構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題

1、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實(shí)際問題“能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”是九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的初中數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一。能夠解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、形成技能和發(fā)展能力的結(jié)果，也是對(duì)獲得知識(shí)、技能和能力的檢驗(yàn)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實(shí)際問題基本程序如下： 解題步驟如下：1、閱讀、審題：要做到簡(jiǎn)縮問題，刪掉次要語(yǔ)句，深入理解關(guān)鍵字句；為便于數(shù)據(jù)處理，最好運(yùn)用表格（或圖形）處理數(shù)據(jù)，便于尋找數(shù)量關(guān)系。2、建模：將問題簡(jiǎn)單化、符號(hào)化，盡量借鑒標(biāo)準(zhǔn)形式，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。3、合理求解純數(shù)學(xué)問題4、解釋并回答實(shí)際問題一、方程模型例：小剛為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購(gòu)，其中一種是9瓦（即0.009千瓦）的節(jié)能燈

2、，售價(jià)49元/盞；另一種是40瓦（即0.04千瓦）的白熾燈，售價(jià)為18元/盞。假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時(shí)，已知小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦0.5元。設(shè)照明時(shí)間是x小時(shí)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用和用一盞白熾燈的費(fèi)用（注：費(fèi)用燈的售價(jià)電費(fèi)）小剛想在這兩種燈中選購(gòu)一盞:當(dāng)照明時(shí)間是多少時(shí)，使用兩種燈的費(fèi)用一樣多；試用特殊值推斷:照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低；照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低；小剛想在這兩種燈中選購(gòu)兩盞假定照明時(shí)間是3000小時(shí)，使用壽命都是2800小時(shí)，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)費(fèi)用最低的選燈方案，并說明理由。解：(1)用一盞節(jié)能燈的費(fèi)

3、用是(49+0.0045x)元，用一盞白熾燈的費(fèi)用是(18+0.02x)元 (2)由題意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，所以當(dāng)照明時(shí)間是2000小時(shí)時(shí)，兩種燈的費(fèi)用一樣多 取特殊值x=1500小時(shí)， 則用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是49+0.0045×1500=55.75(元)， 用一盞白熾燈的費(fèi)用是18+0.02×1500=48(元)， 所以當(dāng)照明時(shí)間小于2000小時(shí)時(shí)，選用白熾燈費(fèi)用低； 取特殊值x=2500小時(shí)， 則用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用是49+0.0045×2500=60.25(元)， 用一盞白熾燈的費(fèi)用是18+0.02×2500

4、=68(元)， 所以當(dāng)照明時(shí)間超過2000小時(shí)時(shí)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低 (3)分下列三種情況討論： 如果選用兩盞節(jié)能燈，則費(fèi)用是98+0.0045×3000=111.5元；如果選用兩盞白熾燈，則費(fèi)用是36+0.02×3000=96元；如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當(dāng)照明時(shí)間大于2000小時(shí)時(shí)，用節(jié)能燈比白熾燈費(fèi)用低，所以節(jié)能燈用足2800小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低費(fèi)用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元綜上所述，應(yīng)各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時(shí)，白熾燈使用200小時(shí)時(shí)，費(fèi)用最低變式1：某出租汽車公司有出租車100輛，平均

5、每天每車消耗的汽油費(fèi)為80元，為了減少環(huán)境污染，市場(chǎng)推出一種叫“CNG”的改燒汽油為天然汽的裝置，每輛車改裝價(jià)格為4000元。公司第一次改裝了部分車輛后核算：已改裝后的車輛每天的燃料費(fèi)占剩下末改裝車輛每天燃料費(fèi)用的，公司第二次再改裝同樣多的車輛后，所有改裝后的車輛每天的燃料費(fèi)占剩下末改裝車輛每天燃料費(fèi)用的。問：（1）公司共改裝了多少輛出租車？改裝后的每輛出租車平均每天的燃料費(fèi)比改裝前的燃料費(fèi)下降了百分之多少？（2）若公司一次性將全部出租車改裝，多少天后就可以從節(jié)省的燃料費(fèi)中收回成本？解:（1）設(shè)公司第一次改裝了輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費(fèi)比改裝前的燃料費(fèi)下降的百分?jǐn)?shù)為依題意得方程組：化

