第十二章習題課09[1]610

1、1 1、五種標準類型的一階微分方程的解法、五種標準類型的一階微分方程的解法(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 形形如如解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法(2) 齊次方程齊次方程)(xyfdxdy 形如形如解法解法作變量代換作變量代換xyu 一、一階微分方程一、一階微分方程 主要內容主要內容(3) 一階線性微分方程一階線性微分方程)()(xqyxpdxdy 形如形如, 0)( xq當當齊次齊次, 0)( xq當當非齊次非齊次.解法解法齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxpcey（使用分離變量法）（使用分離變量法）非齊次微分方程的

2、通解為非齊次微分方程的通解為 dxxpdxxpecdxexqy)()()(（常數變易法）（常數變易法）(4) 伯努利伯努利(bernoulli)方程方程nyxqyxpdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n時時，當當1 , 0 n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時時，當當1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.解法解法 需經過變量代換化為線性微分方程需經過變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxqezydxxpndxxpnn(5) 全微分方程全微分方程形如形如0),(),( dyyxqdxyxp其中其中dyyxqdx

3、yxpyxdu),(),(),( 注意：注意：xqyp 全微分方程全微分方程解法解法應用曲線積分與路徑無關應用曲線積分與路徑無關. yyxxdyyxqxdyxpyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxpdyyxqxxyy 通解為通解為.),(cyxu 用直接湊全微分的方法用直接湊全微分的方法. 可化為全微分方程可化為全微分方程形如形如0),(),( dyyxqdxyxp).(xqyp 非全微分方程非全微分方程 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數數，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxqyxdxyxpyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),

4、(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.觀察法觀察法: :熟記常見函數的全微分表達式，通過觀察直接找出熟記常見函數的全微分表達式，通過觀察直接找出積分因子積分因子三種三種基本類型基本類型變量可分離變量可分離一階線性一階線性全微分方程全微分方程其余類型的方程可借助于變量代換或積分因子化其余類型的方程可借助于變量代換或積分因子化成基本類型成基本類型三種基本類型代表三種三種基本類型代表三種典型解法典型解法分離變量法分離變量法常數變易法常數變易法全微分法全微分法變量代換變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法1 1、可降階的高階微分方程的解法、可降階的高階微分方程的解

5、法)()1()(xfyn 型型解法解法接連積分接連積分n次，得通解次，得通解),()2(yxfy 型型特點特點. y不顯含未知函數不顯含未知函數解法解法),(xpy 令令,py 代入原方程代入原方程, 得得).(,(xpxfp 二、高階微分方程二、高階微分方程 ),()3(yyfy 型型特點特點.x不不顯顯含含自自變變量量,dydppy 解法解法),(xpy 令令代入原方程代入原方程, 得得).,(pyfdydpp 2 2、線性微分方程解的結構、線性微分方程解的結構（1 1）二階齊次方程解的結構）二階齊次方程解的結構: :)1(0)()( yxqyxpy形如形如也也是是解解則則是是解解若若22

6、1121,ycycyyy 是是通通解解則則是是兩兩無無關關解解若若221121,ycycyyy （2 2）二階非齊次線性方程的解的結構）二階非齊次線性方程的解的結構: :)2()()()(xfyxqyxpy 形如形如非齊方程的任兩解之差是相應齊方程的解非齊方程的任兩解之差是相應齊方程的解非齊通解非齊通解 = 齊通解齊通解 + 非齊特解非齊特解的的特特解解是是則則的的特特解解分分別別是是若若)()()()(),(,21212121xfxfxfyyyxfxfyy 3 3、二階常系數齊次線性方程解法、二階常系數齊次線性方程解法)(1)1(1)(xfypypypynnnn 形如形如n階常系數線性微分方

7、程階常系數線性微分方程0 qyypy二階常系數齊次線性方程二階常系數齊次線性方程)(xfqyypy 二階常系數非齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程解法解法由常系數齊次線性方程的特征方程的根確由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法.0 qyypy特征方程為特征方程為02 qprr 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 推廣：推廣： 階常系數齊次線性方程解法階常系數齊次線性方程解法n

