2022年上半年教師資格證考試初中數(shù)學(xué)教資考試重點知識點歸納【考試重點】

1、2021年教師資格證考試初中數(shù)學(xué)教資考試重點知識點歸納【考試重點】一、數(shù)學(xué)重要公式1 .羅爾定理如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間口，句上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即ja)=J(b),那么在(a, b)內(nèi)至少有一點使得 F'(Q =0o2 .拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間。，6上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；那么在(a, b)內(nèi)至少有一點使得/：/(6)=/''(a-6)3 .泰勒公式e* = 1 + x + - -t+.+(：+i)產(chǎn)< 8 < Lx 6 (co, +oo)疝久

2、=x 4 + B+(T)z 者 + 3端才口0<0<18衿1 V + A+產(chǎn) + (一1產(chǎn)彘獷M,0<0<14 .定積分性質(zhì)性質(zhì)2 (積分的保序性)：如果在區(qū)間a,句上恒有f(x)2g(x),則r br bI fxdx > I g(x)dxo J(iJa性質(zhì)3 (積分估值定理)：如果函數(shù)/(%)在區(qū)間口，0上有最大值M和最小值m,則m(b a) < f fxdx < M(h a) o性質(zhì)4(積分中值定理)：如果函數(shù)/(x)在積分區(qū)間口，句上連續(xù)，則在a,切上至少有一點&, 使得cbI /'(x)dx = f(f)(b a), e (a,

3、 b).-J a性質(zhì)5(對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì))：設(shè)f(x)在對稱區(qū)間-a,句上連續(xù)，則有：如果f(x)為奇函數(shù)，則/jf(x)dx = 0；如果/(%)為偶函數(shù)，則/：J(x)dx = 2fMdx.第1頁2021年教師資格證考試初中數(shù)學(xué)教資考試重點知識點歸納【考試重點】第9頁5 .平面方程與直線方程平面方程的基本形式(1)點法式：Aa-xo)+5()yo)+C(z-zo)=O 其中已知點(xo,加 zo)，法向量丘=(4, B, C)。(2) 一般式：Ax + By+Cz+D=O(A、B、C 不全為零)。直線方程的基本形式k GQ j q? 為1 2i A 4=(B.C2 - Ci -

4、 (AxC2 - C.Aj +一般式(交面式)：piX + Biy + CiZ + D，其中(2, Bi，。與(&，B2, A2x + B2y + C2z + D2 =0c2)不平行。直線方向向量：S = nxn =Hi% Bi42)kX =xQ + tl y =yQ + tm z =z0 + tn其中(&，y。，2。)為直線L上的定點，(/, m,")為直線L的方向I可量。(3)對稱式(標(biāo)準(zhǔn)式)：空=匕也=土電 4 m no6 .混合積設(shè)已知三個向量a, b, c,先作兩向量。和的向量積"b把所得到的向量與第三個向量。 再作數(shù)量積(4X6)4這樣得到的數(shù)量

5、叫做三向量、b、C的混合積，記作口，h, coa, b, c=(axb)c=cxyy z-cy2 £也憶彳卜 g 2幾何意義：以向量a, b, c,為棱長的平行六面體的體積。用途：判斷兩直線是否共面或異面。7 .曲面方程球面：球心在點(xo,yo,zo),半徑R的球面方程可寫成(xxo)2+(yyo)2+(zzo)=R2。柱面：面平行于哪個軸，方程中就不含哪個軸的量。圓錐面：繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，哪個軸字母不變，另一個字母變成土根號下其他兩個字母平方和。橢球面：標(biāo)準(zhǔn)方程：-7 +=l(a,b,c>0)az O' c"單葉雙曲面：標(biāo)準(zhǔn)方程：.a3 =l(a,b,c>

6、;0)雙葉雙曲面：標(biāo)準(zhǔn)方程：- -7 l(a,b,c>0) a2 b 2 c2v /橢圓拋物面：+ =2z(p,q>0) p q雙曲拋物線：j- = z(p, q>0)8 .曲面方程的切平面方程設(shè)曲面方程為F(x, y, z)=O, M)(xo，zo)是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù)尸(x, y, z)的偏導(dǎo)數(shù) 在該點連續(xù)且不同時為零。法向量元=(48,0就是該曲面在點M處的一個法向量，其中4=£J(xo, yo> zo), B=Fy'(xo, yo, zo), C=Fzxo, yo, zo),則切平面方程為 Z(x-xo)+8(y-yo)+C(z-zo)=O

