第12節(jié)動量矩定理

1、第十二章 動量矩定理§121 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩一、質(zhì)點的動量矩質(zhì)點Q的動量對于點O的矩，定義為質(zhì)點對于點O的動量矩 動量矩的單位：kgm2/s二、 質(zhì)點系的動量矩 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。 §122 動量矩定理 一、質(zhì)點的動量矩定理 質(zhì)點的動量矩定理: 質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。直角坐標(biāo)投影式為特殊情形：當(dāng)質(zhì)點受有心力的作用時，如圖11-4所示，力矩，則質(zhì)點對固定點O的動量矩=恒矢量，質(zhì)點的動量矩守恒。例如行星繞著恒星轉(zhuǎn)，受恒星的引力作用，引力對恒星的矩，行星的動量矩=恒矢量，此恒矢量

2、的方向是不變的，因此行星作平面曲線運動；此恒矢量的大小是不變的，即mvh=恒量，行星的速度v與恒星到速度矢量的距離h成反比。例1如圖所示單擺，由質(zhì)量為的小球和繩索構(gòu)成。單擺懸吊于點O，繩長為，當(dāng)單擺作微振幅擺動時，試求單擺的運動規(guī)律。解：根據(jù)題意以小球為研究對象，小球受力為鉛垂重力和繩索拉力。單擺在鉛垂平面內(nèi)繞點O作微振幅擺動，設(shè)擺與鉛垂線的夾角為，為逆時針時正，如圖所示。則質(zhì)點對點O的動量矩為作用在小球上的力對點O的矩為 由質(zhì)點的動量矩定理得 （1）由于，則，又由于單擺作微振幅擺動，則從而由式（1）得單擺運動微分方程為 （2）解式（2）得單擺的運動規(guī)律為其中，稱為單擺的角頻率，單擺的周期為稱

3、為單擺的振幅，稱為單擺的初相位，它們由運動的初始條件確定。二、質(zhì)點動量矩守恒定理若作用質(zhì)點的力對某定點的矩恒等于零，則MO（mv）= 恒量Mz ( mv ) = 恒量dS/dt = 恒量 質(zhì)點在有心力作用下的面積速度定理 三、質(zhì)點系的動量矩定理n個方程相加后得投影式為四、質(zhì)點系動量矩守恒定理當(dāng)外力對某定點（或某定軸）的主矩（或力矩代數(shù)和）等于零時，質(zhì)點系對該點（或該軸）的動量矩保持不變。§123 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程§124 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 一、簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算均質(zhì)細(xì)直桿 均質(zhì)薄圓環(huán) Jz = mR2均質(zhì)圓板 二、慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑） 三、平行軸定理 &

4、#167;125 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系對于定點O的動量矩定理可寫成§126 剛體的平面運動微分方程例2 兩個鼓輪固連在一起的總質(zhì)量為M ，對水平轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量是JO；鼓輪的半徑分別為r1和r2。繩端懸掛的重物A和B質(zhì)量分別為M1和M2，且M1>M2。試求：（1）鼓輪的角加速度；（2）繩的拉力；（3）軸承O的反力。（軸承和繩重都不計）解 （1）求鼓輪的角加速度該系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸O的動量矩為 根據(jù)動量矩定理得（2）求繩的拉力（3）求軸承O的反力例3 如圖所示，飛輪以角速度繞繞軸O轉(zhuǎn)動，飛輪對軸O轉(zhuǎn)動慣量為，當(dāng)制動時其摩擦阻力矩為，其中，為比例系數(shù)，試求飛輪經(jīng)過多少時間后角

5、速度減少為初角速度的一半，在此時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：（1）求飛輪經(jīng)過多少時間后角速度減少為初角速度的一半飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動的微分方程為將摩擦阻力矩，代入上式有采用解微分方程的分離變量法，并積分解得時間為（2）求飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動的微分方程寫成為方程的兩邊約去，并積分 解得飛輪轉(zhuǎn)過的角度為 則飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)為 例4 高爐運送礦石用的卷揚機如圖，鼓輪的半徑為R ，質(zhì)量為m1 ，輪繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石總質(zhì)量為m2 。作用在鼓輪上的力偶矩為M ，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道的傾角為。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦都不計，繩索與斜面平行，求小車的加速度a 。解 取小車和鼓輪組成質(zhì)點系，此質(zhì)點系的動量矩為

6、外力對O軸的矩為由外力對O軸的動量矩定理解得 例5 均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量都為m，半徑都為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，直線繩段鉛垂，摩擦不計。求：（1）圓柱體B下落時質(zhì)心的加速度；（2）若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。解： （1） 取圓柱體B為研究對象 由剛體平面運動微分方程 （1） （2）對圓柱體A同樣有 可得 于是 聯(lián)立解得（2）對圓柱體A有 （3）對圓柱體B有 （4）圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上，即 則由式（3）和（4）得 再由 即故 例6 如圖a所示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為，長為，放在鉛直平面內(nèi)，桿的一端A

7、靠在光滑的鉛直墻壁上，桿的另一端B靠在光滑水平面上，初始時，桿AB與水平線的夾角，設(shè)桿無初速地沿鉛直墻面倒下，試求桿質(zhì)心C的加速度和桿AB兩端A、B處的約束力。解：根據(jù)題意，桿AB在鉛直平面內(nèi)作平面運動，其受力如圖b所示。建立桿的平面運動微分方程為 （1） （2） （3）由幾何條件得質(zhì)心的坐標(biāo)為 （4）并注意（即角速度方向與夾角增大的方向相反）。式（4）對時間求導(dǎo)，得 （5）其中轉(zhuǎn)動慣量。將式（5）代入（1）和式（2）并將式（1）、式（2）、式（3）聯(lián)立求解得桿AB的角加速度為 （6）對角速度作如下的變換為代入式（6），并積分得桿AB的角速度為 （7）將式（6）和式（7）代入式（5）得質(zhì)心加速度為 （8）則桿AB兩端A、B處的約束力為例7 均質(zhì)圓輪半徑為，質(zhì)量為，受輕微干擾后，在半徑為的圓弧軌道上往復(fù)無滑動的滾動，如圖所示，試求圓輪輪心C的運動方程，以及作用在圓輪上的約束力。解：由于圓輪作平面運動，輪心C作圓周運動，則在輪心C的最低點O建立自然坐標(biāo)系，并假設(shè)圓輪順時針方向為動量矩方程的正方向，坐標(biāo)及輪的受力如圖11-15所示。列圓輪平面運動微分方程為 （1） （2） （3）其中，輪心的加速度，轉(zhuǎn)動慣量。由于圓輪無滑動的滾動，其角速度為則角加速度為 （4）輪心C運動的弧坐標(biāo)為 （5）式（5）代入式（4）得 （6）式