8、01)1(1)( ypypypynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 ik復根重共軛若是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(111011104 4、二階常系數非齊次線性微分方程解法、二階常系數非齊次線性微分方程解法)(xfqyypy 二階常系數非齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程解法解法待定系數法待定系數法.型型)()()1(xpexfmx , )(xqexymxk 設設 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()

9、()2(xxpxxpexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 設設次多項式，次多項式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的單根時不是特征方程的根時iik二、典型例題二、典型例題例例1 求一微分方程使其通解為求一微分方程使其通解為321cxcxcy 解解 由由321cxcxcy 213)(cxcycx 求導得求導得13)(cycxy 再求導再求導0)(23 ycxyyycx 2再求導再求導22)(2)( 21yyyy 2)( 32yyy 例例2 2.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxy

10、xy 求通解求通解解解原方程可化為原方程可化為),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu 分離變量分離變量齊次方程齊次方程,cos2cossinxdxduuuuuu 兩邊積分兩邊積分,lnln)cosln(2cxuu ,cos2xcuu ,cos2xcxyxy 所求通解為所求通解為.coscxyxy 例例3 3.32343yxyyx 求通解求通解解解原式可化為原式可化為,32342yxyxy 伯努利方程伯努利方程,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原

11、式變?yōu)樵阶優(yōu)?3232xzxz ,322xzxz 即即一階線性非齊方程一階線性非齊方程對應齊方通解為對應齊方通解為,32cxz 利用常數變易法利用常數變易法,)(32xxcz 設設代入非齊方程得代入非齊方程得,)(232xxxc ,73)(37cxxc 原方程的通解為原方程的通解為.73323731xcxy 例例4 4. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解解解)2(3yxyyp ,64yx )3(422yxyxxq ,64yx )0( y,xqyp 方程為全微分方程方程為全微分方程.全微分方程全微分方程利用分項組合法求解利用分項組合法求解:原方程重新組合為原方程重新組合為, 01

12、)32(2423 dyydyyxdxyx, 0)1()(32 ydyxd即得即得故方程的通解為故方程的通解為.1232cyyx (2) 利用曲線積分求解利用曲線積分求解:,32422),()1 ,0(3cdyyxydxyxyx ,312142203cdyyxydxxyx 即即.113212cyxyxyy 故方程的通解為故方程的通解為.1232cyyx 例例5 5. 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解解解, 22 yyp, 22 xxq,xqyp 非全微分方程非全微分方程.利用積分因子法利用積分因子法:原方程重新組合為原方程重新組合為),(2)(22xdyydxdydxyx

13、 積分因子法積分因子法222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lncxyxyyx 故方程的通解為故方程的通解為.yxyxceyx 例例6 解方程解方程0)(22 ydydxxyx分析分析 本題看起來簡單本題看起來簡單 但具體求解時發(fā)現但具體求解時發(fā)現不是變量可分離不是變量可分離也不是齊次型也不是齊次型不是一階線性不是一階線性也不是全微分方程也不是全微分方程怎么辦？怎么辦？必須對方程進行必須對方程進行變形變形解一解一 分項組合分項組合0)()(22 ydyxdxdxyx0)(21)(2222 yxddxyx0)(22222 yxyxddxcyxxln)ln(222

14、通解為通解為xceyx222 解二解二 變量代換變量代換)(22xxydxdyy 令令uy 2)( 222xxudxdu 一階非齊次線一階非齊次線性微分方程性微分方程相應齊方程相應齊方程02 udxduxceu2 令令xexcu2)( xexxxc22)( 2)( cexxcx 22)(22xceux 222xceyx 例例7 設曲線積分設曲線積分 ldyxxxfdxxyf)(2)(2在右半平面內與路徑無關在右半平面內與路徑無關其中其中 f (x) 可導可導且且f(1)=1 求求f (x) 解解 由曲線積分與路徑無關的條件知由曲線積分與路徑無關的條件知)(2)(2xxxfxxyfy )(2)(

