浙江專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)考試微分中值定理試題分析

1、    浙江專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)考試微分中值定理試題分析    董飛摘  要：微分中值定理是高等數(shù)學(xué)教學(xué)與專(zhuān)升本考試的重點(diǎn)，該文分析了20052019年浙江專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)考試中需要應(yīng)用微分中值定理解決的綜合題，總結(jié)出了3類(lèi)題型的解決方法，為浙江專(zhuān)升本學(xué)生提供參考。關(guān)鍵詞：專(zhuān)升本  微分中值定理  浙江  考試：o13    ：a ：1672-3791（2019）11（b）-0192-02對(duì)于高職高專(zhuān)院校計(jì)劃進(jìn)入本科學(xué)習(xí)的畢業(yè)生，全日制專(zhuān)升本可以稱為人生的第二次高考。自2005年起，浙江專(zhuān)升本開(kāi)始由浙江

2、考試院獨(dú)立組織考試，報(bào)考人數(shù)逐年增多，而省重點(diǎn)建設(shè)高校卻逐年減少招生計(jì)劃以至停止招生，本科公辦院校招生計(jì)劃也在減少;與此同時(shí)，本科獨(dú)立院校、民辦院校招生計(jì)劃逐年增加，專(zhuān)升本學(xué)生想進(jìn)入一個(gè)好的本科院校難度越來(lái)越大。對(duì)于學(xué)習(xí)理工、經(jīng)管、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)大類(lèi)的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)則是必考科目。在專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)試卷中微分中值定理通常作為壓軸題出現(xiàn)在最后一題。筆者通過(guò)對(duì)20052019年的浙江省高等數(shù)學(xué)試卷中的微分中值定理部分進(jìn)行分析研究、歸納整理，希望對(duì)于浙江專(zhuān)升本的學(xué)生有所幫助。微分中值定理是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一，包括費(fèi)馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理1。關(guān)于微分中值定理

3、的應(yīng)用有一些學(xué)者進(jìn)行過(guò)研究2-3，下面該文將通過(guò)真題實(shí)例給出微分中值定理在解決專(zhuān)升本數(shù)學(xué)綜合題中的應(yīng)用。1  證明方程根的存在性這類(lèi)題目通常讓證明“至少存在一點(diǎn)（a，b），使得f'（）+g（）=0成立”，一般運(yùn)用羅爾中值定理去證明。證明方程根的存在性，核心環(huán)節(jié)是根據(jù)結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，下面是證明這類(lèi)問(wèn)題的步驟。（1）從題目中“使得”后面的式子入手，將后面式子化為f'（）+g（）=0這種方程形式，等號(hào)的左邊式子即為需要構(gòu)造新函數(shù)導(dǎo)數(shù)在處的值，即f'（），把換成得到f'，通過(guò)f'找其原函數(shù)，即為構(gòu)造的函數(shù)。（2）題目中一般給出“在（a，b）內(nèi)至少存在

4、一點(diǎn)”，找出相應(yīng)區(qū)間a，b。（3）驗(yàn)證滿足羅爾中值定理的條件，即在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)、可導(dǎo)以及端點(diǎn)處相等3個(gè)條件。例1（2005年浙江專(zhuān)升本綜合題.2）已知函數(shù)，其中常數(shù)a、b、c、d滿足a+b+c+d=0，證明函數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根。分析：要證明在內(nèi)至少有一個(gè)根，首先會(huì)想到用零點(diǎn)定理，但將兩個(gè)端點(diǎn)0和1帶入并不能得到異號(hào)的兩個(gè)值，零點(diǎn)定理不可用?？醋髂澈瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理，構(gòu)造的原函數(shù)，將兩端點(diǎn)0和1帶入值相等，可行。證明：令。在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，又因?yàn)閒（0）=f（1）=0。由羅爾中值定理可知，存在（0，1）使得f'（）=0，即f（）=4a3+3b2

5、+2c+d=0，證畢。例2（2011年浙江專(zhuān)升本綜合題.3）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=2，證明：在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f'（）=2+1成立。分析：要證明f'（）-2-1=0在（0，1）上有根，因此構(gòu)造此函數(shù)的原函數(shù)為輔助函數(shù)。證明：令。在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，因?yàn)閒（0）=f（0）-0-0=0，f（1）=f（1）-1-1=0，所以f（0）=f（1），所以由羅爾中值定理可知存在（0，1）使得f'（）=0，又因?yàn)?，所以存在?，1）使f'（）=2+1，證畢。例3（2017年浙江專(zhuān)升本綜合題.

6、27）設(shè)函數(shù)在0，1上可導(dǎo)，且f（1）=0，證明：存在（0，1），使得f'（）+f（）=0。分析：要證明f'（）+f（）=0在（0，1）上有根，因此構(gòu)造此函數(shù)的原函數(shù)為輔助函數(shù)。證明：令，因?yàn)樵?，1上可導(dǎo)，所以在0，1上可導(dǎo)且連續(xù)，又因?yàn)閒（1）=f（1）=0，f（0）=0，即f（0）=f（1），所以以由羅爾中值定理可知存在（0，1）使得f'（）=0，所以存在（0，1），使得f'（）+f（）=0，證畢。結(jié)論：通過(guò)以上3道專(zhuān)升本真題，可以看出羅爾中值定理適用于證明導(dǎo)函數(shù)某點(diǎn)值為0的問(wèn)題或者方程至少有根的問(wèn)題。一般需要構(gòu)造新的函數(shù)，而構(gòu)造出來(lái)新的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于結(jié)論

7、等于0部分的函數(shù)，證明這類(lèi)問(wèn)題證明過(guò)程結(jié)構(gòu)相似。2  證明不等式證明不等式是浙江專(zhuān)升本考試中一個(gè)重要的考試題型，可以利用輔助函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖像的凹凸性以及微分中值定理來(lái)證明不等式。筆者通過(guò)對(duì)浙江專(zhuān)升本的真題研究，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)不等式的證明需要運(yùn)用拉格朗日中值定理，下面是證明這類(lèi)問(wèn)題的步驟。（1）對(duì)不等式的式子進(jìn)行變形，得出與拉格朗日中值定理形式一致的式子，式子分子為函數(shù)在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值的差，分母為端點(diǎn)處的差，以區(qū)間a，b上的不等式為例，尋找對(duì)應(yīng)函數(shù)，分子為，分母為b-a。（2）在題目中找出拉格朗日中值定理需要的條件，連續(xù)及可導(dǎo)。（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出f'（4）根據(jù)a<< p>例4（2006年浙江專(zhuān)升本 綜合題.1）設(shè)0分析：不等式給出的區(qū)間a，b，根據(jù)不等式中間