初三數(shù)學(xué)典型例題及習(xí)題精選-人教版

1、初三數(shù)學(xué)：第七章 圓第一節(jié)：圓第二節(jié)：過(guò)三點(diǎn)的圓第三節(jié)：垂直于弦的直徑第四節(jié)：圓心角、弧、弦、弦心第五節(jié)：圓周角第六節(jié)：圓的內(nèi)接四邊形第七節(jié)：直線和圓的位置關(guān)系第八節(jié)：切線的判定和性質(zhì)第九節(jié)：三角形的內(nèi)切圓第十節(jié)：切線長(zhǎng)定理第十一節(jié)：弦切角第十二節(jié)：和圓有關(guān)的比例線段第十三節(jié)：圓和圓的位置關(guān)系第十四節(jié)：兩圓的公切線第十五節(jié)：相切在作圖中的應(yīng)用第十六節(jié)：正多邊形和圓第十七節(jié)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算第十八節(jié)：畫正多邊形第十九節(jié)：圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)第二十節(jié)：圓、扇形、弓形的面積第二十一節(jié)：圓柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖第一節(jié)：圓典型例題例 1（天津 2002 中考試題）、已知ab、cd是o 的兩條直徑，則四邊形ac

2、bd 一定是 ( ) （a）等腰梯形（b）菱形（c）矩形（d）正方形分析：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是圓的兩條直徑具備什么性質(zhì)，構(gòu)成特殊四邊形的條件. 解：ab 、 cd是o 的兩條直徑， ab=cd ，且ab 、cd互相平分，acbd一定是矩形 . 應(yīng)選（ c）. 說(shuō)明 ：鞏固圓的定義；研究特殊四邊形的頂點(diǎn)共圓問(wèn)題. 是圓與直線形知識(shí)的綜合. （此題適宜第一課時(shí)用）例 2、已知等腰直角三角形abc （如圖），試取斜邊ab上的一點(diǎn)為圓心畫圓，使點(diǎn)a、b、c 分別在所畫的圓內(nèi)、圓外和圓上分析： 確定一個(gè)圓有兩個(gè)條件：圓心和半徑，設(shè)選取圓心是點(diǎn)o，因?yàn)辄c(diǎn) c要在所畫圓上，所以oc即為所畫的圓的半徑（此題適宜第一課

3、時(shí)用）解： 作中線 cd ，則 ad=bd=cd，且 cd ab 在 ad上任取一點(diǎn) 0，連接 oc 以 0 為圓心， oc為半徑畫圓，這個(gè)0即符合要求這是因?yàn)閍o ad=cd oc (垂線段最短 ) ，所以點(diǎn) a在0 內(nèi)bo=bd+do=cd+do co( 三角形兩邊之和大于第三邊) ，所以點(diǎn) b在0 外說(shuō)明： 該題可以激發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)習(xí)興趣；在畫的過(guò)程中，復(fù)習(xí)和鞏固知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 例 3、判斷題（1）直徑是弦（）（2）弦是直徑（）（3）半圓是?。ǎ?）弧是半圓（）（5）長(zhǎng)度相等的兩段弧是等弧（）（6）等弧的長(zhǎng)度相等（）解（略）說(shuō)明： 通過(guò)原命題和逆命題的對(duì)比，深刻理解概

4、念. 另外這樣的題目很多，這里知識(shí)拋磚引玉. （此題適宜第二課時(shí)用）例 4、已知：如圖，兩同心圓的直徑ac 、bd相交于 o點(diǎn). 求證： ab=cd. 分析： 證aob cod即可 . 證明 ：兩同心圓的直徑ac 、bd相交于 o點(diǎn)，o 點(diǎn)為兩同心圓的圓心， oa=oc，ob=od ，又aob= codaob cod （ sas ）ab=cd.說(shuō)明 ：此題目不難， 但它是以“同心圓”為背景的，所以該題目重點(diǎn)不是證明過(guò)程，而是“同心圓”具備什么性質(zhì)和特征. （此題適宜第二課時(shí)用）習(xí)題精選習(xí)題 1：圓的有關(guān)性質(zhì)（1）（圓的概念、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系）1、以 2cm 為半徑可以畫 _個(gè)圓，以 o為圓心可

5、以畫 _個(gè)圓，以 o為圓心，以 2 為半徑可以畫 _個(gè)圓2、已知o的半徑為 5 cm，p 為一點(diǎn)，當(dāng)op 5 cm 時(shí)，點(diǎn) p在_；當(dāng) op_ 時(shí)，點(diǎn) p在圓內(nèi)；當(dāng)op大于5 cm 時(shí)，點(diǎn) p在_ 3、在abc中，c=90 ， ac=2cm ，bc=4cm ，cm是中線，以c為圓心，以cm長(zhǎng)為半徑畫圓，則對(duì)a、b、c、m四點(diǎn)在圓外的有 _，在圓上的有 _，在圓內(nèi)的有 _ 4、已知o的直徑是 6 cm，若 p 是o 內(nèi)部的一點(diǎn)，則op的長(zhǎng)度的取值范圍是( ). (a) op 6cm (b) (c) (d) 5、點(diǎn) p到圓上的最大距離為8cm，最小距離為6cm ，求o 的半徑，并說(shuō)明如何找最大距離

6、和最小距離. 6、以o 的半徑 oa為邊作正方形oabc ，求證點(diǎn) b 在圓外，點(diǎn) c 在圓上，兩對(duì)角線的交點(diǎn)m在圓內(nèi) . 習(xí)題 1 答案1、無(wú)數(shù)多，無(wú)數(shù)多，一個(gè)；2、圓上；圓外 . 3 、b，m ，a、c.4、c 5、解：如圖，連接 op ，直線 op交o 于 a、b ，設(shè) m是o 上異于點(diǎn) a和點(diǎn) b的一點(diǎn) . 連接 om 和 mp ，則有 pa=op+oa=op+ompm ，pb=ob-op=om-oppm 由此可以得知pa、pb表示點(diǎn) p到圓上的最大距離和最小距離. 方法一 設(shè)o 的半徑為 r，解得 r=7，即o 的半徑為 7cm. 方法二 設(shè)o 的半徑為 r，則有 2r 8+6，解得