15、2)(2xfxxf xxf 即即1)(21)( xfxxf一階線性微分方程一階線性微分方程)32(1)(23xcxxf 代入代入f(1)=1 得得31 c故故213132)( xxxf例例8 解方程解方程0,0 xyxdxdy 并求此曲線并求此曲線 y = y (x) 和直線和直線 x = 0 ,x = 1 y=0所圍部分繞所圍部分繞 x 軸旋轉一周所成旋轉體軸旋轉一周所成旋轉體的體積的體積解解xdxdy cxy 221特解為特解為221xy 2021022102 dxxdxyv例例9 9.212yyy 求通解求通解解解.x方程不顯含方程不顯含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,

16、212ypdydpp ,112ycp 解得，解得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211cxycc 例例10 設二階非齊次線性方程的三個特解為設二階非齊次線性方程的三個特解為xxyxxyxycos,sin,321 求其通解求其通解解解 由解的結構知非齊方程的任二解之差是由解的結構知非齊方程的任二解之差是相應齊方程的解相應齊方程的解故故xyysin12 xyycos13 是齊方程的兩個解是齊方程的兩個解齊通解齊通解xcxcysincos21 且線性無關且線性無關非齊通解非齊通解xxcxcy sincos21例例1111. 1)1()1(,2 yyexe

17、yyyxx求特解求特解解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr對應的齊次方程的通解為對應的齊次方程的通解為.)(21xexccy 設原方程的特解為設原方程的特解為,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 則則,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比較系數得代入原方程比較系數得將將)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一個特解為原方程的一個特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexccy , 1)1( y, 1)31(21 ecc,6)1()(3

18、221xexxcccy , 1)1( y, 1)652(21 ecc,31121 ecc,651221 ecc由由解得解得 ,121,61221ecec所以原方程滿足初始條件的特解為所以原方程滿足初始條件的特解為.26)121(61223xxxexexexeey 例例12 設設 f (x) 具有連續(xù)的二階導數試確定具有連續(xù)的二階導數試確定f (x) 使曲線積分使曲線積分dyxfydxxfxfxelx)()()(2 )(常數常數 與路徑無關與路徑無關解解 由曲線積分與路徑無關的條件得由曲線積分與路徑無關的條件得)()(2)(xfxfexfx 即即xexfxfxf )()(2)(這是一個二階常系數

19、非齊次線性微分方程這是一個二階常系數非齊次線性微分方程齊通解齊通解xexccy )(21時時1 xexy 2*21xexxccxf )2()(221時時1 xey 2*)1(1 xxeexccxf 221) 1(1)()( 例例1313).2cos(214xxyy 求解方程求解方程解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 對應的齊方的通解為對應的齊方的通解為.2sin2cos21xcxcy 設原方程的特解為設原方程的特解為.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 設設,)(*1ay 則則, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，21

20、4 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 設設,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 則則,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 故原方程的通解為故原方程的通解為.2sin81812sin2cos21xxxxcxcy 例例1414.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表達式；的表達式；（）（），試求：，試求：的齊次方程有一特解為

21、的齊次方程有一特解為，對應，對應有一特解為有一特解為設設xfxpxxxfyxpy 解解（）由題設可得：（）由題設可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得解此方程組，得.3)(,1)(3xxfxxp （）原方程為（）原方程為.313xyxy ，的兩個線性無關的特解的兩個線性無關的特解程程是原方程對應的齊次方是原方程對應的齊次方顯見顯見221, 1xyy 是原方程的一個特解，是原方程的一個特解，又又xy1* 由解的結構定理得方程的通解為由解的結構定理得方程的通解為.1221xxccy 1. 已知函數已知函數 y(x) 滿足方程滿足方程 且當且當 x=1時，時， y

22、 = e2, 則當則當 x = -1時，時，y =( ) (a) 0 ( b) 1 (c) -1(d) e-1,lnxyyyx2. 已知方程已知方程 xy +y =4x 的一個特解為的一個特解為 x2,對應的齊次對應的齊次方程有一個特解為方程有一個特解為lnx, 則原方程的通解為則原方程的通解為( ). (a) c1lnx+c2+ x2 ( b) c1lnx+c2x+ x2 (c) c1lnx+c2 ex+ x2 (d) c1lnx+c2 e-x + x2補充練習補充練習3. 設線性無關的函數設線性無關的函數 y1 ,y2, y3都是方程都是方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x) 的的

