ChapVI多元函數(shù)微積分學(xué)

1、Chap VI多元函數(shù)微積分學(xué)在前面各章中，討論的函數(shù)都只有一個(gè)自變量，這種函 數(shù)稱為一元函數(shù).但在許多實(shí)際應(yīng)用問題中，我們往往要考 慮多個(gè)變量之間的關(guān)系，反映到數(shù)學(xué)上，就是要考慮一個(gè)變 量(因變量)與另外多個(gè)變量(自變量)的相互依賴關(guān)系.由 此引入了多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微積分問題.本章將在一 元函數(shù)微積分學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論多元函數(shù)的微積分學(xué). 討論中將以二元函數(shù)為主要對(duì)象，這不僅因?yàn)橛嘘P(guān)的概念和 方法大都有比較直觀的解釋，便于理解，而且這些概念和方 法大都能自然推廣到二元以上的多元函數(shù).空間解析幾何本節(jié)重點(diǎn)：二元函數(shù)的極限本節(jié)難點(diǎn)：二元函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容：一、空間直角坐標(biāo)系二、 空間兩

2、點(diǎn)距離公式空間中兩點(diǎn)間的距離公式M1M2IJ(xX2)2(yiy2)2(ziZ2)2.特別是任意點(diǎn)M (x, y, z)到原點(diǎn)的距離為OM |y/Xy2Z2.三、 空間曲面及其方程空間曲面研究的兩個(gè)基本問題是：(1)已知曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，建立曲面的方程；(2)已知曲面的方程，研究去面的幾何形狀.四、 柱面五、 平面平面的一般方程參考課時(shí)：25+5多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，基本方法：化多元函數(shù)問題為一元函數(shù)問題左手坐標(biāo)系，右手坐標(biāo)系一 二 三 四n 維空間Ax By Cz D 0平面的截距式方程xyz1 1， a b c六、常用二次曲面1.橢球面2 2 2xyzz、1(a 0,b0,

3、c0)abc球面2 2 2 2X y za,2.橢圓拋物面2 2z (p與q同號(hào))2p 2q3.雙曲拋物面2 2-yz(p與q同號(hào))2p 2q4.單葉雙曲面2 2 2xyzT7TT1(a 0, b 0, c 0)abc5.雙葉雙曲面222xyz2221 (a 0, b 0, c 0)abc6.二次錐面2 2 2xyz2220 (a 0, b 0, c 0)abc例1設(shè)點(diǎn)M在x軸上，它到點(diǎn)M1(0/2,3)的距離為到點(diǎn)M2(0,1, 1)的距離的兩倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo).例2建立球心在點(diǎn)M0(X0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程.例3方程x2y2z22x 4y 4z 7 0表示怎樣的例4方程x2y

4、2R2在空間中表示怎樣的曲面？例5求通過x軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平面方程.作業(yè)：235習(xí)題6-12.多元函數(shù)的基本概念本節(jié)重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念與連續(xù)性本節(jié)難點(diǎn)：二元函數(shù)的極限 本節(jié)內(nèi)容:、鄰域二、 平面區(qū)域的概念三、 聚點(diǎn)與孤立點(diǎn)四、n維空間的概念五、 多元函數(shù)的概念六、 二元函數(shù)的圖形七、 二元函數(shù)的極限八、n元函數(shù)的極限九、 二元函數(shù)的連續(xù)性 十、二元初等函數(shù)十一、n元函數(shù)的連續(xù)性 十二、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2 2例 2 已知函數(shù)f (x y, x y) -2，求f (x, y).x y例 3 求極限lim (x2(x,y) (0,0) y2)sinlim呼申(x,y) (0,0

5、)x2y2例 4 求極限limxyy2y34xy 2x0 x20g y2)xy.y例 5 證明limx 0y 0 xyx2limxy3_x y0 60 x0，xim0(1y 0ixy)y不存在.例 6 求極限lim ln(y x)y 1xlimex0 xy 1x例 7 討論二元函數(shù)f (x, y)33xy22xy0,(x, y) (0,0)(x,y) (0,0)例 1 求二元函數(shù)f(x, y)arcsin(3 x2Jxy2y2)y f(x)y f(P)f:n二元函數(shù)的幾何意義z f(x,y)z f(x, y)z f(x,y)在(0,0)處的連續(xù)性2xy22c24，X y 0例 8 討論二元函數(shù)