7、。通過 點M0(x0, y0, zo)且垂直于切平面的直線為曲面在該點的法線，則法線方程為十=號=瞪。9 .向量組的線性相關(guān)方法一：定義法判斷給定向量組4 at, a2 am,如果存在不全為零的數(shù)自，k2, km,使自% +k2a2 + - + kmam = 0,則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng)比= k2 = km = 0時上式成立，則稱向量組4線性無關(guān)。方法二：定理法(求秩)定理2：向量組/：£a2 47n線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣工=(%，。2，aQ的秩小于向量的個數(shù)加，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(/尸加。10 .極大線性無關(guān)向量組設(shè)有向量組

8、4如果在N中能選出廠個向量aa2, . ar,滿足：(1)向量組4：%, a2, %線性無關(guān)；(2)向量組N中任意什1個向量(如果有的話)都線性相關(guān)；則稱向量組No： aa2,%是向量組工的一個最大線性無關(guān)向量組。方法：化成行階梯型矩陣，找非零行的第一個非零元所在的列向量。11 .線性方程組定理1： 元齊次線性方程組4x=0(1) R(4)=- 4x=0 有唯一解，零解；(2) R(4)<n。4c=0 有非零解。定理2： n元非齊次線性方程組Ax=b(1)無解的充分必要條件是RC4)<R(Z,6);(2)有唯一解的充分必要條件是R(4)= R(A,b)=n；(3)有無窮多解的充分必

9、要條件是R(Z)= R(A, b)<n.12 .特征值與特征向量求特征值，特征向量的方法：(1)先由特征方程|MUE|=0求出矩陣的特征值(共幾個)。（2）再由求（M1也）x=0基礎(chǔ)解系，即矩陣M屬于特征值右的線性無關(guān)的特征向量。13 .施密特正交化設(shè)內(nèi)，az，如是向量空間的一個基，要求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。也就是要找 一組兩兩正交的單位向量約，62,外，使1，62,當(dāng)與四，3,如等價，這樣的過程叫做 把基ai，&2，小標(biāo)準(zhǔn)正交化，也叫做施密特（Schmidt）正交化。設(shè)V的一個基為由,“2，令bi=a,歷一畋一而面瓦，br= a-獸T 瓦-用上4 b2也工巴斗Uh，i>2，%

10、r-1 , r-1再將加，岳，瓦，單位化，即取eq察，e2dpe,陪;就是V的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。二、教學(xué)技能模板教學(xué)設(shè)計一一關(guān)于教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點設(shè)計作答模板：知識與技能目標(biāo)（學(xué)生）了解（如概念），理解（如公式推導(dǎo)的過程、算理、含義），掌握（如 計算方法，公式），能夠應(yīng)用 解決實際問題。過程與方法目標(biāo)（學(xué)生）在自主探究，小組討論交流（某知識點）的過程中，提高發(fā)現(xiàn)問題，提出問題 分析問題和解決實際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過對 （某知識點）的探索，學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣（學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣/積極性）得以提高（增加），能夠進一步體會數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活（數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系/數(shù)學(xué)

11、的美/圖形的美）。教學(xué)重點：（學(xué)生）了解 （如概念），能夠應(yīng)用 解決實際問題。教學(xué)難點：理解（如公式推導(dǎo)的過程、算理、含義），的推導(dǎo)或證明過程。 教學(xué)設(shè)計關(guān)于教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入教師活動：教師運用多媒體展示（播放）生活圖片（視頻、音頻）。接著引導(dǎo)學(xué)生認真觀察和 思考，提出問題： （注意：要求必須闡述老師出示的具體問題是什么）。學(xué)生活動：就教師的提問展開獨立思考或討論得出結(jié)論。教師活動：根據(jù)學(xué)生得出的回答，再次提出啟發(fā)式問題，從而引入本節(jié)課新課一一o設(shè)計意圖：精彩的開頭，不僅能使學(xué)生很快由抵制狀態(tài)進入興奮狀態(tài)，提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣， 還能使學(xué)生把知識的學(xué)習(xí)當(dāng)成自我需要，使教學(xué)任務(wù)順利完成。（注意審