23、 解解, c1,c2是任意常數是任意常數, 則方程的通解為則方程的通解為( ). (a) c1y1+c2y2+ y3; (b) c1y1+c2y2 (1 c1 c2 ) y3 (c) c1y1+c2y2 (c1 + c2 ) y3 (d) c1y1+c2y2+(1 c1 c2 ) y3 4. 若連續(xù)函數若連續(xù)函數f(x)滿足關系式滿足關系式 則則f(x)等于等于( ). (a)2ln)2()(20 xdttfxf2lnxe (b) (c) (d)2ln2xe2lnxe2ln2xeb5. 設設 f(x)具有二階連續(xù)偏導具有二階連續(xù)偏導,且且 f(0)=0, f (0)=1 為全微分方程為全微分方

24、程.求求f(x)及全微分方程的通解及全微分方程的通解.0)()()(2dyyxxfdxyxfyxxy2sincos2)()()(22 xxxxfxxfxfxqyp6. 函數函數 f(t)在在0,+ )上連續(xù)上連續(xù),滿足方程滿足方程 求求 f(t).dxdyyxfetftyxt22224224)21()(tttyxrdrrfrdrrfddxdyyxf202020422)21(2)21()21(22222424) 14()( ),(88)(ttetttfttftetf ,2sintanyxydydx .cos2cosycyx求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos

25、 例例7解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 解方程解方程2)(1yy 例例8 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 例例9 解方程解方程3)(yyy 積分得積分得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1例例10 解方程解方程 2 yy解解 令令 p y 2dppdx24dpdx 214()px c 12cxy 2231)(3

26、4ccxy 32251)(158cxccxy 12px c 04. 3costan. 23. 122 dyxxydxxxyyxyyxxxeyyyyyxxyyx2cos52. 603. 52. 4 練習：練習： 001.102. 92. 811. 72 kxfkxfxdydxyxydxdyyxy11 . 求連續(xù)函數 xfy 使適合關系式12.求微分方程0 yy積分曲線與直線y=x相切于原點o(0,0)13.1 xeyy的特解形式 013 xdtttyxyx14 .（1997數學1）在某地人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的，設該人群的總數為n，在t=0時刻已掌握新技術的人數為在任意時

27、刻t已掌握新技術的人數為x(t),其變化率與已知新技術人數和未掌握新技術的人數之積成正比，比例常數k0,求x(t)0 x. :1的的通通解解求求下下列列一一階階常常微微分分方方程程例例yedxdyx 21)1()1( .)2)(1( :,ln1ln2ln ,12 ,112 ,112 : :cexcxexdxedyexdxedyxdxedyyyyyyy即得通解即兩邊積分分離變量得解xyxedxdy2)2( .)412(ln ,)412(, , :2222cxeycxee dxxedyedxxedyexxyxyxy所以說求通解為即得通解方程化為分離變量解yyxyx 22 (3)(3). 0, 0(

28、 ,1 ,111 1,01,0 , , :222222222cxyxyxxcxuudxxduuuudxduxuxuudxduxuxdxduxudxdyxyuxyyxy 最最后后通通解解可可化化為為，取取負負）取取正正；得得積積分分化化簡簡即即時時當當時時當當于于是是則則令令原原方方程程可可寫寫為為解解0)sin( xdydxxxy (4)(4).cos(sin1sinsin1cxxxxycxdxeeyxyxdxdyxdxxdx , , 2 2, , , : :得得通通解解為為按按線線性性方方程程的的通通解解公公式式將將方方程程化化為為線線性性方方程程方方法法一一種種解解法法所所以以有有全全微微

29、分分方方程程也也是是方方程程可可化化為為線線性性方方程程解解.sincos ,)sin0( )sin(,.1 ,sin 00),()0,0(cxyxxxcxdydxxxcxdydxxxyxqypxqxxypxyyx 即即得得通通解解得得按按全全微微分分方方程程求求解解公公式式故故原原方方程程是是全全微微分分方方程程設設方方法法二二 ).1( , : )1( ycecdyyeecdyyeexyxdydxydyydydy所所以以原原方方程程可可寫寫為為解解0)( dxdyyx (5)(5)0)()1(32 dxxxydyx (6)(6)cyxxxdyxdxxxyxuxqypyx )1 ( )1 (

