第章動(dòng)量矩定理

1、1上海工程技術(shù)大學(xué)工程力學(xué)部上海工程技術(shù)大學(xué)工程力學(xué)部 劉立厚2 111 動(dòng)量矩動(dòng)量矩 112 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 113 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 114 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 115 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 習(xí)題課習(xí)題課第十一章第十一章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理3 物體物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)的量與受力之間的關(guān)運(yùn)動(dòng)的量與受力之間的關(guān)系系 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變動(dòng)量的改變外力外力(外力系主矢外力系主矢)若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，vC=0， 質(zhì)心

2、運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)外力（外力系主矢）外力（外力系主矢）物體物體移動(dòng)時(shí)移動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)中的量與受力之間的關(guān)系動(dòng)量定理。運(yùn)動(dòng)中的量與受力之間的關(guān)系動(dòng)量定理。F 動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。C0cmvp)(eFdtpd411 - 1動(dòng)量矩動(dòng)量矩一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩FrFMO)(zOzFMFM)()()(FMOxyzOyFxFFM)(yoxzBFr力對(duì)軸力對(duì)軸 z 的之矩：的之矩： 代數(shù)量A)(

3、FMO力對(duì)點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)O之矩在之矩在z軸上的投影：軸上的投影：kFMjFMiFMFMzOyOxOO)()()()(xyzyFxFFM)(力對(duì)點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)O之矩：之矩：zyxFFFzyxkji 代數(shù)量kzj yi xrkFjFiFFzyx)(kzj yi x)(kFjFiFzyx5zOzvmMvmM)()(質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸 z 的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩：代數(shù)量yoxzBvmrM質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩：之矩：)( vmMO)( vmMO)()()(kmvjmvimvkzj yi xvmMzyxOxyzOymvxmvvmM)(質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩在之矩在z軸上的投影：軸上的投影：kvmMjv

4、mMivmMvmMzOyOxOO)()()()(xyzymvxmvvmM)(單位：kg2/s。動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。vmrzyxmvmvmvzyxkji6二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩動(dòng)量矩：OLzOiizzLvmML )(質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸 z 動(dòng)量矩動(dòng)量矩：剛體動(dòng)量矩計(jì)算：剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體CCCOOvmrvmML)(Ciiiiivrmvmr)(CzzvmML剛體對(duì)軸剛體對(duì)軸 z 動(dòng)量矩動(dòng)量矩：,CivvCCvmriiCrmrmiiiiiOOvmrvmML)(iivm)

5、(OM)(OMiiivmr iiivmr 72定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 3平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體)(iizzvmML CCzzJvmML)(1平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體CCCOOvmrvmML)()(CzzvmML 平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。慣量與角速度的乘積。 平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平

6、動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。2iirmzJ8復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。yoxzBvmrM)( vmmO一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)一、質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O之矩：之矩：vmrvmMO)(質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸 z 的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩：xyzymvxmvvmM)(zOzvmmvmM)()(二、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)二、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩動(dòng)量矩：iiiiiOOvmrvmML)(剛體動(dòng)量矩計(jì)算：剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體CCCOOvmrvmML)

7、(2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 ziiiizzJrmvmML2)()(CzzvmML9223rvv3322221)(rvmmrJrJLOCOBOAOOLLLL11J解解：運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析例例1 滑輪滑輪A：m1，R，R = 2 r，J1 滑輪滑輪B：m2，r2，J 2 ；物體；物體C：m3 求系統(tǒng)對(duì)求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。P定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：A輪輪平動(dòng)：平動(dòng)：C物物平面運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)：B輪輪121R)(2222rvmJrvm3311JLAOrvmLCO33BOBOLrvmL223v2vC10Fdtvmd)(11-2動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理兩邊叉乘矢徑兩

8、邊叉乘矢徑 , 有有Fdtvmd)(r左邊可寫(xiě)成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()()()( ,)(FMvmMdtdFrvmrdtdOO 質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。故：rrFr , 0vmvvmdtrd而, )(FMFrO11若 ,將上式在通過(guò)固定點(diǎn)將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得)()( ),()( ),()(FMvmMdtdFMvmMdtdFMvmMdtdzzyy

9、xx 上式稱上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。若 ,0)(FMO則)( vmMO常矢量常量)( vmMz0)(FMz則12運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分析：mvlvmMO)(, , OMlv由動(dòng)量矩定理：由動(dòng)量矩定理：)()(FMvmMdtdOO , sin)(2mglmldtd微幅擺動(dòng)時(shí)，微幅擺動(dòng)時(shí)， , sinlgn202n 解微分方

