第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案

1、第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案一填空題（本題滿分15 分，共有 5 道小題，每道小題3 分） ，請(qǐng)將合適的答案填在空中1已知212xxfxf，則xf_2設(shè)xxxyarcsin12，則y_3設(shè)函數(shù)xyy由方程42ln2xyy所確定，則dxdy_4設(shè)xf為可導(dǎo)的奇函數(shù)，且50 xf，則0 xf_5函數(shù)22sinxxexfx在區(qū)間，上的最小值為_答案：3132312xx；xxxa r c si n122；2212yyx；5；1二選擇填空題（本題滿分15 分，共有5 道小題，每道小題3 分） 。以下每道題有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)選出合適的答案填在空中，多選無效1數(shù)列極限nnnnln1

2、lnlim是_ a1；b1；c；d不存在但非2函數(shù)xxxxxf322不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_a. 3 ；b. 2 ；c. 1 ；d. 0 3設(shè)xf可導(dǎo)且210 xf，則0 x時(shí)，xf在0 x點(diǎn)處的微分dy是_a.比x低階的無窮??；b.比x高階的無窮??；c.與x同階的無窮??；d.與x等價(jià)的無窮小4已知函數(shù)xf具有任意階導(dǎo)數(shù)，且2xfxf，則當(dāng)n為大于 2 的正整數(shù)時(shí)，xf的n階導(dǎo)數(shù)xfn為 _a.nxfn2!；b. 1nxfn；c. nxf2；d.1!nxfn5設(shè)2xxf，其中x在，上恒為正值，其導(dǎo)數(shù)x為單調(diào)減少函數(shù)，且00 x，則 _ a曲線xfy在點(diǎn)00 xfx，處有拐點(diǎn)；b0 xx是函數(shù)xf的極

3、大值點(diǎn)；c曲線xfy在，上是凹的；d0 xf是xf在，上的最小值答案：b；a；c；d；a三 （本題滿分6 分）設(shè)0ab，2aaf，求極限abafbfablnlnlim解：abababafbfabafbfabablnlnlimlnlnlimabababafbfabafbfababablnlnlimlimlnlnlim3aaaf，四 （本題滿分7 分）設(shè)axfxx0lim，極限xgxx0lim不存在，試問極限xgxfxx0lim是否存在？并證明之解：極限xgxfxx0lim不存在反證法：如果極限xgxfxx0lim存在，由極限axfxx0lim存在，可知極限xfxgxfxfxgxfxxxxxx00

4、0limlimlim存在， 即極限xgxx0lim存在， 這與題設(shè)中xgxx0lim不存在矛盾， 因此極限xgxfxx0lim不存在五 （本題滿分7 分）設(shè)1arccos1112xxaxbxxxf，試確定a、b之值，使得函數(shù)xf在點(diǎn)1x處連續(xù)解：bf1，01limlim0120101xxffxx，axaxffxxar c co slimlim010101，所以，由101ff，得0b；由101ff，得a因此，當(dāng)a，0b時(shí)，函數(shù)xf在點(diǎn)1x處連續(xù)六 （本題滿分8 分）設(shè)函數(shù)xyy由參數(shù)方程tytxcos12所確定，求22dxyd解：ttttdtdxdtdydxdy2sin2sin，dtdxdxdy

5、dtddxdtdxdydtddxdydxddxyd1223224c o ss i n21si nc o s21112si nttttttttttttdtdt七 （本題滿分8 分）求對(duì)數(shù)螺線e（由極坐標(biāo)方程給出）在點(diǎn)22，e處的切線的直角坐標(biāo)方程解：我們將其轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程sincosyx在本題中，轉(zhuǎn)換后的參變量方程為sincoseyex這時(shí)，我們將看作參變量，利用參變量方程的求導(dǎo)方法，我們有si nc o ssi nc o ssi nc o ssi nc o seeddxddydxdy當(dāng)2時(shí)，1sincossincos22dxdy，0cos22ex，22sin2eey因此，所求切線方程為012x

6、ey，即2eyx八 （本題滿分8 分）求曲線5412xxy的鉛直漸近線與水平漸近線解：由于0541limlim2xxyxx；所以，0y是曲線5412xxy的水平漸近線；由于541limlim211xxyxx，541limlim255xxyxx所以，1x與5x都是曲線5412xxy的兩條鉛直漸近線九 （本題滿分8 分）求數(shù)列nn322的最大項(xiàng)，321n （已知41.05 .1ln）解：設(shè)xxxf322x1，則23ln232xxxfx，令0 xf，得xf在，0內(nèi)的唯一駐點(diǎn)為9 .423ln20 x當(dāng)23ln21x時(shí)，0 xf；當(dāng)x23ln2時(shí)，0 xf所以23ln20 x是函數(shù)xxxf322在區(qū)間

7、x1上的極大值點(diǎn)， 也是最大值點(diǎn)由于59. 423ln240 x，且44232163244f，4323503255452ff，所以數(shù)列nn322的最大項(xiàng)為2438005f十 （本題滿分9 分）論證e與e的大小解：由于lneee，因此只需討論與lne的大小設(shè)xexxfln，則xexf1令0 xf，得函數(shù)xexxfln的駐點(diǎn)ex0由于02xexf，所以函數(shù)xexxfln在點(diǎn)ex0處取極小值0eeef由于點(diǎn)ex0是函數(shù)xexxfln的唯一極值點(diǎn)，因而也是函數(shù)xexxfln的最小值點(diǎn)因此當(dāng)ex時(shí)，0efxf因此由e，知0f，即0lne，或lne所以，lneee，即ee十一（本題滿分9 分）設(shè)函數(shù)xf在閉區(qū)間10，上可微， 對(duì)閉區(qū)間10，上的每一點(diǎn)x，函數(shù)xf的值都在開區(qū)間10，內(nèi)，且1xf證明：在開區(qū)間10，內(nèi)僅有唯一的一點(diǎn)x，使得xxf解：（存在性）：令xxfxf，則函數(shù)xf在閉區(qū)間10，上連續(xù)， 且當(dāng)10，x時(shí)，由10 xf，所以，0000ff，111ff因此由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，知至少存在一點(diǎn)10，x，使得0 xxfxf即至少存在一點(diǎn)10，x，使得xxf（唯一性）：若存在兩點(diǎn)1