)1 (4434232應(yīng)取應(yīng)取mt=min(1611nm,1145nm)=1145nm例例 題題 212 例題例題l1l2mtmtd1d22.求求l1和和 l2要求要求1=2，則：，則：222111ptptgilmgilm4 . 1)50/38(1)2/1 (1114442412121ppiillmmll51021mmlmml21229821例例 題題 212 例題例

15、題3.校核剛度校核剛度l1l2mtmtd1d2對對l1段：段： mmgimpt/2/43. 1180)2/1 (1 (50321080101011451804433311對對l2段：段： mllgimpt/01. 243. 129821218012122%5%5.02201.2但但滿足剛度條件滿足剛度條件8.非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)與圓截面軸的扭轉(zhuǎn)有本質(zhì)區(qū)別：與圓截面軸的扭轉(zhuǎn)有本質(zhì)區(qū)別：不滿足平截面假定不滿足平截面假定橫截面出現(xiàn)翹曲橫截面出現(xiàn)翹曲比較：圓截面軸的扭轉(zhuǎn)比較：圓截面軸的扭轉(zhuǎn)矩形截面軸自由扭轉(zhuǎn)的結(jié)果：矩形截面軸自由扭轉(zhuǎn)的結(jié)果：（1）截面周邊處）截面周邊處 的的方向與邊界相切方

16、向與邊界相切（2）四個角點(diǎn)處）四個角點(diǎn)處 =0 maxtbh =0 =0 =0 =0短邊中點(diǎn)處切應(yīng)力也較短邊中點(diǎn)處切應(yīng)力也較大：大：max1（3）截面內(nèi)切應(yīng)力最大）截面內(nèi)切應(yīng)力最大值發(fā)生在長邊中點(diǎn)處：值發(fā)生在長邊中點(diǎn)處：2maxhbt(12.10)(4)總扭轉(zhuǎn)角總扭轉(zhuǎn)角3hbgtlgitlt(12.11)其中：其中： 為與為與 有有關(guān)的因數(shù)，可查表關(guān)的因數(shù)，可查表12.1,bhh/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.3330.1410.1660.1960.229

17、0.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7540.7430.7430.7430.743表表12.1 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的因數(shù)矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的因數(shù)， ，當(dāng)當(dāng)h/b,即截面為狹長矩形（狹長條）：即截面為狹長矩形（狹長條）：=1/3， =1/3hhbb22max3hbthbt333ghbtlhbgtl(12.12)(12.13)上式也可用于上式也可用于l形、形、c形、形、u 形等形等(展開計算長度展開計算長度)9. 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)工程中常見的各種型鋼（工程中常見的各種型鋼（t，i，l，

18、u， ， 等）等） 特點(diǎn)：橫截面內(nèi)壁厚遠(yuǎn)小于另一方向尺寸特點(diǎn)：橫截面內(nèi)壁厚遠(yuǎn)小于另一方向尺寸（1）開口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)）開口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)h1h2 1 2h1 1h2 2由若干個狹長條組由若干個狹長條組合而成，截面中線合而成，截面中線不構(gòu)成封閉曲線。不構(gòu)成封閉曲線?？煞指顬槿舾蓚€狹長條可分割為若干個狹長條設(shè)每個狹長條為設(shè)每個狹長條為 hi , i該條上擔(dān)負(fù)扭矩為該條上擔(dān)負(fù)扭矩為ti，扭轉(zhuǎn)角為，扭轉(zhuǎn)角為i則有：則有：截面上的總扭矩截面上的總扭矩iitt截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角i21對每一個狹長條，有：對每一個狹長條，有：33iiiighlt即即3333iiiiiihlglghttiiiiiilgh

19、lgtt33iiithi33(12.14)tgitl(12.15)h1 1h2 2t1t2t3333iitiitihithgitllgt(12.16)h1 1h2 2由式由式(12.12)，對，對第第i個狹長條上個狹長條上的最大切應(yīng)力，有的最大切應(yīng)力，有:3333iitiitihithgitllgt(12.16)tiiitiiiiiiithithht333322max,（12.17）故整個截面上的最大切應(yīng)力為：故整個截面上的最大切應(yīng)力為：titmaxmax(12.18)截面上各部分的切應(yīng)力與截面寬度呈正比截面上各部分的切應(yīng)力與截面寬度呈正比t開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力（2）閉

20、口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)）閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)橫截面由內(nèi)、外的封閉曲線構(gòu)成橫截面由內(nèi)、外的封閉曲線構(gòu)成截面中線截面中線s壁厚壁厚 = (s) (s)c s 設(shè)：沿壁厚方向上切應(yīng)力均布設(shè)：沿壁厚方向上切應(yīng)力均布 s 剪力流的含義：單位長度中線的橫截面積上的內(nèi)力剪力流的含義：單位長度中線的橫截面積上的內(nèi)力dst剪力流：剪力流：t = s (s) = 常數(shù)常數(shù)（12.19）ssstdsttdsdssst2)()(（12.20） 為截面中線為截面中線 s 包圍的面積包圍的面積 ssstdsttdsdssst2)()(（12.20）c s dst tsst)()(22)(2)(sts（12.21)截面上的最大切應(yīng)

21、力為：截面上的最大切應(yīng)力為：minmax2t (12.22)截面兩端的扭轉(zhuǎn)角：截面兩端的扭轉(zhuǎn)角：ssdsgtl)(42(12.23)例例 題題 312 例題例題試比較相同材料（試比較相同材料（ =50mpa），不同形狀的幾種截），不同形狀的幾種截面（但截面積相同）的桿件，依強(qiáng)度條件求出的最大面（但截面積相同）的桿件，依強(qiáng)度條件求出的最大允許扭矩。允許扭矩。100d=100d=150d=100d=1503008.58.5300單位：單位：mm(1)(2)(3)(4)(5)例例 題題 312 例題例題100d=100d=150d=100d=1503008.58.5300單位：單位：mm(1)(2)(3)(4)(5)解：解： （1）實心正方形）實心正方形50100208. 0208. 0322maxtathbtmknmmnt4 .101004. 15010208. 076mkn 4 .10例例 題題 312 例題例題100d=100d=150d=100d=1503