數(shù)值分析第五插值法

1、1第五章第五章 插值法插值法 Lagrange插值插值 Newton插值插值 Hermite插值插值2 為什么需要插值為什么需要插值? 函數(shù)表達式復雜函數(shù)表達式復雜, 不便于計算和進行理論分析不便于計算和進行理論分析; 沒有函數(shù)表達式?jīng)]有函數(shù)表達式, 只給出離散樣點只給出離散樣點. 找簡單函數(shù)近似找簡單函數(shù)近似, 即函數(shù)逼近即函數(shù)逼近. 函數(shù)逼近常用方法函數(shù)逼近常用方法: 插值法插值法, 曲線擬合法曲線擬合法. 插值法插值法: 多項式插值多項式插值, 三角多項式插值三角多項式插值.3 已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間 a, b上上 (n+1) 個不同點個不同點 x0, x1, x2,

2、, xn 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 yi= f (xi) (i=0, 1, 2, n), 求函數(shù)求函數(shù) n(x), 使其滿足使其滿足(1) n(x)為至多為至多n次多項式次多項式, 即即(2) 滿足插值條件滿足插值條件nnnxaxaxaax 2210)( )., 1 , 0()()(niyxfxiiin n(x): 插值多項式插值多項式xi : 插值節(jié)點插值節(jié)點 a, b: 插值區(qū)間插值區(qū)間1 Lagrange插值插值4First-order second-order third-order幾何意義幾何意義: n次多項式插值就是過次多項式插值就是過 (n+1)個點個點 (xi, f (xi) (i

3、=0, 1, , n), 作一條多項式曲線作一條多項式曲線 y= n(x)近似曲線近似曲線 y=f(x).5 三個基本問題三個基本問題 重點重點 考考 插值多項式插值多項式 n(x)是否存在唯一？是否存在唯一？ 若若 n(x)存在存在, 截斷誤差截斷誤差 f (x) n(x)=? 如何求如何求 n(x)？6 插值多項式插值多項式 n(x)的存在唯一性的存在唯一性 nnnnnnnnnnnnnnyxaxaxaaxyxaxaxaaxyxaxaxaax2210112121101002020100)()()( n 次多項式次多項式 n(x)有有(n+1)個待定系數(shù)個待定系數(shù)ai (i=0, 1, 2,

4、, n), 插值條件插值條件 n(xi)= f (xi)= yi (i=0, 1, 2, , n)也是也是(n+1)個個, 恰好給出恰好給出(n+1)個方程個方程.7 )()()()(11112102102222212110200nnnnnnnnnxfxfxfxfaaaaxxxxxxxxxxxx即即系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A的行列式是的行列式是Vandermonde行列式行列式, 其值為其值為 njijiijxxA,0,)()det( 當插值節(jié)點當插值節(jié)點xi (i=0, 1, 2, , n)互不相同時互不相同時, 此行列此行列式不為式不為0, 即系數(shù)矩陣即系數(shù)矩陣A可逆可逆. 因此因此ai (i=0

5、, 1, 2, , n), 存在唯一存在唯一, 即即 n(x)存在唯一存在唯一.8 插值余項與誤差估計插值余項與誤差估計)()()(xxfxRnn 截斷誤差或插值余項截斷誤差或插值余項定理定理 若若,)()1(baCxfn 則存在則存在 (a, b), 使得使得).()()!1()()(10)1(nnnxxxxxxnfxR 證明證明, 0)()()( iniinxxfxR 故故).()()()(10nnxxxxxxxKxR 其中其中 K (x)是與是與 x有關的待定函數(shù)有關的待定函數(shù).如何求如何求 K (x) ?9現(xiàn)把現(xiàn)把x看成是看成是a, b上的固定點上的固定點, 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù))()

6、()()()()(10nnxtxtxtxKttftF )(0)()()(10 xFxFxFxFn 即即 F(t )在在a, b上有上有 n+2 個零點個零點. 根據(jù)根據(jù)Rolle定理定理, F (t )在在 F(t )的兩個零點之間至少有一個零點的兩個零點之間至少有一個零點, 故故 F (t )在在(a, b)內(nèi)至少有內(nèi)至少有 (n+1)個零點個零點. 對對F (t )再應用再應用Rolle 定理，定理， 可知可知F (t )在在(a, b)內(nèi)內(nèi)至少有至少有 n 個零點個零點. 依此類推依此類推, F(n+1) (t )在在(a, b)內(nèi)至少內(nèi)至少有一個零點有一個零點, 記之為記之為 (a,