7、 r=7 ，即o 的半徑為 7cm. 若點(diǎn) p在圓外，如圖，設(shè)圓的半徑為r ，則有 6 十 2r8，r 1，即圓的半徑為1 cm. 即o 的半徑為 1cm.故此圓的半徑為 7cm或 1 cm 6、解：如圖，設(shè)oa=r ，則 oc=r=ab=bc. 在 rtoab中，oc=r ，點(diǎn)c在圓上；，點(diǎn) b 在圓外；正方形對(duì)角線交于m ，點(diǎn) m在圓內(nèi)習(xí)題 2 圓的有關(guān)性質(zhì)（ 2）1、以點(diǎn) c 為圓心，任意畫三個(gè)圓，則它們是_圓. 2、一個(gè)圓的最大的弦長(zhǎng)為10cm ，則此圓的半徑為_(kāi). 3、如圖，則圖中有_條直徑，有 _條弦，以 a 點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有_個(gè)，劣弧有 _個(gè). 4、下列說(shuō)法正確的是（）（a）

8、兩個(gè)半圓是等?。╞）同圓中優(yōu)弧與半圓的差必為劣?。╟）同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必為劣?。╠）由弦和弧組成的圖形叫弓形5、如圖，已知：o中，a、b在圓上， am=bn 。求證：四邊形abnm 為等腰梯形6、求證：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦. 習(xí)題 2 答案1、同心 2 、5cm 3 、1，3，4，4 4 、b 5 （略）6、已知：如圖， ab 是o 的直徑， cd是非直徑的任一弦 . 求證： abcd. 證明：連結(jié)oc 、od 在odc中， oc+odcd，又 ab是o 的直徑， ab=co+odabcd.第二節(jié)：過(guò)三點(diǎn)的圓典型例題例 1、如圖，表示一塊破碎的圓形木蓋，確定它的圓心分析：根據(jù)“不在同一直線上

9、的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的原理可作出圓心作法： (1) 在弧上任取三點(diǎn)a、b 、c；(2) 連接 ac 、bc ；(3) 分別作 ac 、bc的中垂線 mn 、pq ，相交于點(diǎn) 0，點(diǎn) 0 即為所求圓心說(shuō)明：此題是最基礎(chǔ)的題目，主要培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力，學(xué)生必須落實(shí). 例 2、如圖，在 abc 中， bd 、ce為abc的中線，延長(zhǎng)bd到 f，使 df=bd. 延長(zhǎng) ce到 g ，eg=ce. 求證：過(guò) a、g 、f 三點(diǎn)不能作圓分析：只要證明點(diǎn)g 、a、f 三點(diǎn)共線即可證明：連接ag 、af、bg 、cf. ad=dc、 bd=df ，四邊形 abcf是平行四邊形故af bc.同理 agbc 是平行

10、四邊形，故ag bc.點(diǎn) g 、a、f 三點(diǎn)在同一直線上過(guò)點(diǎn) g 、a、f不可能作圓說(shuō)明：此題是小型一個(gè)綜合題，主要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 例 3、如圖，在梯形abcd 中，ab cd ， e 、f 分別是 ad 、bc的中點(diǎn)，連結(jié)ef求證：ef ab分析：對(duì)反證法思想的理解和基本步驟的掌握是解決本題的關(guān)鍵. 證明： ( 用反證法證明 ) 假設(shè) ef與 ab不平行，作 eg ab 交 bc于 g(如圖所示 )，則e 為 ad的中點(diǎn)， cg bg即 g是 bc的中點(diǎn)一條線段只有一個(gè)中點(diǎn)，f不是 bc的中點(diǎn)，這與已知條件矛盾因此假設(shè) ef與 ab不平行是錯(cuò)誤的， ef ab說(shuō)明：此題目的是理解和掌握

11、反證法的基本步驟，是初中應(yīng)用反證法證明的典例之一. 例 4、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角分析：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論，需要分類討論. 已知：在 abc中， ab=ac. 求證： a 、b為銳角 . 證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：(1) 兩個(gè)底角都是直角； (2) 兩個(gè)底角都是鈍角；(1) 由a= b=90 則a+ b+ c= a+90 +90180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，a= b=90 這個(gè)假設(shè)不成立. (2) 由 90b 180，90c 180，則 a+ b+ c180 ，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.兩個(gè)底角都是鈍角這個(gè)假設(shè)也不成立故原命題正

12、確等腰三角形的底角必定是銳角. 說(shuō)明：本例中“是銳角( 小于 90)”的反面有“是直角( 等于 90)”和“是鈍角（大于90)”兩種情況，這時(shí)，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確. 此題是對(duì)反證法的進(jìn)一步理解. 習(xí)題精選1、下列命題中正確的為（）（a）三點(diǎn)確定一個(gè)圓（b）圓有切只有一個(gè)內(nèi)接三角形（c）三角形的外心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)（d）面積相等的三角形的外接圓是等圓2、鈍角三角形的外心在（）（a）三角形的內(nèi)部（b）三角形的外部（c）三角形的鈍角所對(duì)的邊上（d）以上都有可能3、己知命題： (1) 三角形中最少有一個(gè)內(nèi)角不小于60； (

13、2) 三角形的外心到三角形各邊的距離都相等. 下面判斷中正確的是（）（a）命題 (1)(2)都正確（b）命題 (1) 正確， (2) 不正確（c）命題 (1) 不正確， (2) 正確（d）命題 (1)(2)都不正確4、用反證法證明ab 時(shí)，應(yīng)先假設(shè) _. 5、若一個(gè)圓經(jīng)過(guò)梯形abcd 的四個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)梯形是_梯形 . 6、已知直線a 和直線外的兩點(diǎn)a、b ，經(jīng)過(guò) a、b 作一圓，使它的圓心在直線a 上. 7、如右上圖，在 abc 中， d、e 兩點(diǎn)分別在 ab和 ac上，求證 cd 、be不可能互相平分. 參考答案： 1、c；2、b； 3、b； 4 、； 5 、等腰； 6、（略）； 7、提示

14、：應(yīng)用反證法（略）第三節(jié)：垂直于弦的直徑典型例題1、如圖，已知o的直徑 ab和弦 cd相交于點(diǎn) e ，ae=6cm ，eb=2cm ，bed=30 ，求cd的長(zhǎng). 分析要充分利用條件 bed=30 ，構(gòu)造出以弦心距、半徑、半弦組成的一個(gè)直角三角形，通過(guò)解直角三角形求得未知量 . 解過(guò) o作 of cd于 f，連結(jié) co ，ae=6cm ， eb=2cm ，ab=8cmoa=ab=4cm ，oe=ae-ao=2cm，在 rtoeb中， cea= bed=30 ，of=oe=1cm. 在 rtcfo中，of =1cm，oc oa 4cm ，cf=cm又of cd cd2cf 2cm答： cd的長(zhǎng)為