30、)(),( , 1 , 1 :4413310302由由通通解解公公式式所所以以因因為為方方法法一一解解.43 ,)( , 1)( ,1)( ,1 ),( ),(43 )()(),( , 43433232cyxxxyyyyxyxxyuyxyuyxxxyydxxxyyxuxxyxu 原原方方程程通通解解為為于于是是故故又又因因故故由由于于方方法法三三 ., 0)()()(, 0)(44133144133132cxxxyyxdxdxyddydxxdxxydxxdydy 從從而而原原方方程程的的通通解解為為即即原原方方程程可可寫寫為為方方法法二二.022222的的特特解解條條件件滿滿足足初初始始求求微

31、微分分方方程程例例 1 1) )( ( yxexyyyx ).12( , 1 ,)2().2( ,2 .2 , ,2 :222222221222222 xeyccxeycxecdxexeezxexzdxdzdxdyydxdzyzyxexyyxxxxdxxxdxxx所所以以所所求求特特解解解解得得代代入入初初始始條條件件因因此此所所以以從從而而則則令令原原方方程程可可寫寫為為解解)()()()(302xyxyxdtttyxyyx求求滿足滿足設設例例 , , ).1(2)( , 2 , 2)2( . 0)0(2)()( )( ),(2)( , 0)0( ,0 :22222222xxxxexycce

32、cdxexeyyxxxyxyxyyxyxxxyyx 所以所以又由初始條件得又由初始條件得按線性方程的通解公式按線性方程的通解公式的特解的特解滿足滿足是方程是方程因此因此對方程兩邊求導得對方程兩邊求導得有有時時當當解解 .,0)(tan)(2sin )(, 2)0(, )( 4解解并并求求此此全全微微分分方方程程的的通通分分方方程程是是全全微微使使試試確確定定且且具具有有連連續(xù)續(xù)的的導導數數設設例例 dyx ydxxxxxx,cos)cos2( 2sin)( ,2)0(,tan)(2sin)( )(,tan)(2sin)( : tantanxxccdxxeexxxxxxyxxxyxxxdxxdx

33、 由由線線性性方方程程通通解解公公式式有有滿滿足足即即充充要要條條件件使使方方程程為為全全微微分分方方程程的的解解 .2cos1 ,)cos2( ,cos20 0cos2)2sin(2, 0cos2)tancos22(sin , cos2)( 0,c 22 , 2(0) 200122222xcycyxcxdydxxdyydxxxdyydxxxxxxcxy 即即按全微分方程求解公式按全微分方程求解公式即：即：是全微分方程是全微分方程原方程原方程時時當當所以所以得得即即由于由于 . ., , p pq q q q, , , , 5 5求求此此曲曲線線方方程程軸軸平平分分恰恰被被且且線線段段軸軸的的

34、交交點點為為處處的的法法線線與與在在該該線線上上任任一一點點一一曲曲線線通通過過點點例例yxyxp),()3 , 2( .172 , 17, 3)2(,2 , 02 .)(01)0 ,( ,),(, )( :2222 xycycxyxyyxxyyxqyxpqpxyy故故所所求求曲曲線線方方程程為為解解得得代代入入分分離離變變量量積積分分得得即即，則則有有為為點點的的坐坐標標知知又又處處的的法法線線兩兩點點的的直直線線是是曲曲線線在在點點過過則則由由題題意意知知設設所所求求曲曲線線方方程程為為解解116 yxy ( (1 1) ): : 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解例例.2)( ,2

35、 , , , 111 ,1 , :22cxyxcxudxuduudxdudxdydxduyxu 故故得得積積分分得得即即于于是是則則令令解解2)( yexy (2)(2). ),1( , 12 , ,21,2 :2222xcxecxxcdxeeuuxdxdudyedueuexyexeyydxxdxxyyyyy 即即所所以以于于是是則則令令即即，原原方方程程可可化化為為解解).()()(1)(:, )()( )(, )( :72121為任意常數為任意常數方程的通解方程的通解必為該必為該證明證明相同的特解相同的特解的兩個不的兩個不是是設設例例cxycxcyyxqyxpyxyxy 的通解的通解必為方

