建立數(shù)學模型

1、第一章部分習題3(5). 決定十字路口黃燈亮的時間長度.4. 在 1.3 節(jié)“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎” 的假設條件中， 將四角的連線呈正方形改為長方形，其余不變，試構造模型并求解.5. 模仿 1.4 節(jié)商人過河問題中的狀態(tài)轉移模型， 作下面這個眾所周知的智力游戲： 人帶著貓、雞、米過河，船除希望要人計劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當人不在場時貓要吃雞、雞要吃米，設計一個安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少.6. 利用 1.5 節(jié)表 1 和表 3 給出的 1790-2000 年的美國實際人口資料建立下列模型：(1) 分段的指數(shù)增長模型 . 將時間分為若干段，分別確定增長率r.(2) 阻

2、滯增長模型 . 換一種方法確定固有增長率r 和最大容量xm .7. 說明 1.5 節(jié)中 Logistic 模型（ 9）可以表示為 x txm，其中 t0 是人口增長出現(xiàn)er t t01拐點的時刻，并說明t0 與 r， xm 的關系 .8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻t 的人口為 x(t) ， t 到 t+ t 時間內(nèi)人口的增量與xm-x(t) 成正比（其中為 xm 最大容量） . 試建立模型并求解 . 作出解的圖形并與指數(shù)增長模型、阻滯增長模型的結果進行比較 .9(3). 甲乙兩站之間有電車相通， 每隔 10 分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車， 但發(fā)車時刻不一定相同。甲乙之間一中間站丙， 某人

3、每天在隨機的時刻到達丙站， 并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結果發(fā)現(xiàn) 100 天中約有 90 天到達甲站， 約有 10 天到達乙站。 問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時刻表是如何安排的。參考答案3(5). 司機看到黃燈后停車要有一定的剎車距離s1 ，設通過十字路口的距離為s2 ，汽車行駛速度為 v ，則黃燈的時間長度t 應使距停車線s1 之內(nèi)的汽車能通過路口，即ts1s2v其中 s1 可由試驗得到，或按照牛頓第二定律解運動方程，進一步可考察不同車重、不同路面及司機反應靈敏程度等因素的影響.4. 相鄰兩椅腳與地面距離之和分別定義為節(jié)相同 .f和 g，將椅子旋轉 180，其余作法與1.35. 人、貓、雞

4、、米分別記為i1,2,3,4 ，當 i 在此岸時記xi1，否則記 xi0 ，則此岸的狀態(tài)可用 sx1 , x2 , x3, x4表示。 記 s 的反狀態(tài)為 s'1 x1,1x2 ,1 x3 ,1x4，允許狀態(tài)集合為 S1,1,1,1 ,1,1,1,0 , 1,1,0,1 , 1,0,1,1 , 1,0,1,0及他們的5 個反狀態(tài)決策為乘船方案，記作du1 ,u2 , u3 , u4 ，當 i 在船上時記 ui1，否則記 ui0，允許決策集合為 D1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 , 1,0,0,0記第k 次渡河前此岸的狀態(tài)為sk ，第k 次渡河的決策為dk ，則狀

5、態(tài)轉移律為sk 1sk1 k dk ，設計安全過河方案歸結為求決策序列d1 , d 2 ,dnD ,，使狀態(tài)skS 按狀態(tài)轉移律由初始狀態(tài)s11,1,1,1經(jīng) n 步達到sn 10,0,0,0。一個可行的方案如下：k12345678sk1,1,1,10,1,0,11,1,0,10,1,0,01,1,1,00,0,1,01,0,1,00,0,0,0d k1,0,1,01,0,0,01,0,0,11,0,1,01,1,0,01,0,0,01,0,1,06(1).分段的指數(shù)增長模型根據(jù) 1.5 節(jié)表 3 中的增長率將時間分為三段：1790 年至 1880 年平均年增長率2.83%；1890 年至 1

6、960 年平均年增長率1.53%；1970 年至 2000 年平均年增長率1.12% .三段模型為（1790 年為 t=0 ，1880 年為 t=1 ， ? ）x1(t)=3.9e 0.283t ， t=0,1, ?,10x2(t)= x1(10) e0.153(t-10)， t=11,12,?,18x3(t)= x2(18) e0112(t-18)， t=19,20,?,226(2).阻滯增長模型可以用實際增長率數(shù)據(jù)中前5 個的平均值作為固有增長率r，取某些專家的估計400百萬為最大容量xm，以 1790年的實際人口為 x0，模型為1.5 節(jié)的 (9)式。以上兩個模型的計算結果見下表：年17

7、901800181018201830184018501860實際人口3.95.37.29.612.917.123.231.4模型（ 1）3.95.26.99.112.116.121.328.3模型（ 2）3.95.27.09.412.616.722.229.3（續(xù)表）年18701880189019001910192019301940實際人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7模型（ 1） 37.549.866.177.089.7104.6121.9142.0模型（ 2） 38.449.964.181.2101.3124.1149.0174.9（續(xù)表）年195019601970198019902000實際人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型（ 1）165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型（ 2） 200.9225.8248.6268.7285.9300.17.注意到 t=t0 時 xxm , 立即可得2xmx( t)1( xm1)e rtx0，且 t01xmx0， x txmlnx01 er t t 0.r8.dxr xmx ,dtx 0x0 ,其中 r 為比例系數(shù)。解上述初值問題得:x txxx0ertmm，