15、 2cm. 說(shuō)明：此題是利用垂徑定理的計(jì)算問(wèn)題. 在求有關(guān)弦心距、弦長(zhǎng)和半徑等問(wèn)題時(shí)，常常利用弦心距和半徑構(gòu)成直角三角形求解；另外此題若直接利用以后的“相交弦定理”來(lái)解，較為困難. 2、已知： abc 內(nèi)接于 o ， ab=ac ，半徑 ob=5cm ，圓心 o到 bc的距離為 3cm，求 ab的長(zhǎng)分析：此題沒(méi)有圖形，在解題時(shí)應(yīng)考慮到滿足條件的圖形，此題有兩種情況；利用條件構(gòu)造垂徑定理的基本圖形解題解：分兩種情況：（1）如圖，過(guò)a作 ad bc 于 d，又ab=ac ，點(diǎn)o在 ad上，od=3cm連結(jié)ob ，在 rtodb中，ob=5cm ，od=3cm ，由勾股定理，得，在 rtadb中，

16、ad=ao+od=5+3=8cm，由勾股定理，得，（cm）（2）如圖，同理可得：ab=（cm）說(shuō)明：此題的目的主要是培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形分析圖形數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題；作輔助線的能力3、在直徑為50cm的o 中，弦 ab=40cm ，弦 cd=48cm ，且 ab cd ，求： ab與 cd之間的距離 . 分析：此題沒(méi)有圖形，在解題時(shí)應(yīng)考慮到滿足條件的兩弦可能在圓心的同側(cè)，也可能在在圓心的兩側(cè)，即有兩解. 解：（略， 8cm，22cm ）說(shuō)明：此題的目的主要是培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形分析圖形數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題. 4、已知：如圖，ab是o 的直徑， cd是弦，ae c

17、d 于 e ，bf cd 于 f . 求證： ce=df ；oe=of 分析：本題的關(guān)鍵是作oh cd ，構(gòu)造垂徑定理的基本圖形解題，另外還用到平行線等分線段定理等. 證明：（一）過(guò)o作 oh cd 于 h，ae cd ，bf cdae oh bfao = boeh = hfoh cd 且 o為圓心 ch = hd ch eh = hdhf 即 ce = df eh = hf ，oh ef oh 是 ef的中垂線 oe = of . 證明（二）延長(zhǎng)eo交 bf于 g ，用三角形全等和直角三角形斜邊中線證明oe = of. 說(shuō)明：（ 1）此題展示構(gòu)造垂徑定理的基本圖形解題的基本方法；（2）讓幾何

18、動(dòng)起來(lái) . 引申：讓弦cd動(dòng)起來(lái)，與直徑ab不相交，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力. 5、如圖， f 是以 o為圓心， bc為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，a是的中點(diǎn)， ad bc 于 d ，求證： ad= bf. 分析：（方法一） 由于 a是的中點(diǎn)， 連結(jié) oa可構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，be=bf，ado beo ， 得 ad=be= bf. （方法二）如圖，補(bǔ)圓，延長(zhǎng)ad交o 于 e，造垂徑定理的基本圖形，問(wèn)題即可解決. 證明：（略）說(shuō)明：此題是垂徑定理的應(yīng)用為過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維. 第四節(jié)：圓心角、弧、弦、弦心典型例題例 1、如圖，已知：在o中，=2 ，試判斷 aob與co

19、d ， ab與 2cd之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由. 分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個(gè)三角形中. 解：aob=2 cod ， ab cc ，cc 2cd ，即ab0 ，說(shuō)明：添加輔助線，構(gòu)造直角三角形；構(gòu)成典型的雙垂直圖形，非常重要例 3、（陜西省， 2002）已知：如圖，bc為半圓 o的直徑， f 是半圓上異于b、c的一點(diǎn)， a 是的中點(diǎn)， ad bc 于點(diǎn) d，bf交 ad于點(diǎn) e（1）求證： be bf=bd bc ；（2）試比較線段bd與 ae的大小，并說(shuō)明道理分析：（ 1）連結(jié) fc，證bde bcf 即可；（ 2）要比較兩條線段的

20、大小，通常是把兩條線段轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形內(nèi)，利用大角對(duì)大邊來(lái)判斷證明：（ 1）連結(jié) fc，則 bf fc 在bde和bcf中，bec= edb=90 ，ebc= ebd ，bde bcf ，即 be bf=bd bc 解：（ 2）aebd ，連結(jié) ac 、ab，則bac=90 ， = ，1=2又2+abc=90 ，3+abd=90 ， 2=3，ae=be 在 rtebd中，bebd ，aebd 說(shuō)明：訓(xùn)練學(xué)生添加輔助線；第（2）小問(wèn)是教材p102 中 3 題的拓展例 4、（太原市， 2002）如圖，已知bc為o 的直徑， ad bc ，垂足為d，bf交 ad于 e，且 ae=bf （1）求證：=

21、 ；（2）如果 sin fbc=，ab，求 ad的長(zhǎng)解：（ 1）連結(jié) ac bc是o 的直徑， bac=90 ，又 ad bc ，垂足為d，1=3在aeb中， ae=be ，1=22=3，= （2）設(shè) de=3x，ad bc ，sin fbc=，be=5x ， bd=4x ae=be ，ae=5x ， ad=8x在 rtadb中，adb=90 ， ab，解這個(gè)方程，得 x=1 ，ad=8 說(shuō)明：此題是教材p102 中 3 題的變形；訓(xùn)練學(xué)生求線段長(zhǎng)度的方法：直接求和列方程求解習(xí)題精選1、o 的弦 ab等于半徑，那么弦ab所對(duì)的圓周角一定是（）（a）30（b）150（c）30或150（d）)60

22、2、abc中，b 90，以bc為直徑作圓交ac于 e，若 bc=12 ，ab=12，則的度數(shù)為（）（a）60（b）80（c）100（d）)1203、如圖， abc 是o 的內(nèi)接等邊三角形，d是 ab弧上一點(diǎn)， ab 與 cd交于 e 點(diǎn)，則圖中 60的角共有 ( )個(gè)（a）3 （b）4 （c）5 （d）6 4、如圖， abc 內(nèi)接于 o ，obc=25 ，則a的度數(shù)為（）（a）70（b）65（c）60（d）)505、圓內(nèi)接三角形三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的弧長(zhǎng)為3:4:5 ，那么這個(gè)三角形內(nèi)角的度數(shù)分別為_(kāi)6、如圖， ab是o 的直徑， cd ab 于 d，ad=9cm ，db=4cm ，求 cd和 ac的