12、題要仔細，是否耍求 寫明設(shè)計意圖）。二、新課講授環(huán)節(jié)一：初步感知，以舊引新教師活動：教師提出等目標(biāo)問題。教師組織學(xué)生根據(jù)目標(biāo)問題四人小組討論或同桌之間交流，教師進行巡視指導(dǎo)，交流討論結(jié)束后，找學(xué)生代表回答討論結(jié)果，教師評價，學(xué)生互 評或?qū)W生自評。學(xué)生活動：根據(jù)問題探究出結(jié)論或預(yù)設(shè)：（一般都是直接默寫相關(guān)知識點）。 環(huán)節(jié)二：自主探究，得出結(jié)論教師活動：教師再次拋出問題，給予一定的時間，組織學(xué)生思考搶答或自主探究再回 答，教師針對學(xué)生的回答結(jié)果作相應(yīng)評價或選擇學(xué)生自評或互評。學(xué)生活動：通過自主探究，學(xué)生回答出。設(shè)計意圖：通過設(shè)置問題，層層提問，利用提問法和引導(dǎo)法引導(dǎo)學(xué)生進行問題的思考并進一步 的討

13、論，體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)性作用：學(xué)生采用小組討論和自主探究等多種學(xué)習(xí)方法，進行問題 的探究，提高學(xué)生之間的合作交流意識、語言表達和信息共享意識，為提高解決問題的能力奠 定基礎(chǔ)，這也是體現(xiàn)學(xué)生主體性作用的一種重要學(xué)習(xí)方法。環(huán)節(jié)三：總結(jié)歸納，知識應(yīng)用教師活動：教師梳理和總結(jié)本就新課的重難點：（直接抄知識與技能目標(biāo)即可）。 三、鞏固練習(xí)。教師通過多媒體展示有關(guān).（本節(jié)課知識點）不同類型不同層次的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生獨自思考并作答，或者找同學(xué)代表到黑板上進行板演，完成后教師針對結(jié)果給予評價并總結(jié)。 設(shè)計意圖：通過設(shè)置不同層次的練習(xí)題，不僅能使學(xué)生的新知得到及時鞏固，也使學(xué)生思維能 力得到有效提高，能更好的將

14、知識學(xué)以致用。四、歸納小結(jié)。教師引導(dǎo)學(xué)生可以從知識方面，能力方面或情感等方面暢談本節(jié)課的收獲，針對學(xué)生的回答， 相機評價并總結(jié)。設(shè)計意圖：在小結(jié)環(huán)節(jié)采用先讓學(xué)生自評，接著讓學(xué)生互評，最后教師表揚全班學(xué)生，不僅是 為了檢驗學(xué)生對本節(jié)課重點內(nèi)容的清楚認識，更能進一步增強學(xué)生的自信心和榮譽感，使他們 更加熱愛數(shù)學(xué)。五、作業(yè)布置。學(xué)生完成書后剩余練習(xí)題或者自主設(shè)計一道能用本節(jié)課知識解決的生活實際問題。設(shè)計意圖：對本節(jié)課知識的再鞏固，再認識?？键c1：教學(xué)目標(biāo)的評析導(dǎo)入的評析 教學(xué)方式的評析案例分析考點2:教學(xué)過程的評析 教師主電學(xué)生主體作用的評析 ,提問技巧的評析（教師. 學(xué)生）考點3:錯誤歸因的評析：

15、|考點4:改進建議的評析案例分析一一考點1：教學(xué)目標(biāo)的評析答題模板：【根據(jù)題目從以下7點中選擇34點進行回答即可?！糠从硵?shù)學(xué)的學(xué)科特點，反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)。題中的教學(xué)目標(biāo)包含了（概括材料）, 符合/違背了這一要求。格式要規(guī)范，用詞要考究。題中的教學(xué)目標(biāo)包含了 （概括材料），符合/違背了這一要求。注意教學(xué)目標(biāo)的層次性。一般包含四基、四能和情感態(tài)度，題中的教學(xué)目標(biāo)包含了（概括材料），符合/違背了這一要求。實在具體，不浮華。要防止教學(xué)目標(biāo)“高大全”，有的甚至是“假大空”，目標(biāo)“遠大”、 空洞，形同虛設(shè)。題中的教學(xué)目標(biāo)包含了 （概括材料），符合/違背了這一要求。案例分析一一考點2：教學(xué)過程的評析（