6、簡(jiǎn)得：解得：答:公司共改裝了40輛車，改裝后的每輛出租車每天的燃料費(fèi)比改裝前的燃料費(fèi)下降了40%。（2）設(shè)一次性改裝后，天可以收回成本，則：100×80×40%×4000×100解得：125（天）答：125天后就可以從節(jié)省的燃料費(fèi)中收回成本。變式2： “利?！蓖ㄓ嵠鞑纳虉?chǎng)，計(jì)劃用60000元從廠家購(gòu)進(jìn)若干部新型手機(jī)，以滿足市場(chǎng)需求，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的手機(jī)，出廠價(jià)分別為甲種型號(hào)手機(jī)每部1800元，乙種型號(hào)手機(jī)每部600元，丙種型號(hào)手機(jī)每部1200元.（1）若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的手機(jī)共40部，并將60000元恰好用完.請(qǐng)你幫助商場(chǎng)計(jì)算一下

7、如何購(gòu)買.（2）若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)三種不同型號(hào)的手機(jī)共40部，并將60000元恰好用完，并且要求乙種型號(hào)手機(jī)的購(gòu)買數(shù)量不少于6部且不多于8部，請(qǐng)你求出商場(chǎng)每種型號(hào)手機(jī)的購(gòu)買數(shù)量.解：（1）設(shè)甲種型號(hào)手機(jī)要購(gòu)買x部，乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買y部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買z部，根據(jù)題意，得：    答：有兩種購(gòu)買方法：甲種手機(jī)購(gòu)買30部，乙種手機(jī)購(gòu)買10部；或甲種手機(jī)購(gòu)買20部，乙種手機(jī)購(gòu)買20部. （2）根據(jù)題意，得：   解得：  答：若甲種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買26部手，則乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買6部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買8部；若甲種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買27部手，則乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買7部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)

8、買6部；若甲種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買28部手，則乙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買8部，丙種型號(hào)手機(jī)購(gòu)買4部；二、不等式模型例：年織里某童裝加工企業(yè)今年五月份工人每天平均加工童裝150套，最不熟練的工人加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%。為了提高工人的勞動(dòng)積極性，按時(shí)完成外貿(mào)訂貨任務(wù)，企業(yè)計(jì)劃從六月份起進(jìn)行工資改革。改革后每位工人的工資分二部分：一部分為每人每月基本工資200元；另一部分為每加工1套童裝獎(jiǎng)勵(lì)若干元。（1）為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關(guān)部門規(guī)范的最低工資標(biāo)準(zhǔn)450元，按五月份工人加工的童裝套數(shù)計(jì)算，工人每加工1套童裝企業(yè)至少應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)多少元（精確到分）？（2）根據(jù)經(jīng)營(yíng)情況，企業(yè)決定每加工1套童裝獎(jiǎng)勵(lì)5

9、元。工人小張爭(zhēng)取六月份工資不少于1200元，問小張?jiān)诹路輵?yīng)至少加工多少套童裝？解:（1）設(shè)企業(yè)每套獎(jiǎng)勵(lì)x元由題意得：200+60%·150x450解得：x2.78因此該企業(yè)至少應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)2.78元（2）設(shè)小張?jiān)诹路菁庸套由題意得：200+5y1200解得：y200答：小張?jiān)诹路輵?yīng)至少加工200套。變式1：仔細(xì)觀察下圖，認(rèn)真閱讀對(duì)話：小朋友，本來(lái)你用10元錢買一盒餅干是有多的，但要再買一袋牛奶就不夠了！今天是兒童節(jié)，我給你買的餅干打9折，兩樣?xùn)|西請(qǐng)拿好！還有找你的8角錢.阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢）.根據(jù)對(duì)話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少元？解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)