6、f(x,y)x y的連續(xù)性2 20,x y 0例 9 設(shè) f x y, x2y2,求 f(x,y).x例 10 若點(diǎn)(x,y)沿著無(wú)數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x, y)都趨向于A能否斷定limf (x, y) A?(x,y)(冷必)作業(yè)：P241 習(xí)題 6-2、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明1.對(duì)一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)dy可看作函數(shù)的微分dy與自變量dx的微分dx的商.但偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)u是一個(gè)整體.x2.與一元函數(shù)類似，對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要利用 偏導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求3.在一元函數(shù)微分學(xué)中，如果函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，則它在 該點(diǎn)必定連續(xù)但對(duì)多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 存在，也不

7、能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).三、 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、 高階偏導(dǎo)數(shù)五、 混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件2Z2ZTh如果一z及 連續(xù),y x x y例1求Zx23xy y2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例2設(shè)Zxy(x o, x 1),求證x_Z 1一Z2Z.y x In x y例3求三元函數(shù)usin(x y2ez)的偏導(dǎo)數(shù).例4求r. x2y2z2的偏導(dǎo)數(shù).3.偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.本節(jié)難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的概念，高階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)內(nèi)容：一、偏導(dǎo)數(shù)的定義fx(Xo, yo) f (x, y)x x xxZxfy(Xo, yo)f (x, yo)y y yoy叫叫yZy_y_XkRf (x,L,xk丄丄 用用) )打打

8、x. xo多因素分析z f(x, yo)z f(xo,y)化多元函數(shù)問題為一元函數(shù)問題利用一元函數(shù)研究多元函數(shù)偏導(dǎo)(函)數(shù)xy例5證明函數(shù)f(x,y)廠y2(X，y) (0,0)的偏導(dǎo)數(shù)0,(x,y) (0,0)fx(0,0), fy(0,0)存在，但f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù)例6設(shè)z4x33x2y 3xy2xy,求22223zzzzz2?772 73xy x x y yx例7設(shè)u eaxcosby,求二階偏導(dǎo)數(shù).22例8驗(yàn)證函數(shù)u(x,y) In滿足方程UU 0.xy例9求z xln(x y)的二階偏導(dǎo)數(shù).1222例10證明函數(shù)U1滿足拉普拉斯方程UUU 0,rxyz其中rJx2y2z

9、2.2 2xy例11設(shè)f(x,y)xyx2y2,(x,y)0,0 ,0,(x, y) 0,0試求fxy0,0及fXy0,0 .例12若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y。)連續(xù),能否斷定f (x,y)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？例13設(shè)f (x, y)Jx2y4,冋f(shuō)x(0,0)與fy(0,0)是否存在?例14設(shè)z f (x,y) esin y (x 1)arctan,試求fx(1,1)及yfy(1,1).作業(yè)：P246習(xí)題6-3例2計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(2, 1)處的全微分.例3求函數(shù)u x sin乂eyz的全微分.2z例4求函數(shù)ux，的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.例5計(jì)算(1.04)202的近似值.全微分及

10、其應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn)：全微分的概念與計(jì)算.本節(jié)難點(diǎn)：可微的充分條件本節(jié)內(nèi)容:偏增量與全增量二、全微分的定義三、可微的必要條件Th1如果函數(shù)y f(P)在點(diǎn)Po處可微,則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)一y (1k n)必存在,xkdy四、可微的充分條件XkPoXk.Th2設(shè)-Z，-Z在點(diǎn)(x, y)處連續(xù),則z f (x, y)在該點(diǎn)處可x y微.五、 多元函數(shù)連續(xù)、可(偏)導(dǎo)、可微的關(guān)系六、 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用z dzf (x x,y y) f(x, y)fx(x,y) x fy(x, y) y七、 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差(*)例1求函數(shù)z 4xy35x2y6的全微分.可推廣到 n 元函數(shù)用集合圖示y dy與