23、長(zhǎng)7、 已知： 如圖， abc是o 的內(nèi)接三角形，o 的直徑 bd交 ac于 e， af bd于 f， 延長(zhǎng) af交 bc于 g 求證：參考答案和提示：1、c；2、a；3、b；4、b；5、45， 60，75；6、提示：連結(jié)bc ，構(gòu)成雙垂直三角形，由adc acb ，adc cdb得比例式，求得cd=6cm ，ac= cm7、提示：連結(jié)ad ，可證 c= d= bag ，abg cba即可第六節(jié)：圓的內(nèi)接四邊形典型例題例 1、圓內(nèi)接四邊形abcd 中，a 、b 、c的度數(shù)的比是327，求四邊形各內(nèi)角度數(shù)解：設(shè) a 、b 、c的度數(shù)分別為3x、2x、7xabcd是圓內(nèi)接四邊形 a +c=180

24、即3x+7x=180，x=18，a=3x=54 ，b=2x=36 ，c=7x=126 ，又b+ d=180 ，d=180 一 36144說(shuō)明：鞏固性質(zhì)；方程思想的應(yīng)用例 2、（ 2001 廈門市，教材p101中 17 題）如圖，已知ad是abc的外角 eac的平分線， ad與三角形 abc的外接圓相交于 d求證： db=dc 分析：要證db=dc ，只要證 bcd= cbd ，充分利用條件和圓周角的定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可解決證明： ad 平分eac ，ead = da c，ead為圓內(nèi)接四邊形abcd的外角， bcd= ead ，又cbd= dac ，bcd= cbd ，db=dc說(shuō)

25、明：角相等的靈活轉(zhuǎn)換，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)作橋梁例 3、 如圖，abc是等邊三角形， d是上任一點(diǎn)，求證：db+dc=da分析：要證明一條線段等于兩條線段的和，往往可以“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”法，本題兩種方法都可以證明證明：延長(zhǎng) db至點(diǎn) e，使 be=dc ，連 ae 在aeb和adc中，be=dc abc是等邊三角形 ab=ac 四邊形 abdc 是o 的內(nèi)接四邊形，abe= acd aeb adc aeb= adc= abc ade= acb ，又 abc= acb 60，aeb= ade=60 aed是等邊三角形， ad=de=db+bebe=dc ，db+dc=da說(shuō)明：本例利用“截長(zhǎng)”

26、和“補(bǔ)短”法證明培養(yǎng)學(xué)生“角相等的靈活轉(zhuǎn)換”能力在圓中，圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)構(gòu)成了角度相當(dāng)轉(zhuǎn)換的一個(gè)體系，應(yīng)重視習(xí)題精選1、已知 abcd是圓內(nèi)接四邊形，若a與c 的度數(shù)之比是12，則a的度數(shù)是 _度2、若 a，b，c，d 四點(diǎn)共圓，且 acd為 36，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)是_度3、圓內(nèi)接四邊形相鄰三個(gè)內(nèi)角的比是217，則這個(gè)四邊形的最大角的度數(shù)為_(kāi)度4、圓內(nèi)接平行四邊形一定是（）（a）矩形（b）正方形（c）菱形（d）梯形5、四邊形 abcd 內(nèi)接于圓，則 a 、b 、c 、d的度數(shù)比可以是 ( ) （a）1234（b）75108（c）131517（d）13246、若 abcd

27、為圓內(nèi)接四邊形， ae cd 于 e，abc=130 ，則 dae 為（）（a）50（b）40（c）30（d）207、如圖，圓內(nèi)接四邊形abcd 的一組對(duì)邊ad 、bc的延長(zhǎng)線相交于p，對(duì)角線 ac和 bd相交于點(diǎn) q，則圖中共有相似的三角形 ( ) （a）4 對(duì)（b）3 對(duì)（c）2 對(duì)（d）1 對(duì)8、如圖，已知：abcd 為圓內(nèi)接四邊形， （1）若 db ce ， 求證：ad bc=cdbe ； （2）若 ad bc=cdbe ， 求證：db ce 9、已知：o中，直徑 ab垂直弦 cd于 h，e是 cd延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ae 交o 于 f求證： afc= dfe 參考答案： 1、60；2、7

28、2；3、160；4、a；5、c；6、b；7、a；8、提示：連結(jié)ac ，證明 adc cbe 即可；9、（略）第七節(jié)：直線和圓的位置關(guān)系典型例題例 1、在 rtabc中，c=90 ， ab=4cm ，bc=2cm ，以 c為圓心， r 為半徑的圓與ab有何種位置關(guān)系？為什么？（1）r=1cm；（ 2）r= cm；（3）r=2.5cm 分析如圖，欲判定c與直線 ab的關(guān)系，只需先求出圓心c 到直線 ab的距離 cd的長(zhǎng)，然后再與r 比較即可解：過(guò) c 點(diǎn)作 cd ab 于 d，在 rtabc中，c=90 ， ab=4 ，bc=2 ，ac=2，ab cd=acbc ，（1）當(dāng) r =1cm 時(shí) cd

29、r ，圓 c與 ab相離；（2）當(dāng) r= cm 時(shí)，cd=r，圓 c 與 ab相切；（3）當(dāng) r=2.5cm 時(shí)，cd r ，圓 c與 ab相交說(shuō)明：從“數(shù)”到“形”，判定圓與直線位置關(guān)系例 2、在 rtabc中，c=90 ， ab=4cm ，bc=2cm ，以 c為圓心， r 為半徑的圓，若直線ab與c ，（ 1）相交；（ 2）相切；（ 3）相離求半徑r 的取值解：過(guò) c 點(diǎn)作 cd ab 于 d，在 rtabc中，c=90 ， ab=4 ，bc=2 ，ac=2，ab cd=acbc ，（1）直線 ab與c 相離，0 rcd，即 0rcd ，即r說(shuō)明：從“形”到“數(shù)”，由圓與直線位置關(guān)系來(lái)確

30、定半徑例 3、如圖，在直角梯形abcd中，ad bc ，c= d=90 ，若ab=6 ，ad=4 ，bc=2 ，試問(wèn)： dc上是否存在點(diǎn)p，使rtpbc rtapd ？分析：若 rtpbc rtapd ，則apd+ bpc=90 ，可知 apb=90 ，所以p點(diǎn)為以 ab為直徑的圓o與 dc的交點(diǎn)，由條件可知為o與 dc相切，所以存在一點(diǎn)p，使 rtpbc rtapd 解：設(shè)以 ab為直徑的圓為 o ，op dc ，則：op為直角梯形abcd 的中位線，op= （ ad+bc ） /2=（4+2）/2=3 ，又oa=ob=ab/2=3，op=oa，o與 dc相切，apb=90 ， apd+ b