10、為每盒x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋y元，則 x+y>10,（1）0.9x+y=100.8, （2）x<10. （3）由（2）得y=9.20.9x.（4）把（4）代入（1）得：9.20.9x+x>10,解得x>8. 由（3）綜合得 8<x<10. 又x是整數(shù)，x=9. 把x=9代入（4）得：y=9.20.9×9=1.1（元）答：一盒餅干標(biāo)價(jià)9元，一袋牛奶標(biāo)價(jià)1.1元三、函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型利用一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問題一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大（?。┲?；但當(dāng)時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，

11、就有最大（?。┲?。對(duì)于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，因此不存在最大最小值（簡(jiǎn)稱“最值”），但在實(shí)際問題中，因題目中的自變量受到實(shí)際問題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。例：光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)。先將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)。 兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見下表：每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金每臺(tái)乙形收割機(jī)的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型

12、聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提一條合理化建議。解：（1）若派往A地區(qū)的乙型收割機(jī)為x臺(tái)，則派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為（30x）臺(tái)；派往B地區(qū)的乙型收割機(jī)為（30x）臺(tái)，派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為（x10）臺(tái)。y1600x1800(30x)1200(30x)1600(x10)200x74000x的取值范圍是：10x30（x是正整

13、數(shù)）（2）由題意得 200x7400079600 解不等式得 x28 由于10x30（x是正整數(shù)）x取28，29，30這三個(gè)值。有3種不同的分配方案。當(dāng)x28時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為2臺(tái)，乙型收割機(jī)為28臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為18臺(tái)，乙型收割機(jī)為2臺(tái)。當(dāng)x29時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為1臺(tái)，乙型收割機(jī)為29臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為19臺(tái)，乙型收割機(jī)為1臺(tái)。當(dāng)x30時(shí)，即30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y200x74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以當(dāng)x30時(shí)，y取得最大值。如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得

14、租金最高，只需x30，此時(shí)，y60007400080000。建議農(nóng)機(jī)租賃公司將30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高。變式1：某紡織廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,原來(lái)每件出廠價(jià)為80元,成本為60元.由于在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5米3的污水排出,現(xiàn)在為了保護(hù)環(huán)境,需對(duì)污水凈化處理后再排出.已知每處理1米3污水的費(fèi)用為2元,且每月排污設(shè)備損耗為8000元.設(shè)現(xiàn)在該廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品x件,每月純利潤(rùn)y元： 求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.(純利潤(rùn)=總收入-總支出) 當(dāng)y=106000時(shí),求該廠在這個(gè)月中生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù).解：依題意得：y=80x-60x-0.5x

15、83;2-8000y=19x-8000所求的函數(shù)關(guān)系式為y=19x-8000(x>0且x是整數(shù))當(dāng)y=106000時(shí)，代入得：106000=19x-800019x=114000x=6000這個(gè)月該廠生產(chǎn)產(chǎn)品6000件. 變式2：某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元（1）求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn)；（2）該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最

16、大？（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m（0m100）元，且限定商店最多購(gòu)進(jìn)A型電腦70臺(tái)，若商店保持同種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)電腦銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為x元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為y元；根據(jù)題意列出方程組求解，（2）據(jù)題意得，y=50x+15000，利用不等式求出x的范圍，又因?yàn)閥=50x+15000是減函數(shù)，所以x取34，y取最大值，（3）據(jù)題意得，y=（100+m）x150（100x），即y=（m50）x+15000，

17、分三種情況討論，當(dāng)0m50時(shí)，y隨x的增大而減小，m=50時(shí)，m50=0，y=15000，當(dāng)50m100時(shí)，m500，y隨x的增大而增大，分別進(jìn)行求解解答：解：（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為x元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為y元；根據(jù)題意得解得答：每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元（2）據(jù)題意得，y=100x+150（100x），即y=50x+15000，據(jù)題意得，100x2x，解得x33，y=50x+15000，y隨x的增大而減小，x為正整數(shù)，當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值，則100x=66，即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大（3）據(jù)題意得，y=（10