11、y dy的區(qū)別2x yx220例6函數(shù)zx4yy在點(diǎn)(0, 0)處是否可微？0,x2y201例7設(shè)f(x, y,z)x Z,求df (1,1,1).y例8(*)形盒的邊長(zhǎng)為75cm 60cm以及40cm且可能的最大 測(cè)量誤差為0.2cm.試用全微分估計(jì)利用這些測(cè)量值計(jì)算盒 子體積時(shí)可能帶來(lái)的最大誤差.例9(*)測(cè)定重力加速度 g 的公式是g 42I/T2.現(xiàn)測(cè)得I 100 0.1cm、T 2 0.004s.冋由于測(cè)定 l 與 T 的誤差而引起g 的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？作業(yè)：P251習(xí)題6-4復(fù)合函數(shù)微分法本節(jié)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算.本節(jié)難點(diǎn)：鏈?zhǔn)椒▌t.本節(jié)內(nèi)容：一、 鏈?zhǔn)椒▌t(1)

12、z fu(t),v(t)- -dtu dtv dt二、 鏈?zhǔn)椒▌t(2)z fu(x,y), v(x, y)zzuzvzzuzv, -xu x v xyuyvy二、鏈?zhǔn)椒▌t(3)z f u(x, y), x, yzfufz f u f， xuxxyuyy四、一階全微分形式的不變性例1設(shè)z uv sint而u et,v cost，求導(dǎo)數(shù)一.dt例2設(shè)z eusinv，而u xy,v x y，求，.x y例3求z (3x2y2)4x2y的偏導(dǎo)數(shù).例4設(shè)u f(x,y,z) ex y z,z x2s iny,求一，.x y23例5設(shè)z匚(xy),可微，求證x2xy y20.2xxy 2例6設(shè)函數(shù)z具有

13、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求常數(shù)a,使得變換2 2 2u x 2y,v x ay可把方程6220，化簡(jiǎn)為xx y y2z0.u v本章重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)合樹形圖兩種含義，應(yīng)用例7求函數(shù)z arctanX y的全微分.1 xy2例 8 設(shè) w f (x y 乙 xyz), f 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和xx z例 9 設(shè)u u(x, y)可微，在極坐標(biāo)變換 x r cos , y rsin 下2 2 2 2、曲uuu1u證明：一一一xyrr例10設(shè)u f x,y的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的形式：222 2(1)u u);u u.xyxy例11利用全微分形式不變性解本節(jié)的 例2.例12利用一階

14、全微分的形式不變性求u222的偏導(dǎo)x y z數(shù).2例13設(shè)z f(exy,x2y2), f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求丄二y y例14已知exy2z ez0,求二，二.x y例15設(shè)w f (x xy xyz),求,x y z例16設(shè)u sinx F (siny sinx),其中F是可微函數(shù)，證明：ucosyuCOsx COsx COs y.xy例17設(shè)z f (u,x, y),u xey, f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2zx y作業(yè)：P256習(xí)題6-56.隱函數(shù)微分法本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算.本節(jié)內(nèi)容：一、一個(gè)方程的情形(1)Th1 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(xo，y。)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)

15、的偏導(dǎo)數(shù)，且Fy(Xo，y。)0, F(Xo,y。) 0,則方程F(x, y)0在點(diǎn)P(xo,yo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函dvF數(shù)y f (x),匕滿足y0f(x0),并有 .dxFy二、 一個(gè)方程的情形(2)Th2 設(shè)函數(shù)F(x, y,z)在點(diǎn)卩儀。 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且F(x), y,Z0)0, Fz(X0,y,Z0)0,則方程F(x, y,z) 0在點(diǎn)P(X0,y,Z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)可微函數(shù)z f (x, y),它滿足zf (x0, y0),并有zFxzFyxFz,yFz.三、 方程組的情形(*)Th3 設(shè)F (x,y, u, v), G(x,

16、y,u, v)在點(diǎn)P(x, y,U0, V。)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F(x0, y0,u0,v0) 0,G(x。，y,U0,V0)0,且F、的G雅可比行列式J(,)(u,v)亠-F(x, y,u,v) 0在點(diǎn)P(X0,y0,U0,v。)不等于零，則方程組G(x,y,u,v) 0在點(diǎn)P(x。，y0,U0,v。)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組可微函數(shù)其偏導(dǎo)數(shù)為：U(F,G) / (F,G)V(F,G)/(F,G)x(X,v)/(u,v)，x(U, x)/(u,v)U(F,G) / (F,G)V(F,G) /(F,G)y(y,v)/(u,v)，y(U,y)/(u,v)例 1 驗(yàn)證方程

