數(shù)值分析試題卷與答案解析

1、數(shù)值分析試題填空題(2 OX 2')1.21，X2 設(shè)乂=是精確值x*=的近似值，則x有2有效數(shù)字。2.3.則 f20,21,22,23,24,25,26,27=若倫)=只x3 + 1 , f20,21,22,23,24,25,26,27,28=,II X | *II AX I *< 15 _。4. 非線性方程f(x)=O的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足|'(x)| <1，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。5. 區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)Sx)在a,b上具有直到 2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。6. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時，若所求節(jié)點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下

2、牛頓差商公式的 前插公式，若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)a(x)的特點(diǎn)是：ai(x) 1;所以i 0當(dāng)系數(shù) ai(x)滿足a(x>>1，計算時不會放大 f(x)的誤差。8. 要使20的近似值的相對誤差小于，至少要取4位有效數(shù)字。9. 對任意初始向量X?0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式 x(k+1)=Bxk)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是10. 由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是5。x012y=f(x)-

3、2-1211. 牛頓下山法的下山條件為 一|f(xn+1)|<|f(xn)|。12. 線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri = (bi-ai1x1-ai2x2- - -ainxn)/aii , (i=0,1，,n)o13. 在非線性方程f(x)=O使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點(diǎn) X0的選取依據(jù)為 f(xO)f”xO)>O。14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算。二、判斷題(1OXT)1、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX= b 一定可以使用高斯消元

4、法求解。(X )2、解非線性方程f(x)=O的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。( )3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naH aj (i 1,2,.,n)j ij i則解線性方程組AX = b的高斯塞德爾迭代法一定收斂。(X )4、樣 條 插 值 一 種 分 段 插 值 。()5、如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()6、從實(shí)際問題的精確解到實(shí)際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。( )7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX = b。(X )8迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后

5、一步迭 代 計 算 的 舍 入 誤 差。(X )9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差=舍入誤差。( )10、 插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。(X )、計算題(5X 10')1、用列主元高斯消元法解線性方程組。x1 x2x345x1 4x2 3x3122x1 x2 x3 11解答：（1，5 ，2）最大元 5 在第二行，交換第一與第二行：5x1 4x2 3x312x1 x2x342x1 x2 x3 11L21=1/5=,l31=2/5= 方程化為：5x1 4x2 3x3120.2x2 0.4x31.62.6x2 0.2x3 15.8（,

6、）最大元在第三行，交換第二與第三行：5x1 4x2 3x3122.6x2 0.2x3 15.80.2x2 0.4x31.6L32=方程化為：5x1 4x2 3x3122.6x2 0.2x3 15.80.38462x30.38466回代得：x1 3.00005x2 5.99999x31.000102、用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4（x）,并寫出其截斷誤差的表達(dá)式（設(shè)f（x）在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）。Xi012f(Xi)1-13f '(Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1F+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+

7、1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯一一 賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代 法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。2x1X2X41X1X35x46X24x3X48X13x2X33解答：交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu):2x1X2x41X13x2X33X24x3x48X1x3 5x4

8、6雅克比迭代公式:2x1X2x41X13x2X33X24x3x48X1x3 5x46計算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）數(shù)值分析試題、單項選擇題（每小題3分，共15分）x= -an x 10s(ai0）的絕對誤差x* -x (A)x 10 s-1 -t(B) x 10 s-t(C) x 10s+1-t(D)x 10 s+12.以下矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的為( )2100521012101410(A)(B),01211141001200121.已知準(zhǔn)確值 x*與其有t位有效數(shù)字的近似值5 2101 4212 1410 0 1242111410214113153.過(0, 1), (2, 4), (3, 1)點(diǎn)的

9、分段線性插值函數(shù)P(x)=()3x 10x2(A)23x 10 2 x 3(B)3x 10x223x2 10 2 x 33,x 10x 2(C)23x 102x 3(D)0x22x34.等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是()f (xk)-(yk yk 1)h1f 區(qū) 1)(yk yk 1)h1f (兀)-(ykyk 1)(A)h1 f (xk 1) (yk yk 1) h1f (xQ -( ykyk 1)(C)d(D)1f (xk 1)-(yk 1 yk)5解常微分方程初值問題的平均形式的改進(jìn)歐拉法公式是1yk i 2(yp yc)那么yp,yc分別為().(A)ypycykykhf (Xk,yQhf (X