18、0+m）x+150（100x），即y=（m50）x+15000，33x70當(dāng)0m50時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值，即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大m=50時(shí)，m50=0，y=15000，即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足33x70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)50m100時(shí)，m500，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=70時(shí)，y取得最大值即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)x值的增大而確定y值的增減情況變式3： 某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃建A、B兩種戶型的住房共

19、80套，該公司所籌資金不少于2090萬(wàn)元，但不超過2096萬(wàn)元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價(jià)如下表：AB成本(萬(wàn)元/套)2528售價(jià)(萬(wàn)元/套)3034(1)該公司對(duì)這兩種戶型住房有哪幾種建房方案?(2)該公司如何建房獲得利潤(rùn)最大?(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每套B型住房的售價(jià)不會(huì)改變，每套A型住房的售價(jià)將會(huì)提高a萬(wàn)元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤(rùn)最大?注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本分析：(1)設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-x)套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于2090萬(wàn)元，但不超過2096萬(wàn)元，可列出兩個(gè)不等式，解不等式組，即可

20、求出x的取值范圍，進(jìn)而確定x的正整數(shù)值. (2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決. (3)要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏,注意思維的縝密性.解析：(1)設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80-x)套由題意知209025x+28(80-x)2096 48x50 x取非負(fù)整數(shù)， x為48，49，50 有三種建房方案： A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套 (2)設(shè)該公司建房獲得利潤(rùn)(萬(wàn)元) 由題意知=5x+6(80-x)=480-x 當(dāng)x=48時(shí)，最大=432(萬(wàn)元) 即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤(rùn)最大(3)由題意知=(5+a)x+6(

21、80-x)=480+(a-1)x 當(dāng)O<a<l時(shí)， x=48，最大，即A型住房建48套，B型住房建32套 當(dāng)a=l時(shí)，a-1=0，三種建房方案獲得利潤(rùn)相等 當(dāng)a>1時(shí)，x=50，最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.說明:此題的第(1)問是利用一元一次不等式組解決的,第(2) 、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的,要注意三問相互聯(lián)系.2、反比例函數(shù)模型例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具至個(gè)，若每天須生產(chǎn)這種玩具個(gè)，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題，這里是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn)x個(gè)玩具，需要工人名。則有。（，且x為整數(shù)）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，即為

22、正整數(shù)，取至。即須招聘工人為80至134人。變式1：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時(shí)間x（時(shí)）的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=200x2+400x刻畫；1.5小時(shí)后（包括1.5小時(shí)）y與x可近似地用反比例函數(shù)y=（k0）刻畫（如圖所示）（1）根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算：喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值為多少？當(dāng)x=5時(shí)，y=45，求k的值（2）按國(guó)家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上

23、班？請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用；反比例函數(shù)的應(yīng)用分析：（1）利用y=200x2+400x=200（x1）2+200確定最大值；直接利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）求出x=11時(shí)，y的值，進(jìn)而得出能否駕車去上班解答：解：（1）y=200x2+400x=200（x1）2+200，喝酒后1時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值，最大值為200（毫克/百毫升）；當(dāng)x=5時(shí)，y=45，y=（k0），k=xy=45×5=225；（2）不能駕車上班；理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小時(shí)，將x=11代入y=，則y=20，第二天早上7：00不能駕車去上班點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反

24、比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵3、二次函數(shù)模型:二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有若當(dāng)時(shí)，y有最小值。；若當(dāng)時(shí)，y有最大值。利用二次函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到解決實(shí)際問題之目的。 例： 某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價(jià)每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為，。（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤(rùn)為1750元； （2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 解：（1）根據(jù)題