17、x2y210在點(diǎn)(0, 1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x 0時(shí)y 1的隱函數(shù)y f(x),求這函數(shù)的 一階和二階導(dǎo)數(shù)在x 0的值例 2 求由xy exey0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)dy,dx o.dx dx33ZZ例 3 設(shè)z 3xyz a (a是常數(shù))求一,一 x y2例 4 設(shè)x2y2z24z 0,求一.x例 5 設(shè)z f (x y z,xyz),求一，-.x y z例 6 設(shè)F(x y,y乙z x) 0,其中F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F2F30,求證:1.x y2 2 2例 7 設(shè)x y z e，求2,2.x x y y例 8 設(shè)u f xyz,而 z 是由 x3y3z33xyz 0

18、 確定,求x例 9 設(shè)u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y)由(x2,ey,z)0確疋,其中 f,具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 0,求.zdx222八例 10 設(shè)u vXy 0,求_x,u v xy 10,u uxuyv 0uuvv例 11 設(shè)求，yuxv 1,xyxy可推廣到 n 元函數(shù)規(guī)律例 12 設(shè)u f(x, y,z), (x2,ey,z) 0, y si n x,其中f,具有連 續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且30,求dU.dx例 13 在坐標(biāo)變換中我們常常要研究一種坐標(biāo)(x, y)與另一種坐標(biāo)x x(u,v),(u,v)之間的關(guān)系.設(shè)方程組可確定隱函數(shù)組y y(u,v)u u(

19、x, y), v v(x, y),稱其為方程組(5.14)的反函數(shù)組.設(shè)x(u, v), y(u,v), u(x, y), v(x, y)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明(u,v)(x, y)1(x, y) (u,v)x u2vu u(x, y),例 14 設(shè)方程組2確定反函數(shù)組y u vv v(x, y),亠uv uv求，.xxy y例 15 設(shè)xy,其中為可微函數(shù)，求x y-zzxy例 16 設(shè)f (x, y,z)x3y2z2, z由x3y3z33xyz 0確定，試求fx( 1,0,1).例 17 設(shè) y f(x,t),而 t 由 F(x,y,t) 0 確定，試求直.dx作業(yè)：P262 習(xí)題 6-6

20、.多元函數(shù)的極值本節(jié)重點(diǎn)：多元函數(shù)的最值應(yīng)用.本節(jié)難點(diǎn)：拉格朗日乘數(shù)法.本節(jié)內(nèi)容：一、 引例二、 二元函數(shù)極值的概念三、 極值的必要條件四、極值的充分條件五、 求二元函數(shù)極值的一般步驟第一步 解方程組fx(x, y) 0, fy(x,y)0,求出f(x,y)的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐 點(diǎn)處A、B、C的值，并根據(jù)AC B2的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為 極值點(diǎn).最后求出函數(shù)f(x,y)在極值點(diǎn)處的極值.六、 求最值的一般步驟第一步 求函數(shù)f(x,y)在 D 內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；第二步 求f(x,y)在 D 的邊界上的最大值和最小值；第三步 將前兩步得到的所有函數(shù)值

21、進(jìn)行比較，其中最大 者即為最大值，最小者即為最小值七、 條件極值的概念求目標(biāo)函數(shù)y f(Xi,X2,L ,Xn)在所給條件i(x,y, z) 02(x, y,z) 0L Lm(x,y,z)0(m n)下的極值.八、 拉格朗日乘數(shù)法引進(jìn)拉格朗日函數(shù)Lf1122Lm m九、最小一乘法例1函數(shù)z 2x23y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.從幾何上看,(0,0,0)點(diǎn)是開口向上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)例2函數(shù)zyjxy在點(diǎn)(0,0)處有極大值.從幾何上看,點(diǎn)(0,0,0)是開口向下的半圓錐面的頂點(diǎn).例3函數(shù)z y x在點(diǎn)(0,0)處無(wú)極值.從幾何上看，匕表 示雙曲拋物面(馬鞍面).例4求函數(shù)f (x, y) x