31、pc=90 又 pbc+ bpc=90 ，apd= pbc ，又 c= d=90 ，rtpbc rtapd 因此， dc 上存在點(diǎn) p，使 rtpbc rtapd 說(shuō)明：直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用；此題目可以變動(dòng)數(shù)值，使dc與o 相交、相離習(xí)題精選（一）習(xí)題精選填空題：1、已知o的直徑為 12cm （1）若圓心 o到直線l的距離為 12cm ，則直線l與o 的位置關(guān)系為_(kāi)；（2）若圓心 o到直線l的距離為 6cm，則直線l與o 的位置關(guān)系為_(kāi)；（3）若圓心 o到直線l的距離為 3cm，則直線l與o 的位置關(guān)系為_(kāi)2、已知o的直徑為 10cm （1）若直線l與o 相交，則圓心o到直線l的距離為 _；

32、（2）若直線l與o 相切，則圓心o到直線l的距離為 _；（3）若直線l與o 相離，則圓心o到直線l的距離為 _3、兩個(gè)同心圓，大圓半徑r3 cm，小圓半徑r2 cm，d 是圓心到直線l的距離，當(dāng)d=2 cm ，l與小圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)， l與大圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)；當(dāng) d=2.5cm，l與小圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 _， l與大圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)4、過(guò)圓上點(diǎn)可以作圓的_條切線， 過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的_條切線， 過(guò)_點(diǎn)，不存在圓的切線解答題：5、已知o中的最長(zhǎng)的弦為8，當(dāng)圓心到直線l的距離 d 為何值時(shí)，直線l與o 相切、相離、相交? 6、在 rtabc中，c=90 ， ab=8cm ，bc=4cm ，以點(diǎn) c為

33、圓心，半徑分別為2cm和 4cm畫兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與ab有怎樣的位置關(guān)系 ?當(dāng)半徑多長(zhǎng)時(shí)，ab與o 相切 ? 7、已知：如圖，梯形abcd 中，ad bc ，c= d=90 ，切ad+bc=ab，ab 為o 的直徑，求證：o與 cd相切參考答案： 1、相離，相切，相交；2、大于 0 小于 5，等于 5，大于 5；3、一個(gè)，兩個(gè)；沒(méi)有，兩個(gè)；4、一條，兩條，圓內(nèi)；5、當(dāng) d =4 時(shí)，相切；當(dāng)d 4 時(shí)，相離；當(dāng)0 d 4時(shí)，相交6、提示：過(guò)點(diǎn)c作 cf ab 于 f，cf=2當(dāng) r =2cm時(shí) cfr ，圓與 ab相離；當(dāng) r=4cm 時(shí)， cfr ，圓與 ab相交；當(dāng) r=cf=2時(shí)，圓與

34、ab相切7、提示：過(guò)點(diǎn)o作 oe cd于 e ，利用梯形中位線可知，oe= （ad+bc ）/2=ab/2=oa，o 與 cd相切切點(diǎn)個(gè)數(shù)為6當(dāng) r 9 時(shí)，o 與abc不能相切，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為0第八節(jié)：切線的判定和性質(zhì)典型例題例 1、如圖， abc 內(nèi)接于大 o ，b c ，小o與 ab相切于點(diǎn) d求證： ac是小圓的切線分析 ac 與小o 的公共點(diǎn)沒(méi)有確定，故應(yīng)過(guò)o作 ac的垂線段 oe 再證明 oe等于小圓半徑，用“到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”來(lái)判定ac是小圓的切線證明連結(jié) od ，作 oe ac 于 e bc ，ab=ac 又 ab與o 小相切于 d，od ab oe ac ，

35、od=oe即小o 的圓心 o到 ac的距離等于半徑，所以ac是小圓的切線說(shuō)明 ：（1）本題為證明切線的兩個(gè)常見(jiàn)方法（連半徑證垂直；作垂直證半徑）之一；（2）本題為基本題型，但應(yīng)用到切線的性質(zhì)和判定；（3）本題為教材110 頁(yè)例 4 的變形題例 2、（大連市， l 999 ）閱讀：“如圖 abc 內(nèi)接于 o ，cae= b 求證： ae與o 相切于點(diǎn) a證明：作直徑af，連結(jié) fc，則acf 90 afc+ caf 90b afc b+ caf 90又 cae= b ， cae+ caf 90即 ae與o 相切于點(diǎn) a問(wèn)題：通過(guò)閱讀所得到的啟示證明下題( 閱讀題中的結(jié)論可以直接應(yīng)用) 如圖，已知

36、 abc 內(nèi)接于 o p是 cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)ap 且 pa2pb pc 求證： pa是o 的切線證明： pa2pb pc ，又 p= p ，pab pca pab= c 由閱讀題的結(jié)論可知，pa是o 的切線說(shuō)明 ：（ 1）此題的閱讀材料來(lái)源于教材第117 頁(yè) b 組第 1 題；（ 2）應(yīng)用“連半徑證垂直”證明切線例 3、（西寧， 1999）已知：如圖， rtabc 中，c=90 ，以ab為直徑的o交斜邊 ab于 e，od ab 求證：（ 1）ed是o 的切線；（ 2）2 de2be od證明：（ 1）連結(jié) oe 、ce ，則 ce ab 在 rtabc中，oa=oc，od ab ，d 為

37、 bc的中點(diǎn)， de=cd，又oc=oe， od=od，cod eod ，oed= ocd=90 ，ed是o 的切線（2）在 rtabc中，ce ab ，cbe abc ，cb2be ab ，od為abc的中位線， ab=2od， bc=2ed ，（ 2ed ）2be 2od即 2de2be od說(shuō)明： 此題為綜合題，主要應(yīng)用切線的性質(zhì)定理、判定定理、射影定理、中位線定理等知識(shí)習(xí)題精選1、下列說(shuō)法正確的是（d ）（a）若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)則直線是圓的切線（b）經(jīng)過(guò)半徑的外端的直線是圓的切線（c）和半徑垂直的直線是圓的切線（d）經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線，必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)2、若 cd是o 的切線，要判

38、定ab cd ，還需要添加的條件是（c ）（a）ab經(jīng)過(guò)圓心o （b）ab 是直徑（c）ab是直徑， b 是切點(diǎn)（d）ab是直線， b是切點(diǎn)3、下列直線，是圓的切線是（ d ）（a）經(jīng)過(guò)半徑外端的直線（b）垂直于半徑的直線（c）與圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線（d）圓心到它的距離等于這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)的直線4、兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm和 5cm，大圓的弦ab與小圓相切，則ab= _8_cm5、半圓圓心在rtabc的斜邊 bc上，且半圓分別切ab 、ac于 d、 e，ab=4cm ， ac=5cm ，則半圓的半徑為 _20/9_cm 解答題：6、如圖 ab是o 的直徑，點(diǎn)p在 ba的延長(zhǎng)線上，弦cd ab