16、宏觀評析）從以下5方面著手作答：導(dǎo)入：教學(xué)過程中導(dǎo)入方式的選擇是否合理？優(yōu)點和缺點各是什么，形成的課堂氛圍如何。教學(xué)方式與作用體現(xiàn)：教師：教學(xué)方法、引導(dǎo)者、合作者、組織者學(xué)習(xí)方式與作用體現(xiàn)：學(xué)生：學(xué)習(xí)方式、學(xué)生為主體點評：學(xué)生的回答是否得到及時評價，評價的主體和評價的內(nèi)容上是否多樣化，評價結(jié)果和 評價過程是否得到體現(xiàn)：提問技巧：在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師的課堂提問是否層層遞進，是否具有啟發(fā)性。（微觀評析：從要求的角度進行評析）類型一：僅從“導(dǎo)入”角度進行評析（優(yōu)點）案例中X老師采用了情境導(dǎo)入/故事導(dǎo)入/圖片導(dǎo)入,該種導(dǎo)入方式打破數(shù)學(xué)傳統(tǒng)枯 燥的學(xué)習(xí)模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進一步讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生

17、活和生活有著密切的聯(lián)系。 也同時增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，活躍課堂氣氛，達到課未始，興己濃的效果，符合初中/高中 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“導(dǎo)入環(huán)節(jié)要啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)情感”的課 程基本理念。案例中，X老師首先提出 ,接著引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考，最后引出新課課 題，符合學(xué)生生理和心理發(fā)展的特點。（優(yōu)點）案例中X老師采用了復(fù)習(xí)導(dǎo)入,通過復(fù)習(xí)學(xué)生之前學(xué)習(xí)過的知識，檢驗學(xué)生知識點掌 握情況的同時，建立新舊知識的聯(lián)系，提高學(xué)生的知識遷移能力和解決問題的能力；也為接下 來學(xué)習(xí)新知知識起到鋪墊作用。該種導(dǎo)入方式不僅能增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，活躍課堂氣氛，達 到課未始，興已濃的效果，符合初中/高中數(shù)學(xué)課程

18、標(biāo)準(zhǔn)中“導(dǎo)入環(huán)節(jié)要啟發(fā)學(xué)生思考, 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)情感”的課程基本理念。案例中，X老師首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí) （具體知識點），通過學(xué)生的回答，檢驗之前知識的學(xué)習(xí)效果，通過提問啟發(fā)式問題, 引發(fā)學(xué)生的思考，最后引出新課課題，符合學(xué)生生理和心理發(fā)展的特點。（缺點）案例中X老師采用了直接導(dǎo)入,該種導(dǎo)入方式具有簡單直接，節(jié)省時間的特點，但 同時由于不能體現(xiàn)層層遞進式提出問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，進而引入新課的 特點。故違背了初中/高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“導(dǎo)入環(huán)節(jié)要啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興 趣，培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)情感”的課程基本理念。案例中，X老師直接提出 （概括材料）， 對學(xué)生的引導(dǎo)性思

19、考不足，很明顯不能引起學(xué)生共鳴，不符合學(xué)生生理和心理發(fā)展的特點。 類型二：從“教學(xué)方式”角度評析。優(yōu)點：（1）創(chuàng)設(shè)情境問題。案例中X老師創(chuàng)設(shè)了合適的教學(xué)情境，層層遞進式的提出問題，引 發(fā)學(xué)生的思考，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機。（2）多種教學(xué)方法融合。案例中X老師在教授 知識點的過程中，選擇講授法、提問法和小組討論法等多種方法進行教學(xué)，有利于學(xué)生更深入的理解和掌握知識，增加課堂的良好 師生關(guān)系，達到良好的教學(xué)效果。（3）教學(xué)評價是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分。評價的主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過 程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進教師教學(xué)。評價內(nèi)容多樣化。評價應(yīng)以課程目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)

