三角形中的不等式證明策略

1、三角形中的不等式證明策略涉及三角形的邊、角、面積等關(guān)系的不等式的證明策略可借助正 弦定理，余弦定理等等進(jìn)行等價(jià)變換，從而將不等式證明.一.借助余弦定理及面積公式的變換策略例1在aabc中，證明:亍+戸+。2»4忌,其中s表示aabc的面積.（weitzenbock不等式，第3屆/m0試題）證明：由于s = absinc ,2于是，只需證：a2 b -he2 >2v3absinc ,又 / = a2 +/?2 - 2ah cos c ,于是 2（a2 +/?2）-2（7/?cosc > 2y/3absinc ,艮卩 a2 +b2 > ab cos c + 3ab si

2、n c = 2ab sin（c + ）,因?yàn)?ovsin(c +蘭)51,6所以原不等式成立.二.借助正弦定理及三角公式的變換策略 例 2 在 aabc中,zc > 60°,證明：（& +方）（丄 + 丄 + -）>4 + -q b csin£2（1990年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選拔考試試題）證明：由正弦定理及三角公式，得(a + /?)( + + ) = (sin a + sin b)(h+)a b csin asin b sin c小 sin 4 +sin b sin b sin a=2 +sin c sin a sin b= 4+(sina-sinb)2+

3、sina + sinbsin asin bsinc?a + jb . o a b . a + b a b8 cos si rr 2sincos4_i22|22cos(a -b) cos(a + b) o . c c2 22 a + b 2人一b8 cos sinl-2sin22.csin 22 2 cos(a-b) + cosc1.csin2q 2 c 2 a b4 廠 8 sin*- cos + 2 sin2 - (2sirr2cos.c) sin 2因?yàn)樗詂os2a + b 7i<< 2 22 a + b . 9 c> cos= sirr 2 2注意到 zc >

4、60°，所以 8sin3- >1,2% 士 c？c 2 a-b . a-b . a-b . a-b . c故有 8 sin 一 cos2> cos2> cos> cos2sin 一244222(1)(2)(3)由,式,8 sin2 cos22 21° a _ b . 2 c . c cossinsin2 2 2>0,再代入（1）式，(q+ /?)( + + ) > 4 +a b csin 2三.借助三角恒等式的變換策略常用的三角恒等式，如在aabc中，a b b c c a atan tan + tan tan一 + tan tan =

5、1 ,2 2 2 2 2 2cos2 a + cos2 b + cos2 c + 2 cos a cos b cos c = 1 例 3 在 aabc 中,證明:a2 +/ +c2 > 4y3s + (a-h)2 +(/?-c)2 +(c-6z)2,其中s表示aabc的面積.（finsler-hadriger不等式） 證明：原不等式可化為：f 亡評(píng)+亡評(píng)沁,利用正切的半角公式，有atan =21 _ sin a _ / _ (b - c)2 _ a2 -(b- c)2 sin a 2bcsina4s同理噸if4sctan22 -(a-b)2""45現(xiàn)只需證：tana+

6、tan| + tan在abc中，有c2.tantan-atan tan + tan tan2atan + tan + tan =2 2 2(tan乩越+覽召2 2 22 a 2b 2cabbcc atan + tan f tan f 2 tan tan + 2 tantan f 2 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2、，a b b c ca b b c c ax> .(tan tan + tan tan f tan tan ) + 2(tan tan+ tan tan f tan一tan )v 2222222222223(tantan + tantan£ + t

7、an£tana)=73,2 2 2 2 2 2原不等式成立.四.借助正弦定理和余弦定理的變換策略例4在aabc中，求證:jsin asinb vsinbsinc vsincsina3羽c- + sin2a sin2b sin2（2005年江蘇省數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題）證明：由正弦定理和余弦定理,得vsinasinbvsinasinb 小 c 4ab r=2cos =2(1 + cosc)si,"dc2 c22ab + 2cibcosc _ j(q + b)，一 c?j(d + b + c)(d + bc) jo +/? + c (a + b c)由均值不等式，得c2(ab-c)&l

8、t; (+、+ 心-(、)3 = (£±±£)3,33a+b + c所以 jsinasinb3般(。+ /?-(?)sin-2同理 vsinbsinc33(b-be-a).a sin 2bsin2vsin c sin a3品(c + a - b)a +b + c以上三個(gè)不等式相加，得vsinasinb + vsingsinc + 皿eg n 3屁c sin2asm2b sin-2五.借助三角不等式的變換策略常用的三角不等式，如:在zviec中,31. cos a + cos b + cos c < .2c a b c、匚2l. tanf tanf

9、tan、u3 2 2 23.cosacosb cosc 5丄.8例 5 設(shè) a,b,c是 aabc 的三邊，求證 /(方 + c - a) + 貨(c + a - ) + /(a + b - c) 5 3abc .(第 6 屆 1m0 試題)證明：原不等式可化為:a(b? +c2 a2) + b(c2 +a2 -h2) + c(a2 +b2 c2) < 3abc , 即 2abc(cos a + cos b + cos c) < 3abc ,注意至lj cosa + cosjb + cosc < ，23故 a2(b + c-a) + h2(c + a-b) + c2(a + b-c) < 2abc - = 3abc 練習(xí)：1. 設(shè) q,b,c 是 aabc 的三邊長(zhǎng)，求證：abc > (b + c-a)(c + a-b)(a+b-c).(1983年瑞士奧林匹克數(shù)學(xué)