39、 ，垂足為e且 pc2pe po 求證： pc是o 的切線（提示：連結(jié)co ，證pco pec ，即可）7、已知：如圖，ab是o 的直徑， ac l ，bd l ，c 、d是垂足，且ac+bd=ab求證： dc是o 的切線（提示：作oe cd ，證oe=1/2ab即可）8、已知： ab是半o 的直徑， ef切半圓于 c點(diǎn)，ae ef 于 e，bf ef 于 f 求證： ef2=4ae bf證明：連 ca ，cb ，oc ef 是切線， c 為切點(diǎn)， oc ef 是直徑ae ef ，bf ef ，ae oc bfoa=ob ，ce=cfab 是直徑，acb=90 1+2=90， 1+3=90，

40、2=3f=e=90 ， eac fcb =，ae bf=cf ec ，cf=ce= ef， ef2=ae bf ，ef2=4ae bf第九節(jié)：三角形的內(nèi)切圓典型例題例 1、如圖， abc 的內(nèi)心為 i ，外心為 o ，且bic=115 ，求 boc 的度數(shù)解：i 為abc的內(nèi)心，ibc=abc ，icb=acb ibc+icb=180 - bic=180 - 115=65abc+ acb=130 a=180 - （abc+ acb ）=50又 o是abc的外心， boc=2 a=100 說(shuō)明： （1）此題為基本題型；（2）此題可得： bic=90 +a ；boc=4 bic- 360例 2、已

41、知，在rtabc中，c=90 ， ab=5 ，ac=4 ，求直角三角形內(nèi)切圓的半徑的長(zhǎng)分析：利用分割三角形，通過(guò)面積建立含內(nèi)切圓半徑的方程求解解：由勾股定理得：連結(jié) oa 、ob 、oc ，設(shè)o 的半徑為 r ，則：，又，答：直角三角形內(nèi)切圓的半徑為1說(shuō)明 ：（ 1）此題為基本題目；（2）三角形內(nèi)切圓性質(zhì)的應(yīng)用，通過(guò)面積求線段的長(zhǎng)度例 3、（陜西省， 2001）如圖，點(diǎn)i 是abc的內(nèi)心， ai 的延長(zhǎng)線交邊bc于 d，交abc的外接圓于點(diǎn)e（1）求證： ie=be；（2）若 ie=4 ，ae=8 ，求 de的長(zhǎng)證明：（ 1）連結(jié) bi ，bie=bai+abi=（bac+ abc ），ibe

42、=ibc+ebc=abc+ eac=（abc+ bac ），bie=ibeie=be解：（ 2）i 是abc的內(nèi)心， bae= cae ，又dbe= cae ，bae= dbe ，又e為公共角，abe bde ，說(shuō)明 ：（1）本題應(yīng)用了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及判定、圓周角定理的推論、相似三角形等；（2）本題為教材 117 頁(yè) 12 題和 b 組第 3 題的變形與結(jié)合；（3）本題為中檔題習(xí)題精選選擇題：1、下列圖形中，一定有內(nèi)切圓的四邊形是（）（a）梯形（b）菱形（c）矩形（d）平行四邊形2、如圖，菱形abcd 中，周長(zhǎng)為40，abc=120 ，則內(nèi)切圓的半徑為（）（a）（b）（c）

43、（d）3、如圖，o 是abc的內(nèi)切圓， d、e、f 是切點(diǎn)， a=50 ，c=60 ，則 doe= （）（a）70（b）110（c）120（d）1304、等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓的半徑和高的比為（）（a）1（b）12（c）12（d）1235、存在內(nèi)切圓和外接圓的四邊形一定是（）（a）矩形（b）菱形（c）正方形（d）平行四邊形解答題：6、畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，在畫出它的內(nèi)切圓7、（山西省， 1998）如圖，已知點(diǎn)i 為abc的內(nèi)心，射線ai 交abc的外接圓于點(diǎn)d， 交bc邊于點(diǎn) e(1) 求證： id=bd ；(2) 設(shè)abc外接圓半徑 r=3，id=2，ad=x ，de=y

44、，當(dāng)點(diǎn) a在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)y 與自變量 x 間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍提示：（ 1）與典型例題2 一樣；（ 2）由，bdad 2r，自變量 x 的取值范圍是20 ，co=7 （ cm ）答：o 半徑為 7cm說(shuō)明：相交弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；作輔助線構(gòu)成基本圖形例 3、已知：如圖，在 abc 中，c=90 ， be是角平分線， de be 交 ab于 d ，o 是bde的外接圓。（1）求證 ac是o 的切線；（2）若 ad=6 ，ae=6，求 de的長(zhǎng)。證明（ 1）：連結(jié) oe be 是abc的平分線， 1=2，又bed= c=90 ， bce bed ，4=3，又oe=ob，1=

45、5，4+5=1+3=90，oe ac ，ac 是o 的切線（2）ae 是o 的切線， ae=6，ad=6 ，bd=ab -ad=12-6=6 aed= abe ，a= a ，aed abe ，設(shè) de=，be=2x ，得（負(fù)的舍去），說(shuō)明： 此題主要應(yīng)用：切線的判定定理，切割線定理、相似形以及勾股定理以及相似形；此題是與切割線定理有關(guān)的計(jì)算綜合問(wèn)題例 4、 如圖，pa切o 于 a ， 割線 pbc交o 于 b、 c兩點(diǎn)，d為 pc的中點(diǎn)，連 ad并延長(zhǎng)交 o 于 e， 已知：求證：（ 1）pa=pd ；（2）分析：（ 1）易證 pad= pda ；（2）關(guān)鍵在于利用線段之間的關(guān)系、等式性質(zhì)，證

46、出pb=bd 證明： (1) 連結(jié) ab 在dbe和b ae中 ，即，又bed= aeb ，dbe bae2=3pa 切o 于 a，1=e又pad= 1+2，pda= 3+e pad= pda ，pa=pd (2) 由切割線定理知，又 pa=pd ，pd=dc ，pb=bd 又 ( 相交弦定理 ) ，dc=2pb ，bd=pb ，說(shuō)明： 本題應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)有：切割線定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式性質(zhì)證明線段的中點(diǎn)習(xí)題精選1、在o 中，弦 ab與 cd相交于 e，ab=8 ，be=6 ，de=3 ，則 ce=_ 4_2、如圖， ab是半圓 o的直徑， cb切半圓于點(diǎn)b，ac交半圓

