“兩點之間線段最短”的應(yīng)用

1、“兩點之間線段最短”的應(yīng)用在歐氏平面幾何體系中，幾何公理： “兩點之間線段最短”的應(yīng)用非常廣泛。從該公理出發(fā)，能證明出耳熟能詳?shù)?、?yīng)用十分廣泛的三角形三邊邊長關(guān)系定理“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之和小于第三邊” ，同時該公理在幾何求極值或者最大、最小值也有著舉足輕重的地位。本文意在對該公理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和地位進行闡述和探討。一、從數(shù)學(xué)角度認識該公理公理“兩點之間線段最短”在數(shù)學(xué)中是不用證明的，因為這是人們從大量的實踐中總結(jié)出來的“正確”的經(jīng)驗，而且本公理看上去十分“完美、正確” ，但是公理本身是不太好證明的。二、從物理學(xué)角度認識該公理物理學(xué)中費馬原理（ Fermat s pr

2、inciple ）：最小光程原理。光波在兩點之間傳遞時，自動選取費時最少的路徑。費馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質(zhì)中傳播時遵從直線傳播定律、反射和折射定律，以及傍軸條件下透鏡的等光程性等。根據(jù)費馬原理：光在同一種物質(zhì)中沿直線傳播，而光在同一種物質(zhì)中的傳播速度是定值，而這樣傳播所花的時間最小，這就解釋了為什么兩點之間線段是最短的。三、該公理可以加強平面幾何知識的嚴謹性在初中平面幾何教學(xué)中，考慮到學(xué)生的接受能力，往往把平面幾何學(xué)中的定理當(dāng)作公理，從而跳過定理的證明過程，而讓學(xué)生直接接受一些事實，這就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)知識體系的邏輯性和嚴謹性遭到嚴重破壞，同時也失去了訓(xùn)練學(xué)生邏輯

3、思維的題材。教師在教學(xué)中，也樂于這樣去做，好像這樣做，學(xué)生和老師都“輕松、愉快”了。最典型的例子是： “垂線段最短”這個命題。很多老師會把這個命題當(dāng)公理，學(xué)生也樂于接受。這樣的做法，其實是缺乏思考，喪失了訓(xùn)練學(xué)生思維的好機會。其實這個命題的證明是十分容易的，證明如下：已知：點 P 是直線 AB 外一點， PMAB，垂直為 M ，點 N 在直線 AB 上，連接 PN。求證： PM PN證明：延長PM 到 C，連接 NC，利用對稱性或者全等三角形知識，容易證明出：PN=CN，由于 PC是直線段，而PNC是折線段或者直線段，由公理“兩點之間線段最短”，就得出： PC PN+CN，即 2PM 2PN，

4、所以： PM PN。原命題獲證。有趣的是：這個命題的證明過程中，也順帶證明了命題“直角三角形中斜邊最長”。四、該公理在歐氏幾何中求極值的應(yīng)用（一）平面幾何中的應(yīng)用舉例（解法略）1.已知，A，B 在直線 L 的兩側(cè)，在 L 上求一點，使得 PA+PB最小。（如圖所示）（物理學(xué)角度： “光沿直線傳播” ）2.已知， A， B 在直線 L 的同一側(cè)，在L 上求一點，使得PA+PB最小。（如圖所示）（物理學(xué)角度： “光的反射”或者“平面鏡成像” ）3.A 是銳角 MON 內(nèi)部任意一點，在 MON 的兩邊 OM ， ON 上各取一點 B，C，組成三角形，使三角形周長最小。 （如圖所示） （物理學(xué)角度：“

5、光的反射” 或者“雙平面鏡成像” ）4.在直角坐標(biāo)系中，有四個點 A（ -8，3）、B（ -4，5）、C（0，n）、D（m，0），當(dāng)四邊形 ABCD的周長最短時， 求 m/n 的值。（物理學(xué)角度： “光的反射”或者“雙平面鏡成像” ）（二）該公理在立體幾何求極值的應(yīng)用舉例（解法略）1.已知：如圖，一圓錐底PAB底面半徑為2，母線長 PB為 6，D 為 PB的中點，一只螞蟻從點A 出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到 D 點，則螞蟻爬的最短路程為多少？2.已知：如圖，圓柱ADBC的底面半徑為6 cm，高為 10cm，螞蟻從 A 點爬到 B 點的最短路程是多少厘米（結(jié)果保留小數(shù)點后1 位）？（三）利用該公理“構(gòu)造圖形”求某些特定形式代數(shù)式的極值（解法略）1.已知，實數(shù)m、n，且 m+n=2，求代數(shù)式：的最小值。2.已知，實數(shù)x，求代數(shù)式：的最小值。綜上所述，公理“兩點之間線段最短”不但應(yīng)用廣泛，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識和物理知識之間的聯(lián)系，在教學(xué)中如果善用該公理，不但訓(xùn)練了學(xué)生的思維，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)公理化體系，而且也會加強不同學(xué)科知識之間的融會貫通，讓學(xué)生從更深層次理