10、程解微分方程,并代入初始條件并代入初始條件 則運(yùn)動(dòng)方程則運(yùn)動(dòng)方程)0, 0(00ttlgcos0，擺動(dòng)周期lgT2)()()(gmMFMFMOOO解解：研究對(duì)象：小球：研究對(duì)象：小球：例例2 單擺，已知單擺，已知m，l，t =0時(shí)時(shí) = 0，從靜止，從靜止 開(kāi)始釋放。開(kāi)始釋放。 求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。受力分析；受力分析；gmFFgmsinmgl即0sin lg 并令并令，則2ml13注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┽樲D(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。在質(zhì)

11、點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題。14 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而 ),(iiOOvmML)()()(eOeiOOMFMdtLd一質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理), 2 , 1( )()()()()(niFMFMvmMdtdeiOiiOiiO 對(duì)質(zhì)點(diǎn)

12、系，有對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有), 3 , 2 , 1( , )()()()()(niFMFMvmMdtdeiOiiOiiO 對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi ：)()()()( , ,)(ezzeyyexeixxMdtdLMdtdLMFMdtdL將上式在通過(guò)固定點(diǎn)將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得則,0)()(iiOFM15 上式稱為式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。一固定

13、軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒當(dāng)時(shí)，常矢量。當(dāng)時(shí)，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 定理說(shuō)明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改定理說(shuō)明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。16171819例例4 已知：物體已知：物體A重重=人人B重，人重，人B以相對(duì)繩速度上爬，以相對(duì)繩速度上爬，問(wèn)當(dāng)人問(wèn)當(dāng)人B向上爬時(shí)，物體向上爬時(shí)，物體A將如何運(yùn)動(dòng)？運(yùn)動(dòng)的速度多大？將如何運(yùn)動(dòng)？運(yùn)動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）（輪重不計(jì)）解：解： , 0)()(eOFMrvmAA2rAvv物物A與人與人B向上的絕對(duì)速度是一樣的向上

14、的絕對(duì)速度是一樣的,均為均為 。2vrvrvvmArB)(0rv系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。20解解: 研究對(duì)象：取整個(gè)系統(tǒng)研究對(duì)象：取整個(gè)系統(tǒng)rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOJrvgPrvgPL)2( , 2122PPPgrLrgPJBAOO得代入將由動(dòng)量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA例例3 已知: 輪為均質(zhì)圓盤(pán)，重。求 , , , BAPPrPOyOxBAFFPPP, 運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分析： 受力分析：受力分析：,APBPOxFOyFPrv vv21 11-311-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對(duì)于對(duì)于一個(gè)定

15、軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有zzJL )()(ezzMJdtd)(22)( ezzezzMdtdJMJ或剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解決兩類問(wèn)題解決兩類問(wèn)題：1)已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。2)已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。但不能求出軸承處的約束力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。222）若）若 常量，則常量，則 =常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。 特殊情況特殊情況：

16、1）若若 ,則則 恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn) 動(dòng)或保持靜止。動(dòng)或保持靜止。0)()()(ezezFMM, 0)(ezM)(ezzMJFam zJ 將將 與與 比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。2311-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定義一定義：若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則2iizrmJdmrJmz2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際

17、單位制中單位轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位kgm2 。24積分法積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用） 例例1 勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 。 求：求：1）對(duì)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ； 2）對(duì)）對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。zI zI二轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算二轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算222llzdxlmxJlzdxlmxJ02 解解：122ml3 2ml25例例2 勻質(zhì)細(xì)圓盤(pán)半徑為勻質(zhì)細(xì)圓盤(pán)半徑為R ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 。 求：求：1）對(duì)對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ；2）對(duì)）對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。OJxJdRmdJO222解

18、解：dOxyROdRmJ022222mRAyAxdARmxJdARmyJ,2222OAyxJdARmxyJJ222)(2/OyxJJJ42mRJJyx262. 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長(zhǎng)度由所定義的長(zhǎng)度 稱為剛體對(duì)稱為剛體對(duì) z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。軸的回轉(zhuǎn)半徑。mJzz2zzmJ 對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。轉(zhuǎn)半徑是相同的。z 在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何

19、形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書(shū)中列出幾種常見(jiàn)均質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書(shū)中列出幾種常見(jiàn)均質(zhì)剛體的，以供參考。剛體的，以供參考。zzJ和273. 平行移軸定理平行移軸定理同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。2mdJJzCz 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。28)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJdyyxxii

20、ii , iiiiiiymddmyxm2 )()(222證明證明：設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為的剛體，質(zhì)心為C，CzzO/ 2 0 , mdJJmyymmmzCzCiii例如例如，對(duì)于例對(duì)于例1中均質(zhì)細(xì)桿中均質(zhì)細(xì)桿z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2)2(lmJJzcz剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。122ml241ml231ml)(22dyxmJiiiz29當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分分(物體物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來(lái)就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。然后再加起來(lái)就

21、是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若若物體有空心部分物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理。4計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法盤(pán)桿OOOJJJ2131lm)423(213122221lRlRmlm解解：例例2 鐘擺：鐘擺： 均質(zhì)直桿均質(zhì)直桿m1, l ； 均質(zhì)圓盤(pán)：均質(zhì)圓盤(pán)：m2 , R 。 求求 JO 。2221Rm22)(Rlm301O例例 提升裝置中，輪提升裝置中，輪A、B的重量分別為的重量分別為P1 、 P2 ,可視為均質(zhì)可視為均質(zhì)圓盤(pán)圓盤(pán); 物體物體C 的重量為的重量為P3 ;輪輪A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求：。求： 物體物體C上

22、上升的加速度。升的加速度。(1) 21111211FrMrgP解解: 1 ) 輪輪A:1OX1OY1MF11P2 ) 受力分析受力分析:,F,1P,1MOOYX ,3 ) 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析:1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4 ) 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程:)(22)(1111 eOOeOOMdtdJMJ或 111FrMMO312 ) 輪輪B與物體與物體C：(2) )21(232232222rPrFvrgPrgPdtd補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件112222 ,rarvr化簡(jiǎn)(1) 得：化簡(jiǎn)(2) 得：33222PFagPPFrMagP1112gPPPPrMa22/321311(1) 21111211FrMrg

23、P解解: 1 ) 輪輪A:2OX2OYF23P2Pv2222212rgPLO23vrgP2322rPrFMO323平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體CCzzJvmML)()( FMLdtdOO三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理)( FMLdtdzz若 , 0)(FMO則OL常矢量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒.常量zL, 0)( FMz若則四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算桿桿投影式投影式12/2mlJCCzzAC3/2mlJAOxy22mRJC五、平行軸定理五、平行軸定理2mdJJzCz六、回轉(zhuǎn)半徑六、回轉(zhuǎn)半徑2mJC3311-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

24、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程一質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩一質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩)( rCCrCCOCOLLLvmrL 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種簡(jiǎn)單的關(guān)系簡(jiǎn)單的關(guān)系。)()( )(eCeiCrCMFMdtLd二質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理二質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。34三剛體

25、平面運(yùn)動(dòng)微分方程三剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系可以簡(jiǎn)化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形可以簡(jiǎn)化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于質(zhì)心一定位于S內(nèi)。內(nèi)。nFFF,21 取質(zhì)心取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為1） 隨質(zhì)心隨質(zhì)心C的平動(dòng)的平動(dòng) (xC , yC)2） 繞質(zhì)心繞質(zhì)心C的平轉(zhuǎn)動(dòng)的平轉(zhuǎn)動(dòng) （ ） 剛體的平面運(yùn)動(dòng)可通過(guò)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定剛體的平面運(yùn)動(dòng)可通過(guò)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)確定：理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)確定： CCrCCrCJ

26、JdtdLJL , )( , )(eCCCFMJFam35寫(xiě)成投影形式投影形式或或上式稱為上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)微分方程。)(,)(eCCyCxCFMJFymFxm )(,)(eCCyCyxCxFMJFmaFma)(,)(eCCynCCFMJFmaFma 36例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m半徑為半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為的均質(zhì)圓輪置放于傾角為 的斜面上，的斜面上，在重力作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)在重力作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為f、f ，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。解解：研究對(duì)象：研究對(duì)象：輪輪1s

27、insCFmgma2cos 0mgFN3RFJSC由由 2 式得：式得：4cosmgFS1 ，3兩式中含有三個(gè)未兩式中含有三個(gè)未知數(shù)知數(shù)aC 、F F、a ，需補(bǔ)，需補(bǔ)充附加條件。充附加條件。受力分析受力分析：運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析： aC y =0，aC x =aC， 一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。SNFFmg,平面運(yùn)動(dòng)微分方程：平面運(yùn)動(dòng)微分方程：NFSFCa37因?yàn)檩営伸o止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，故因?yàn)檩営伸o止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，故 0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。，輪沿斜面平動(dòng)下滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCS.sin31 ; sin32 ,sin32mgFgRgaSC2設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純