47、于 d，若 cd=1 ，ad=3 ，則o 的半徑的長(zhǎng)為（）3、 如圖，bc是o 的直徑， p是 cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， pa切o 于點(diǎn) a，如果 pa=，pb=1，那么 apc =_30_4、已知o的兩條弦 ad和 bc相交于點(diǎn) e，ab和 cd的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)p(1) 寫出圖中所有的相似三角形(2) 寫出圖中所有的成比例線段(3) 下列結(jié)論是否成立? pc dc pb ba ；de ce be ae ；de da be bc ；pd pc pb pa ；de ea eb ec 說(shuō)明：通過(guò)此練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相交弦定理和割線定理的理解，熟悉基本圖形的性質(zhì)解答題：5、已知：如圖，af是o 的直徑，弦bc

48、 af 于 d ，de ac 于 e求證：ec ac=df ad提示：由 ec ac=cd2，cd2=df ad 可證6、如圖， ab是o 的直徑， cd切o 于 d，交 ba的延長(zhǎng)線于c點(diǎn)，若 ca=1 ，cd等于半徑的倍，求 db長(zhǎng)提示：由切割線定理建立方程求出cd=，ab=2 ，又cad cbd ， 得 da:db=1:，應(yīng)用勾股定理建立方程可得db=第十三節(jié)：圓和圓的位置關(guān)系典型例題例 1、已知兩圓半徑之比是5:3 ，如果兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于6，問(wèn)當(dāng)兩圓的圓心距分別是24、5、20、0 時(shí)，相應(yīng)兩圓的位置關(guān)系如何? 解：設(shè)大圓半徑r=5x 兩圓半徑之比為5: 3 ，小圓半徑r=3x

49、，兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于6，5x -3x=6 ，x=3，大圓半徑r=15，小圓半徑 r=9 ，當(dāng)兩圓圓心距dl=24 時(shí)，有 dl=r+r，此時(shí)兩圓外切；當(dāng)兩圓圓心距d2=5 時(shí)，有 d2r-r, 此時(shí)兩圓內(nèi)含；當(dāng)兩圓圓心距d3=20 時(shí), 有 r-rd3r+r, 此時(shí)兩圓相交；當(dāng)兩圓圓心距d4=0 時(shí)，兩圓圓心重合，兩圓為同心圓說(shuō)明： 此題考察學(xué)生對(duì)兩圓位置的數(shù)量認(rèn)識(shí)與形象思維的聯(lián)想能力考察數(shù)形結(jié)合能力例 2、已知兩相交圓的半徑分別為5cm和 4cm，公共弦長(zhǎng)為6cm，求這兩圓的圓心距解：分兩種情況：（1）如圖 1，設(shè)o1的半徑為 r1=5cm ，o2的半徑為 r2=4cm圓心 ol，02在公

50、共弦的異側(cè)o1 o2垂直平分 ab，ad=連 o1a、o2a，則（cm）（2） 如圖 2，圓心 ol，02在公共弦 ab的同側(cè)，同理可求01d=4cm ，02d=（cm）（cm ）說(shuō)明： 此題為基本題目；此題未給出圖形，所以應(yīng)分兩種情況求解；若題中給出圖形，按已知圖形分析求解即可；若題中已知的相交兩圓是等圓時(shí)，兩相交等圓的圓心只能在公共弦兩側(cè)例 3、（武漢市， 2002）已知： 如圖，o 和o1內(nèi)切于 a，直線 oo1交o 于另一點(diǎn) b，交o1于另一點(diǎn) f，過(guò) b點(diǎn)作o1的切線，切點(diǎn)為d，交o 于 c點(diǎn)， de ab垂足為 e求證：(1)cdde ；(2) 若將兩圓內(nèi)切改為外切，其他條件不變，

51、(1) 中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論證明：（ 1）連結(jié) df、ad ，af 為o1的直徑， fd ad ，又de ab ，dfe= eda ，bc為o1的切線， cda= dfe ，cda= eda ，連結(jié) ac ，ab 為o 的直徑，ac bc ，又ad公共，rteda rtcda ，cd de （2）當(dāng)兩圓外切時(shí)，其他條件不變，(1) 中的結(jié)論仍成立證法同（1）說(shuō)明：此題應(yīng)用“如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上”、雙垂直、弦切角、全等三角形等知識(shí)；第（2）問(wèn)是開(kāi)放性問(wèn)題例 4、（寧波市， 2002）如圖， o 經(jīng)過(guò)o的圓心， e、f 是兩圓的交點(diǎn)，直線oo 交o 于點(diǎn) q 、d，交

52、o 于點(diǎn) p，交 ef于點(diǎn) c且 ef=，sin ope =(1) 求證： pe是o 的切線；(2) 求o 和o 的半徑的長(zhǎng)；(3) 點(diǎn) a在劣弧上運(yùn)動(dòng) ( 與點(diǎn) q 、f 不重合 ) ，連結(jié) pa交于點(diǎn) b，連結(jié) bc并延長(zhǎng)交 o 于點(diǎn)g ，設(shè) cg=x ，pa=y 求y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式證明：（ 1）連結(jié) oe ，op是o 的直徑，oep=90 ，pe 是o 的切線（2）設(shè)o 、o 的半徑分別r 、ro 與o 交于e、f，ef oo ，在 rteoc 、rtpoe 中，oec= ope sin oec= sinope=，sin oec=，即 r ，得 r=4 在 rtpoe中，sin

53、 ope=，r=8（3）按題意畫圖，連結(jié)oa ，oep=90 ，ce op ，pe2=pc po 又pe 是o 的切線， pe2=pb pa ，pc po=pb pa ，即，又 cpo= apo ，cpb apo ，bc=60/pa 由相交弦定理得bc cg=eccf ，bc=15/cg ，pa=4cg，即y=4x（）說(shuō)明：此題為綜合題目， 主要應(yīng)用： 切線的判定、 兩圓相交的性質(zhì)、 勾股定理、 三角函數(shù)、 切割線定理及相似形等知識(shí)習(xí)題精選1、如圖，直徑為10 的兩個(gè)等圓o1與o2相交于 a、b，公共弦 ab=8 由點(diǎn) o1向o2作切線 o1c，切點(diǎn)為 c，則 o1c的長(zhǎng)為 _ 2、如圖，兩個(gè)