25、意得 整理得 解得，（不合題意，舍去） （2）由題意知，利潤(rùn)為 所以當(dāng)時(shí)，最大利潤(rùn)為1950元。變式1：某產(chǎn)品第一季度每件成本為50元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為（1） 請(qǐng)用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；（2） 如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少9.5元，試求的值（3） 該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價(jià)為60元，第三季度每件的銷售價(jià)比第二季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價(jià)不低于48元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為y元，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求y的最大值（注：利潤(rùn)銷售價(jià)成本）分析

26、：（1） 解得 （3）解得而， 而 當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的增減性，隨的增大而增大，而，當(dāng)時(shí)，最大值18（元）說明：當(dāng)自變量取值范圍為體體實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)在拋物線頂點(diǎn)取得最值，而當(dāng)自變量取值范圍為某一區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：若拋物線頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。若拋物線的頂點(diǎn)不在該區(qū)間內(nèi)，則區(qū)間兩端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。變式2： 某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本 （1）求出每天的銷售利潤(rùn)

27、y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本每件的成本×每天的銷售量）解：（1）y（x50）505（100x） （x50）（5x550）5x2800x27500y5x2800x27500（50x100）4分（2）y5x2800x275005(x80)24500a50，拋物線開口向下50x100，對(duì)稱軸是直線x80，當(dāng)x80時(shí)，y最大值45006分（3）當(dāng)y4000時(shí)，5(x80)245004

28、000，解這個(gè)方程，得x170，x290當(dāng)70x90時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元由每天的總成本不超過7000元，得50（5x550）7000，解這個(gè)不等式，得x8282x90，50x100，銷售單價(jià)應(yīng)該控制在82元至90元之間. 10分四、幾何模型例：據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于寧波(指城區(qū)，下同)東南方向()千米的海面上，目前臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度向北偏西60°的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會(huì)受到強(qiáng)襲擊已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60°方向56千米處請(qǐng)問：寧波、寧海、象山是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊？如果會(huì)，請(qǐng)求出受強(qiáng)襲

29、擊的時(shí)間；如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由(為解決問題，須畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，請(qǐng)根據(jù)需要，把圖形畫完整)_（臺(tái)風(fēng)中心）_（寧海）_（寧波）_P_B_A解：補(bǔ)畫出示意圖經(jīng)過點(diǎn) 如圖過作東西方向(水平)直線與(南北)延長(zhǎng)線交于， 延長(zhǎng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)射線與相交于 ，45°， 30°， 30°=， 與重合， 臺(tái)風(fēng)中心必經(jīng)過寧海經(jīng)過寧海的時(shí)間為(時(shí)) 如圖為象山，由題意可得30°+30°=60°，到的距離60°=，象山會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)強(qiáng)襲擊求受襲擊時(shí)間可先求以為圓心，為半徑的圓與相交的弦長(zhǎng)等于，受襲擊時(shí)間(時(shí)) 到的距離60°=

30、，寧波不會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊綜上所述:寧波不會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊；寧海:會(huì)，受襲擊時(shí)間為5時(shí)；象山:會(huì)，受襲擊時(shí)間時(shí)(約1時(shí)13分)變式1：一艘漁船在A處觀測(cè)到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng).漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達(dá)B處，在B處測(cè)得小島C在北偏東60°方向，這時(shí)漁船改變航線向正東(即BD)方向航行，這艘漁船是否有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn)？解法一：過點(diǎn)B作BMAH于M，BMAF.ABM=BAF=30°. 在BAM中，AM=AB=5，BM=5. 過點(diǎn)C作CNAH于N，交BD于K. 在RtBCK中，CBK=90°-60°=30° 設(shè)CK=x，則BK=x. 在RtACN中，CAN=90°-45°=45°， AN=NC.AM+MN=CK+KN. 又NM=BK，BM=KN. x+5=5+x.解得x=5. 5海里4.8海里，漁船沒有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn). 答：這艘漁船沒有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)危險(xiǎn).解法二：過點(diǎn)C作CEBD，垂足為E，CEGBFA.BCE=GBC=60°.ACE=FAC=45°.BCA=BCE-ACE=60°-45°=15°.又BAC