20、學(xué)課程的基本理念，全面評 價學(xué)生在知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)。評價不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué) 習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展和變化。案例中X老師（概括材料），符合 要求。評價形式多樣化。應(yīng)采用多樣化的評價方式，恰當(dāng)呈現(xiàn)并合理利用評價結(jié)果，發(fā)揮評 價的激勵作用，保護學(xué)生的自尊心和自信心。評價促進教學(xué)。通過評價得到的信息，可以了 解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結(jié)與反思，調(diào)整和改進教學(xué)內(nèi)容與 教學(xué)過程。缺點：（1）案例中X老師在教授 知識點時，只采用了 （教學(xué)方法）這一種教學(xué)方法，雖然該種教學(xué)方法有（寫該方法的優(yōu)點），但是（寫該方法的缺點）， 而且只采用

21、一種教學(xué)方法，違背高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中多種教學(xué)方法相融合的課程基本理念， 不利于達到良好的學(xué)習(xí)效果。因此，應(yīng)當(dāng)予以修正。（2）案例中X老師在學(xué)生作答后，并沒有針對學(xué)生的表現(xiàn)給予及時評價，違背了義務(wù)教育/ 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的教學(xué)評價是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分。這樣不利于全面了解 學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進教師教學(xué)。類型三：從“師生角色”角度評析優(yōu)點：從教師角度分析：（1）首先，教師在教學(xué)過程中，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)和學(xué)生 的實際情況，確定合理的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計一個好的教學(xué)方案，起到良好的組織者作用，案例中， X教師（概括材料），符合了該原則：其次，教師在教學(xué)活動中，選

22、擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式， 因勢利導(dǎo)、適時調(diào)控、努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學(xué)習(xí) 活動，案例中，X教師（概括材料），符合了該原則；再次，在教學(xué)過程中，教師以平 等、尊重的態(tài)度鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，啟發(fā)學(xué)生共同探索，與學(xué)生一起感受成功和挫折、 分享發(fā)現(xiàn)和成果，案例中，X教師 （概括材料），符合了該原則。從學(xué)生角度分析：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，在積極參與學(xué)習(xí)活動的過程中不斷得到發(fā)展。學(xué)生 獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，可以通過接受學(xué)習(xí)的方式，也可以通過自主探索等方式；學(xué)生應(yīng)用知識并逐步形成技能，離不開自己的實踐。案例中，學(xué)生（概括材料），符合了該原則。缺點：【以上優(yōu)

23、點沒有體現(xiàn)的，就可以反過來作為缺點】案例分析一一考點3：錯誤歸因評析錯誤之處：具體哪一步錯誤，要具體指出來。錯誤原因：學(xué)生在解題的過程中（的解法）出現(xiàn)以上錯誤的，有以下幾個原因：學(xué)生在的過程中出現(xiàn)了 錯誤（概括材料）屬于知識方面的原因，是對的（概念不清，算理不明/ 口算不熟，筆算不準(zhǔn)） 在 的過程中出現(xiàn)了 錯誤（概括材料）屬于心理方面的原因，屬于一（感知比較粗略（粗心）/缺乏耐心/思維定式干擾）。案例分析考點4：改進建議如果我是該名教師，遇到這樣的情況我會進行如下的操作：（1）知識呈現(xiàn)的改進建議要認真分析學(xué)生出錯的原因，找準(zhǔn)錯誤的根源，對癥施教。加強（計算法則、運算順序、運 算律、運算性質(zhì)、公式、定理和性質(zhì)）的教學(xué)，理解（算理、推導(dǎo)過程）。因此我會向?qū)W生 提出：;。組織學(xué)生前后討論或獨立思考，利用課堂中的問題解 決學(xué)生的困惑。（2）教學(xué)方式的改進建議教師要認真研究學(xué)生，樹立正確的學(xué)生觀。由于 （本題知識點）在學(xué)生以往的學(xué)習(xí)中已 經(jīng)接觸，從而可以利用舊知引出新知，順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，并且重視創(chuàng)設(shè)情境和知識 總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)體系。（3）必要的鞏固練習(xí)最后在學(xué)生掌握該知識的基礎(chǔ)