22、3y33x23y29x的極值.例5證明z (1 ey)cosx yey有無(wú)窮多個(gè)極大值而無(wú)一極小 值.例6求函數(shù)f (x,y) x22xy 2y在矩形域D 0,3 0,2上的最大值和最小值.例7求一兀函數(shù)z x2y(4 x y)在直線x y 6, x軸和 y 軸 所圍成的閉區(qū)域 D上的最大值與最小值.例8求函數(shù)f (x, y) 3x23y2x3在區(qū)域D : x2y216上 的最小值.例9求z22的最大值和最小值.xy 1例10求兩直線y與y x 3之間的最短距離.z x 1z x例11某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2m的有蓋長(zhǎng)方體水箱.問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省.例12求函數(shù)

23、u xyz 在附加條件1/x 1/y 1/z 1/ax 0, y 0, z 0, a 0下的極值.例13求表面積為a而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.6例14證明不等式ab2c3108a b c其中a,b,c是非負(fù)實(shí)6數(shù).例15設(shè)銷售收入R (單位：萬(wàn)元)與花費(fèi)在兩種廣告宣傳的費(fèi)用x,y(單位:萬(wàn)元)之間的關(guān)系為R200 x100y利潤(rùn)x 510 y額相當(dāng)五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費(fèi)用.已知廣 告費(fèi)用總預(yù)算是25萬(wàn)元，試問如何分配兩種廣告費(fèi)用使利 潤(rùn)最大？例16設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c,每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為 p,銷售量為x.假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量.

24、根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售 量x與銷售價(jià)格p 之間有下面的關(guān)系：x Meap(M 0,a 0)其中 M 為市場(chǎng)最大需求量，a是價(jià)格系數(shù).同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每 臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：c c0kin x (k 0,x1),其中c。是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，k 是規(guī)模系數(shù).根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價(jià)p,才能使該廠獲得最大利潤(rùn)？例17求函數(shù)f (x, y) (x2y2)22(x2y2)的極值.例18求函數(shù)z f (x, y) sinx siny sin(x y)在由x軸，y軸及直線x y 2所圍成三角形中的最大值.例19某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A與B,出售單價(jià)分別為10元與

25、9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品A與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品B的總費(fèi)用 是：400 2x 3y 0.01(3x2xy 3y2)(元)求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各多少？例20為測(cè)定刀具的磨損速度，按每隔一小時(shí)測(cè)量一次刀具 厚度的方式，得到如下實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)：順序編號(hào) i01234567時(shí)間 ti（小時(shí)）01234567刀具厚度 yi（毫米）27.026.826.526.326.125.725.324.8試建立變量y和t之間的經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng) f （t）.例21一份簡(jiǎn)化的食物由糧和肉兩種食品做成，每份糧價(jià)值30分,其中含有4單位醣,5單位維生素和2單位蛋白質(zhì)；每 一份肉價(jià)值50分,其中含有1單位醣,4單位維生素和4單位蛋

26、白質(zhì)對(duì)一份食物的最低要求是它至少要由8單位醣, 20單位維生素和10單位蛋白質(zhì)組成，問應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的 食物，才能使價(jià)錢最便宜例12一個(gè)糖果制造商有500g巧克力,100g核桃和50g果料.他用這些原料生產(chǎn)三種類型的糖果 A類每盒用3g巧克力，1g核桃和1g果料,售價(jià)10兀.B類每盒用4g巧克力和1g核桃，售價(jià)6兀.C類每盒是5g巧克力，售價(jià)4兀.冋每類 糖果各應(yīng)做多少盒，才能使總收入最大？作業(yè)：P269習(xí)題6-78.二重積分的概念與性質(zhì)本節(jié)重點(diǎn)：一重積分的性質(zhì).本節(jié)難點(diǎn)：二重積分的概念.本節(jié)內(nèi)容：與定積分類似，重積分的概念也是從實(shí)踐中抽象出來(lái)的，它是 定積分的推廣，其中的數(shù)學(xué)思想與定積分一樣