54、等圓o1與o2外切，過(guò)點(diǎn)o1向o2作切線 o1a 、o1b，切點(diǎn)為 a、c，則a o1b=_3、已知，兩圓相切且半徑分別為3、5，則兩圓的連心線的長(zhǎng)為_(kāi)4、如圖，已知o1與o2相交于 a，b兩點(diǎn)，過(guò) a的直線交兩圓于c，d兩點(diǎn)， g為 cd的中點(diǎn)， bg及其延長(zhǎng)線交o1，o2于 e、f 兩點(diǎn)，連結(jié)df，ce 、求證： df=ce 說(shuō)明： 作公共弦，溝通兩圓的圓周角的關(guān)系是常作的輔助線5、如圖，o1與o2相交于 a，b，pe為o1的直徑 pa延長(zhǎng)線交o2于 c，pb交o2于 d，cd延長(zhǎng)線交 pe于 f求證：cf pe參考答案：1；2. ; 3. 8或 2. 4. 提示： 連結(jié) ab，c= ab

55、e ， abe= d ， 得c= d ， cg=dg，cge= dgf ，aeg deg ，df=ce 5. 證明：連結(jié)ab ，ae ，則c b ，b e 因?yàn)?pe是直徑，所以 pae=90 故 e+ epa=90 因此c+ epa=90 ，pfc=90 ，所以cf pe 第十四節(jié)：兩圓的公切線典型例題例 1、如圖，半徑分別為3、1 的o1與o2外切，一直線分別切它們于a、b，又交 o1o2于求：切線ab長(zhǎng)；c的度數(shù)分析： 首先想到切線性質(zhì)，故連結(jié)o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b一般要把它分解成一個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，再用其性質(zhì)解：（ 1）連結(jié) o1a、o2b，作 o2d ba 交

56、o1a于 d則得 rto2do1和矩形 ado2b ad=o2b=1，o1a=3 o1d=3-1=2 o1o2=3+1=4，ab= o2d=（2）由（ 1）知 o1d=2 ，o1o2=4，c= do2o1=30說(shuō)明： （1）求外公切線長(zhǎng)，應(yīng)用切線性質(zhì)、構(gòu)造三角形；（2）添加輔助線的方法例 2 如圖，o1、o2的半徑分別為4、5，o1o2=15，內(nèi)公切線ab交 o1o2于 c求：ab 長(zhǎng)；sin aco1的值解：（ 1）連結(jié) o1a、o2b，作 o1d ab 交 o2b延長(zhǎng)線于 d，則得 rto1do2，ao1db是矩形，o1d=4，o2b=5，o2d=5+4=9 ab= o1d=（2）由（ 1

57、）可知， sin aco1= sin o2o1d=說(shuō)明：（1）求內(nèi)公切線長(zhǎng)； （2）構(gòu)造三角形、矩形，應(yīng)用勾股定理、三角函數(shù)；（3）此題還可以通過(guò) ao1c bo2c，求出 o1a、o2b，在求得例 3、（福州市， 2002）已知：半徑不等的o1與o2相切于點(diǎn) p，直線 ab、cd都經(jīng)過(guò)切點(diǎn)p，并且 ab分別交o1、o2于 a、b兩點(diǎn)， cd分別交o1、o2于 c、d 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) a、b、c、d、p互不重合 ) ，連結(jié) ac和 bd （1）請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形；（2）根據(jù)你所畫的圖形，寫出一個(gè)與題設(shè)有關(guān)的正確結(jié)論，并證明這個(gè)結(jié)論( 結(jié)論中不能出現(xiàn)題設(shè)以外的其他字母) 解：（ 1）如圖所示（2）

58、第一個(gè)結(jié)論： ac bd 證明：過(guò) p作兩圓的公切線mn ，mpa= c ，npb= d mpa= npb ，c= d ，ac bd 第二個(gè)結(jié)論： apc bpd 證明：過(guò) p作兩圓的公切線mn ，mpa= c ，npb= d mpa= npb ，c= d ，又apc= bpd ，apc bpd 第三個(gè)結(jié)論： o1、p、o2三點(diǎn)共線（或連心線o1o2必過(guò)切點(diǎn) p）證明：圓是軸對(duì)稱圖形，相切的兩個(gè)圓也組成軸對(duì)稱圖形，連心線o1o2是兩個(gè)圓的對(duì)稱軸，o1、p、o2三點(diǎn)共線（或連心線o1o2必過(guò)切點(diǎn) p）說(shuō)明： 此題題型新穎，屬于開(kāi)放性題目，它源于教材p145 練習(xí)第 2 題；主要應(yīng)用分類思想，作圓

59、的公切線輔助線例 4、已知：如圖，o1與o2內(nèi)切于點(diǎn) p，過(guò)點(diǎn) p的直線交o1于點(diǎn) d，交o2于點(diǎn) e； da與o2相切，切點(diǎn)為c（1）求證： pc平分apd ；（2）若 pe=3 ，pa=6 ，求 pc的長(zhǎng)證明：（ 1）過(guò) p作兩圓的公切線pt ，tpc= 4，3=d 4=d+ 5，2+3=d+ 5，2=5又 da與o2相切于點(diǎn) c，5=1，1=2，即pc平分apd （2）da與o2相切于點(diǎn) c，pca= 4由（ 1）知1=2，pca pec ，即p e=3，pa=6 ，說(shuō)明： 此題主要應(yīng)用：切線的性質(zhì)、弦切角、相似形以及作輔助線的方法；此題得出1=2，在中考中是熱點(diǎn)題目習(xí)題精選1、兩圓的直

60、徑分別為3 和 4，這兩個(gè)圓的圓心距是5，這兩個(gè)圓最多可以有_條公切線2、兩圓外離，半徑分別為3 和 5，當(dāng)一條內(nèi)公切線與連心線所成的角為45時(shí)，內(nèi)公切線的長(zhǎng)為_(kāi)；圓心距為_(kāi)3、半徑為 16cm和 10 cm 的兩圓外切，作這兩圓的外公切線和內(nèi)公切線，則夾在兩條外公切線間的內(nèi)公切線的長(zhǎng)為_(kāi)4、兩圓的圓心距為13cm ，兩圓的半徑分別為7cm和 2cm，那么這兩圓的一條外公切線的長(zhǎng)為_(kāi)5、已知：o1和o2外切，外公切線與連心線的夾角為，且半徑分別為，則 =_度6、已知：o1和o2外切于 p 點(diǎn)， ab是外公切線，切o1于 a，切o2于 b，ap交o2于 c點(diǎn)， cd切o1于點(diǎn) d求證： cd=b