高一必修一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見題型解法綜述

1、- - 抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下: 一、定義域問題例 1. 已知函數(shù))(2xf的定義域是1，2，求 f（x）的定義域。解:)(2xf的定義域是 1,2，是指21x,所以)(2xf中的2x滿足412x從而函數(shù)f()的定義域是 1，4評(píng)析：一般地 ,已知函數(shù))(xf的定義域是a,求 f(x）的定義域問題， 相當(dāng)于已知)(xf中的取值范圍為a，據(jù)此求)(x的值域問題。例 .已知函數(shù))(xf的定義域是21，求函數(shù))3(lo

2、g21xf的定義域。解 ：)(xf的 定 義 域 是21，,意 思 是 凡 被f 作 用 的 對 象 都 在21，中 ， 由 此 可 得4111)21(3)21(2)3(log11221xxx所以函數(shù))3(log21xf的定義域是4111 ，評(píng)析： 這類問題的一般形式是：已知函數(shù)(x）的定義域是a，求函數(shù))(xf的定義域。正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知)(x的值域，且ab,據(jù)此求 x 的取值范圍。例2 和例形式上正相反。- - 二、求值問題例3. 已知定義域?yàn)閞的函數(shù)(x） ,同時(shí)滿足下列條件：51)6(1)2(ff，；)()()(yfxfyxf

3、,求 (3）, (9)的值。解： 取32yx，,得)3()2()6(fff因?yàn)?1)6(1)2(ff，,所以54)3(f又取3yx得58)3()3()9(fff評(píng) 析 ： 通 過 觀 察 已 知 與 未 知 的 聯(lián) 系 ,巧 妙 地 賦 值 ,取32yx，,這 樣 便 把 已 知 條 件51)6(1)2(ff，與欲求的f（3）溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例 4. 設(shè)函數(shù)f（）定義于實(shí)數(shù)集上，對于任意實(shí)數(shù)、y,)()()(yfxfyxf總成立 ,且存在21xx，使得)()(21xfxf,求函數(shù))(xf的值域。解:令0yx，得2)0()0(ff,即有0)0(f或1)0(f

4、。若0)0(f,則0)0()()0()(fxfxfxf,對 任 意rx均 成 立 ， 這 與 存 在 實(shí) 數(shù)21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾 ,故0)0(f,必有1)0(f。由于)()()(yfxfyxf對任意ryx、均成立 ,因此，對任意rx，有0)2()2()2()22()(2xfxfxfxxfxf下面來證明，對任意0)(xfrx，- - 設(shè)存在rx0,使得0)(0 xf，則0)()()()0(0000 xfxfxxff這與上面已證的0)0(f矛盾，因此，對任意0)(xfrx，所以0)(xf評(píng)析： 在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要

5、手段。四、解析式問題例 5 設(shè)對滿足10 xx，的所有實(shí)數(shù)x,函數(shù))(xf滿足xxxfxf1)1()(，求 f(x）的解析式。解： 在)1 (1)1()(xxxfxf中以xx1代換其中 ,得：)2(12)11()1(xxxfxxf再在（ 1）中以11x代換 ,得)3(12)()11(xxxfxf)3()2()1(化簡得 :)1(21)(23xxxxxf評(píng)析 :如果把x 和xx1分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”,進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6設(shè)f(x ） 定 義 于 實(shí) 數(shù) 集 上

6、 ， 當(dāng)0 x時(shí) ，1)(xf,且 對 于 任 意 實(shí) 數(shù)x 、 y, 有- - )()()(yfxfyxf,求證 :)(xf在 r 上為增函數(shù)。證明 :在)()()(yfxfyxf中取0yx,得2)0()0(ff若0)0(f，令00yx，,則0)(xf,與1)(xf矛盾所以0)0(f,即有1)0(f當(dāng)0 x時(shí) ,01)(xf;當(dāng)0 x時(shí)，01)(0 xfx，而1)0()()(fxfxf所以0)(1)(xfxf又當(dāng)0 x時(shí)，01)0(f所以對任意rx,恒有0)(xf設(shè)21xx,則1)(01212xxfxx，所以)()()()()(11211212xfxxfxfxxxfxf所以)(xfy在上為增

7、函數(shù)。評(píng)析： 一般地 ,抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例 已 知 函 數(shù))0)(xrxxf，對 任 意 不 等 于 零 的 實(shí) 數(shù)21xx 、都 有)()()(2121xfxfxxf,試判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性。- - 解:取1121xx，得：) 1()1()1(fff，所以0)1 (f又取121xx得 :)1() 1()1 (fff，所以0)1(f再取121xxx，則)()1()(xffxf，即)()(xfxf因?yàn)?(xf為非零函數(shù)，所以)(xf為偶函數(shù)。七、對稱性問題例 8.

8、 已知函數(shù))(xfy滿足2002)()(xfxf,求)2002()(11xfxf的值。解 ： 已 知 式 即 在 對 稱 關(guān) 系 式bxafxaf2)()(中 取20020ba，,所 以 函 數(shù))(xfy的圖象關(guān)于點(diǎn)(，2 2）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系,知函數(shù))(1xfy的圖象關(guān)于點(diǎn) (2002，0）對稱。所以0)1001()1001(11xfxf將上式中的x 用1001x代換 ,得0)2002()(11xfxf評(píng)析 :這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè) a、b 均為常數(shù),函數(shù))(xfy對一切實(shí)數(shù)都滿足bxafxaf2)()(，則函數(shù))(xfy的圖象關(guān)于點(diǎn)(，）成中心對稱圖形。八、