27、，也是一種“和式的 極限”.所不冋的是：定積分的被積函數(shù)是一兀函數(shù)，積分范圍是 一個(gè)區(qū)間；而重積分的被積函數(shù)是多兀函數(shù)，積分范圍是空間的一 個(gè)區(qū)域.它們之間存在著密切的聯(lián)系，重積分可以通過定積分來(lái)計(jì) 算一、曲頂柱體的體積二、 非均勻平面薄片的質(zhì)里三、 二重積分的概念四、 二重積分的性質(zhì)P1f(x,y) g(x,y)df(x,y)dg(x,y)d-DDDP2kf (x,y)dk f(x,y)d-DDP3 設(shè)D D,D2,貝Uf (x, y)df (x, y)df (x, y)d .DDD2P41 ddS(D).DDP5 設(shè)f (x, y) g(x, y),則f (x, y)dg(x, y)d.D

28、D推論f (x, y)d|f(x,y)|d.DDP6 設(shè)M ,m分別是f (x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,則mS(D)f (x, y)dMS(D).D重積分是定積分 的推廣，基本方 法：化多元函數(shù)問 題為一元函數(shù)問 題曲邊梯形的面積幾何意義與定積分類似線性D,和D2沒有公共 內(nèi)點(diǎn)，有限可加性二重積分估值不等式幾何意義P7設(shè)f(x,y) C(D),則(，)D,f(x,y)df( , ) S(D).D2 22 2例1估計(jì)1e(x y )d ,其中 D:：與1(0 b a).Dab例2估計(jì)1j_d_ ,其中D 0,1 0,2.D寸寸x2y22xy 16例3判斷l(xiāng)n( x y )dxdy的付

29、號(hào).rx iy1例4判斷屮x y dxdy(D :x y 4)的付號(hào).D例5比較ln(x y)d與ln(x y)2d的大小，其中區(qū)域DDD是三角形閉區(qū)域(1,0),(1,1),(2,0).i2j24n n例6試用二重積分表示極限lim -2en2.nni 1 j 1作業(yè)：P273習(xí)題6-89.二重積分的計(jì)算(一)本節(jié)重點(diǎn)：利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分本節(jié)難點(diǎn)：化二重積分為二次積分.本節(jié)內(nèi)容：一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分對(duì)丫丫 型區(qū)域：(x,y)|1(x) y2(x),a x b，有b2(x)f (x, y)dxdydxf (x, y)dyDa1(x)對(duì) X 型區(qū)域：(x, y)|1(y) x2

30、(y),c y d，有d2(y)f (x,y)dxdycdy(y)f (x,y)dxD1二重積分中值定 理幾何意義平均值(?)(?)化多元函數(shù)問題 為一兀函數(shù)冋題利用一元函數(shù)研 究多元函數(shù)區(qū)域的特點(diǎn)一般教材對(duì)區(qū)域 命名不好，什么型 區(qū)域化成先對(duì)什 么的累次計(jì)分二、交換二重積分次序的步驟(1)先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D；(2) 根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分限；(3)寫出結(jié)果.二、利用對(duì)稱性和奇偶性化簡(jiǎn)二重積分 利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對(duì)稱性，常會(huì)大大化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算.如同在處理關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的 奇(偶)函數(shù)的定積分一樣，在利用這一方法時(shí)，要同時(shí)兼顧 到被積函數(shù)f(x

31、,y)的奇偶性和積分區(qū)域D的對(duì)稱性兩方面.例1 xyd ,其中D由y 1,x2及y x圍成.D例2yjl x2y2d,其中 D 由y x、x 1和y 1圍成.D例3 xyd ,其中D由y2x及y x 2圍成.D2例4 eydxdy,其中D由y x, y 1及y軸圍成.D例5| y x2| dxdy,其中D為1 x 1,0 y 1.D例6ex ydxdy,其中 D 由x 0, x 1, y 0,y 1圍成.D、r i11 X、例7父換0dx0f (x, y)dy的積分次序.1x例8父換dx2f (x, y)dy的積分次序.0 x,、1J2x x222 x，亠例9父換0dx0f (x,y)dy1dx0f (x,y)dy積分次序.aya例10證明：o dy o eb(x a)f (x)dxq(a x)eb