10、k 1,yk)(B)YpYcYk hf (Xk 1, Yk)Yk hf(Xk,Yp)ypYkf(Xk,yk)YpYkhf(Xk,Yk)(C)(D)ycykf(Xk, Yp)YcYkhf (Xk 1, Yp)、填空題(每小題3分，共15分)6.設(shè)近似值 X1,X2 滿足 (xi)=,(X2)=，那么(X1X2)=.7三次樣條函數(shù) S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，&xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且滿 足S(x)在每個子區(qū)間Xk,xk+1上是.bnn8. 牛頓科茨求積公式f(x)dxAkf(xJ，則Ak =ak 0k 09. 解方程f(x)=O的簡單迭代法的迭代

11、函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂.10. 解常微分方程初值問題的改進(jìn)歐拉法預(yù)報一一校正公式是預(yù)報值： yk 1ykhf(xk,yk)，校正值：yk+1=.三、計算題(每小題15分，共60分)11. 用簡單迭代法求線性方程組8x-i3x22x3204x-i11x2X3336x13x212x336的X(3)取初始值(0,0,0)T，計算過程保留4位小數(shù).12. 已知函數(shù)值 f(0)=6 , f(1)=10, f(3)=46, f(4)=82 , f(6)=212,求函數(shù)的四階均差 f(0,1,3,4,6)和二 階均差f(4, 1, 3).3 213.

12、將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積分，1x2 dx，計算過程保留 4位小數(shù).114. 用牛頓法求115的近似值，取x=10或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù).四、證明題(本題10分)15. 證明求常微分方程初值問題y f(x, y)y(x。)y。在等距節(jié)點(diǎn)a=x0<X1<YXn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為hy(xk+1) yk+1 =yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)2其中 h=Xk+1 Xk(k=0,1,2, 1)計算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題答案一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. A 2. B二、填空題6. X2+3. A 4. B 5. D

13、（每小題3分，共15分）7.3次多項式X18. b a9.(x)r<1h10.yk+ - f (Xk, yk)f (xk 1, y k 1)hf(xk + 1,yk 1)（每小題11.寫出迭代格式（kX1（k二、計算題15分，共60分）i)i)1)0 0.375x2k)0.25x3k) 2.50.363 6x1k) 0 0.090 9x3k) 3(k)0.5x10.25x2k) 0 3X(0)=(0,0,0)T.X1xj0.3750.36360.5 00.25 0 2.50 0.0909 00.25 02.5得到 X(1) =, 3,(2)X1x22)(2)X33)t0 0.3753 0

14、.253 2.52.8750.363 62.5 00.090 93 32.363 70.5 2.50.25 31.000 0得到 X(2)=,7,(3)X1x23)(3)X30)T0 0.3750.363 6得到 X(3)= 4,6,2.363 70.25 12.53.136 42.87500.090 932.045 60.5 2.8750.252.363 730.971 66）T.12計算均差列給出.Xkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(4, 1,3)=613. f(x)= 1 X2 ,h=-8

15、0.25 .分點(diǎn) X0=, X1 = , X2=, X3=, X4=, X5=, X6=,X7=, X8=.函數(shù)值：f= 2, f= 8, f= 8, f= 6, f= 1, f= 2, f= 6, f= 2, f= 3.13hif(x)dx 2f(xo)f(X8)2(f(xJf(x2)f(X3)f(X4)f(X5)f(X6)f(X7) (9 分)= 0.25 X 2+ 3+2 X 8+ 8+ 6 2+ 1+ 2+ 6+ 2)=X 5+2 X 3)= 114.設(shè)x為所求，即求x2- 115=0的正根.f(x)=x2 115.因為 f (x)=2x, f (x)=2, f(10)f(10)=(1

16、00 115) X 2<0, f(11)f(11)=(121 115)X 2>0取 X0=11.有迭代公式115瓦")f (Xk)X2 115 XkXk+1=Xk=Xkf (Xk)2Xk211115X1= 32 2 1110.727 3115X2= 822 10.727 310.723 8115X3=22 10.723 8x* 8四、證明題(本題10分)15.在子區(qū)間xk+1,xk上，對微分方程兩邊關(guān)于x積分，得xk 1y(xk+1) y(xk)=f(x, y(x)dxxk用求積梯形公式，有y(xk+1)y(xk)= f (Xk, y(Xk) f (Xk 1,y(Xk 1