36、程必為方程即即的通解的通解方程方程必為必為所以所以的一個特解的一個特解為非齊次方程本身為非齊次方程本身的非零解的非零解為方程對應齊次方程為方程對應齊次方程由條件知由條件知證明證明)()()()1()(,)()()()()(,)(, 0)()()( :21221221xqyxpyxycxcyyxqyxpyxyxyxycyxyyxpyxyxy ., 823221求求此此微微分分方方程程三三個個解解程程的的是是某某二二階階常常系系數數線線性性方方已已知知例例xxxxxxxeexeyexeyexey .22 .2 22 2)()()( , ).(2, , , :2xxxxxxxxxxxxxxxxxee

37、yyyxeexexeexeexexexexfxeyxfyyyxeee 因因此此所所求求微微分分方方程程是是得得代代入入上上式式將將故故此此方方程程是是解解是是非非齊齊次次方方程程的的一一個個特特且且線線性性無無關關的的解解是是相相應應齊齊次次方方程程的的兩兩個個與與由由題題設設知知解解3 (1) 9432xyyyx 求求解解下下列列高高階階微微分分方方程程例例 211431732313113133333432343733)( , ),( ,)(3)( ,3, , : ccxccxcdxcxxycxxdxdypcxxcdxexepxpxpdxdxpdxdpxpdxdpypydxdxxx 積積分分

38、后后得得既既有有方方程程故故即即則則原原方方程程化化為為令令解解yyyyy 22 (2)( ,ln ,)11( ,)( ),( , ,1, 0 , , :1121112111122cyececyxccyycdxcdycyydxcyydycyydxdypcyypydydpppypdydpypdydppyp , yxcxc 包包含含即即得得通通解解即即從從后后一一等等式式得得或或即即得得或或即即則則原原方方程程化化為為令令解解.21(2) , 0) 2( , 0 (3)2 yyyyxyx8ln)4ln(, 8ln , 0)2( ,)4ln( 42, 2, 21)2( ,22 ),2(1111)(,

39、 111, 1 , 0 , , : 2222212121111222 xycycxyxxdxdycyxcxdxdyxcxppxdxpdpxdxdppppxdxdppxpdxdpxdxdpypy所求特解為所求特解為得得代入代入所以所以，即即解得解得初始條件初始條件代入代入即即由求解公式得由求解公式得即，即，方程可化為方程可化為伯努利方程伯努利方程為為即即原方程化為原方程化為令令解解2)0(, 3)0(, 044 (1): 10 yyyyy方程方程解下列常系數線性齊次解下列常系數線性齊次例例.)83( ,8, 3, 2)0(, 3)0( ),22( ,)( , 2 , 044 :221212222

40、1212xxxexyccyyxccceyexccyrrrr 所求特解為所求特解為所以所以得得按初始條件按初始條件且且故通解是故通解是兩個特征根是兩個特征根是特征方程是特征方程是解解0256 (2) yyy).4sin4cos( ,43 , 0256 :2132, 12xcxceyirrrx 故特解是故特解是特征根是特征根是特征方程為特征方程為解解022 (3) yyyyxcxcecyirirrrrrrrxsincos , , 2 0) 1)(2(22 :3221321223 故故通通解解是是特特征征根根是是特特征征方方程程是是解解.sin)( )2( );21()( )1(:)(23 :112xxfxexfxfyyyx 的通解的通解求求例例).1( , 1 ,2122 21)()2()(,2)(,2)( )()(),( )21()( )1(. 023 :221*221 xxeececyyybaxbaxaxxqpxqaxqbaxxqbaxxxqbaxxeyxexfececyyyyxxxxxxx所所求求通通解解是是即即求求得得待待定定系系數數得得恒恒等等式式代代入入方方程程設設的的通通解解先先求求出出解解 ).2sin32(cos40141 .403,401,41 , 026,2162,212 ,2cos212122sin)26(2cos)62