28、滾動(dòng)，所以可解得設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，所以可解得,raC3設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。F=f N，可解得可解得.cos ,cos2 ,)cos(sinmgfFRgfgfaSC輪作純滾動(dòng)的條件：輪作純滾動(dòng)的條件：.cossin31maxmgffFFmgFNSS.tg31f表明：當(dāng)時(shí)，解答表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用；適用； 當(dāng)時(shí)，解答當(dāng)時(shí)，解答2適用；適用；f =0 時(shí)解答時(shí)解答1適用適用。tg31ftg31f1設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。38一基本概念一基本概念1動(dòng)量矩動(dòng)量矩：某瞬時(shí)物體繞點(diǎn)某瞬時(shí)物體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)

29、弱的一種度量。2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。vmrvmMO)(iiiOvmrL 對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤(pán)（圓柱）對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤(pán)（圓柱）對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直 于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。第十一章動(dòng)量矩定理習(xí)題課第十一章動(dòng)量矩定理習(xí)題課395剛體動(dòng)量矩計(jì)算剛體動(dòng)量矩計(jì)算平動(dòng)：平動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：)( , CzzCOCOvmMLvmrLzzJLCCzzJvmML)( 二質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒二質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

30、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理)()( )()(FMvmMdtdFMvmMdtdzzOO或2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒1 ) 若 ，0)(FMO0)(Fmz)( vmMO)( vmmz平面運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)：2 ) 若 ，則 常量。則 常矢量。40三質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒三質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒1質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理)()()()()( )(ezezzeOeOOMFMdtdLMFMdtLd或2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒1 若，則常矢量2 若，則常量0)(eOM0)(ezMOLzL)( )( ezCzCeCCMdtdLMdtLd或四質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理四質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)

31、量矩定理41)( )(zFMJFMJzzz 或五剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程五剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程或xCxFmayCyFma)(FMJCCxCFxm yCFym )(FMJCC 42六動(dòng)量矩定理的應(yīng)用六動(dòng)量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問(wèn)題：（對(duì)單軸應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問(wèn)題：（對(duì)單軸傳動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）系統(tǒng)尤為方便）1已知質(zhì)點(diǎn)系的已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常

32、力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體 的角加速度或角速度的改變。的角加速度或角速度的改變。3已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù) 和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。43例例1 兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，可繞通過(guò)字型，可繞通過(guò)O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí)處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度形桿具有角速度 =4rad/s 。求該瞬時(shí)軸承。求該瞬時(shí)軸承O的反力。的反力

33、。解：解：一、一、“T ”字型桿字型桿 rad/s 20.752)( )(eOOFMdtdJ231mlJO四、由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程四、由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程二、受力分析：二、受力分析：,mg,mgOyOxFF ,三、運(yùn)動(dòng)分析：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、運(yùn)動(dòng)分析：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)lmglmgJO2 gmgmoxFoyFmgllmgFMeO5 . 0)()(2121ml2ml21217ml44五、由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得五、由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得OxxCxCFmama21yCyCmama21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221xCxCOxaamFN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.2

34、0 ( 88 . 982OyFlalatctc21,2OxCxFMaOyCyFMaoxFoyFmgmgFOy45例例2 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B的重量均為的重量均為P，半徑均為，半徑均為r，一繩纏在繞，一繩纏在繞固定軸固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計(jì)上，繩重不計(jì)且不可伸長(zhǎng)，不計(jì)軸且不可伸長(zhǎng)，不計(jì)軸O處處摩擦。摩擦。求：求：1 、圓柱圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度。下落時(shí)質(zhì)心的加速度。2、 若在圓柱體若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問(wèn)在什，試問(wèn)在什 么條件下圓柱么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。的質(zhì)心將上升。分析：

35、分析：1、A 圓柱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2、B 圓柱作平面轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱作平面轉(zhuǎn)動(dòng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解46二、圓柱二、圓柱B：)3(212rTrgPB)2(TPagPC運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：)4(BACrraTrrgPA221（1）解：一、圓柱解：一、圓柱 A：由1、3式得：BA, 52rgBAgaC54 代入3、4式得：47由動(dòng)量矩定理由動(dòng)量矩定理：rPMrgPrvgPrgPdtdBCA2)222(22補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：BACrra代入式，得grPrPMarPMargPargPCCC5)2(2 ; 222當(dāng)M 2Pr