17、)2將 y(Xk),y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+1)yk+1=yk+ f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2，,n 1)2數(shù)值分析期末試題、填空題(21020 分)152(1)設(shè) A210，則A|13。3822x15x2102.5（2）對于方程組,Jacobi迭代法的迭代矩陣是 B.i10x14x232.503*1（3）'.X的相對誤差約是x的相對誤差的-倍。(4)求方程Xf （X）根的牛頓迭代公式是Xnf(Xn)。1f'(Xn)(5)設(shè) f(x) xX 1，則差商 f0,1,2,3(6)設(shè)n n矩陣G的特征值是則矩陣G的譜半徑

18、（G）max1 i n(7)1已知A02，則條件數(shù)Co nd （A）1(8)為了提高數(shù)值計算精度， 當(dāng)正數(shù)X充分大時，應(yīng)將 ln( x X21)改寫為 In (xx2 1)。(9)n個求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n 1次。(10)擬合三點(diǎn)(x1 , f (x1 ) , ( X2, f (X2),（X3,f（X3）的水平直線是y3i1f(Xi)。2x1X2X3二、（10分）證明：方程組 x1X2X1X2X32x311使用Jacobi迭代法求解不收斂性。證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為Bj0.50.50.50.5Bj的特征多項式為0.50.5det( I Bj)(21.25)0.

19、50.5Bj的特征值為10,.1.25i1.25i，故（Bj）. 1.25 > 1,因而迭代法不收斂性。三、（10分）定義內(nèi)積誤差平方和為30.000194(f,g)0 f(x)g(x)dx試在H 1 Span1, x中尋求對于f (x)x的最佳平方逼近元素P(x)。解：o(x)1，1(x)(0,0)1dx01xdx012，(1)dx13 ， ( 0，f)、:xdx0(i, f)1 x xdx o法方程1213CoCi解得C0415，C112。所求的最佳平方逼近元素為15p(x)"x，0x11515四、(10分)給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)

20、。解：y(x) C0“X C2X2 C3X31248501001111010034A 1000 ， ata100340111103401301248ATy(2.9,4.2,7,14.4)T法方程At Ac At y的解為 C00.4086， c10.39167，c20.0857，c30.00833得到三次多項式23y(x) 0.4086 0.39167x 0.0857 x0.00833x五. （10分）依據(jù)如下函數(shù)值表X0124f(x)19233建立不超過三次的Lagrange插值多項式，用它計算f（2.2），并在假設(shè)f（4）（x） 1下,估計計算誤差。解:先計算插值基函數(shù)(x 1)(x2)(

21、x4)(01)(02)(04)(x 0)(x2)(x4)(10)(12)(14)(x 0)(x1)(x4)(20)(21)(24)(x 0)(x1)(x2)(40)(4 1)(42)所求Lagrange插值多項式為3L3(x)f(Xi)li(x) l°(x)i 0l°(x)l1(x)l2(X)l3(x)2x21352x x x4424129l1(x)23l2(x) 3l3(x)11 3x445 2x4f (2.2) L3(2.2)25.0683。據(jù)誤差公式 R3（X）lx4!X°)(XX1)(xX2)(XX3）及假設(shè)f（x）1得誤差估計：R3（x）)4!(2.2

22、0)(2.2 1)(2.2 2)(2.24)-0.95040.03964!六. （10分）用矩陣的直接三角分解法解方程組1020x150101x231243X3170103X4710201010112112431 3101031 41由矩陣乘法可求出Uii和lii10201U22U23U24321U33U3442I431U441 1121 1 0 1131 I 321121l411 42l430 10 110 2 010 2 0U22 U23U 24U33U 34U44解下三角方程組1y1501y23121y3170101y47有 y15 , y23 , y36 , y44。再解上三角方程組5364得原方程組的解為x11 , x21 , X32 , X4七. （10分）試用Simpson公式計算積分2丄eXdx1的近似值，并估計截斷誤差。解：2 2 1&dx （e 右5 e020X1101x2 1X32