7、b), 使得使得, 0)()!1(0)()()1()1( xKnfFnn 則則10因此因此.),(,)!1()()()1(xbanfxKn且依賴且依賴 )()()()(10nnxxxxxxxKxR ).()()!1()(10)1(nnxxxxxxnf 若若,)(max1)1(, nnbaxMxf則則| )()( |)!1(| )(|101nnnxxxxxxnMxR 11 當當 n =1時時, 線性插值余項為線性插值余項為).,(),)(2)( )(1010 xxxxxxfxR 當當 n =2時時, 拋物線插值余項為拋物線插值余項為).,(),)()(6)( )(20210 xxxxxxxxfx

8、R 12求求 L1(x)(1) 至多至多1次多項式次多項式;).1 , 0()()(1 iyxfxLiii(2)已知已知ix1x)(iixfy 1y0 x0y Lagrange方法求插值多項式方法求插值多項式 當用當用Lagrange方法求插值多項式時方法求插值多項式時, 其其n次插次插值多項式記為值多項式記為Ln(x). n=1的情形的情形13x0 x1)()(0010101xxxxyyyxL 10100101yxxxxyxxxx 1100)()(yxlyxl )(0 xl1次多項式次多項式ix1x0 x01)(1xl1次多項式次多項式ix1x0 x01n = 1 線性插值多項式線性插值多項

9、式 L1(x)是過兩點是過兩點 (x0, y0), (x1, y1)的直線方程的直線方程14已知已知ix1x)(iixfy 1y0 x0y求求 L2(x)(1) 至多至多2次多項式次多項式;).2 , 1 , 0()()(2 iyxfxLiii(2)2x2y 二次插值多項式二次插值多項式15n = 2)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl )()()()()()()(2211002xfxlxfxlxfxlxL )(2010 xxxx )(0 xl)(1xx )(2xx )(0 xl2次多項式次多項式ix1x0 x012x0)(1xl2次多

10、項式次多項式)(2xl2次多項式次多項式ix1x0 x02x01ix1x0 x02x01 二次插值多項式二次插值多項式16l1(x)f (x1)l2(x)f (x2)l0(x)f (x0)x0 x1x2 二次插值多項式二次插值多項式L2(x)17已知已知ix2x1xnx)(iixfy 1y2yny0 x0y求求 Ln(x)(1) 至多至多n次多項式次多項式;)., 1 , 0()()(niyxfxLiiin (2)插值節(jié)點插值節(jié)點插值多項式插值多項式 n次次Lagrange插值多項式插值多項式18)()()()()(1100 xlyxlyxlyxlyxLnniin 其中其中 li (x) 為插

11、值為插值基函數(shù)基函數(shù))(xlin次多項式次多項式)()()(1110niiiiiiixxxxxxxxxx )(xli)(0 xx )(1xx )(1 ixx)(1 ixx)(nxx ,)()()(0 nijjjijixxxxxl)., 1 , 0(ni ixixnx0 x11x1 ix1 ix00000 n次次Lagrange插值多項式插值多項式19例例 已知函數(shù)已知函數(shù) y=lnx 的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下xi2.56492.48492.39792.3026f (xi6391分別用分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求線性插值和拋物線插值求ln11.5的近的近

12、似值似值, 并估計誤差并估計誤差.解解線性插值線性插值. ,111211)12(121112)11()(1 xfxfxL)12()11(21)5 .11(5 .11ln1ffL 取兩個節(jié)點取兩個節(jié)點 x0=11, x1=12, 插值函數(shù)為插值函數(shù)為計算器計算器.4414. 2 20,1111max| )( |max2212,1112,112 xxfMxx| )125 .11)(115 .11( |2| )5 .11(|21 MR.10033. 1811132 拋物線插值拋物線插值. )1213)(1113()12)(11(5649. 2)1312)(1112()13)(11(4849. 2)1

13、311)(1211()13)(12(3979. 2)(2 xxxxxxxL取取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多項式為插值多項式為21.442275. 2)5 .11(5 .11ln2 L,1122max| )( |max3313,1113,113 xxfMxx| )135 .11)(125 .11)(115 .11( |6| )5 .11(|32 MR.1039. 9811153 442347. 25 .11ln 22例例 已知函數(shù)已知函數(shù) y=lnx 的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下xi2.56492.48492.39792.3026f (xi6391分別用

14、分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求線性插值和拋物線插值求ln11.5的近的近似值似值, 并估計誤差并估計誤差.解解線性插值線性插值. 取兩個節(jié)點取兩個節(jié)點 x0=11, x1=12, 插值函數(shù)為插值函數(shù)為計算器計算器X=11, 12Y=2.3979, 2.4849pp=polyfit(X,Y,1)ln11dot5=polyval(pp,11.5)23例例 已知函數(shù)已知函數(shù) y=lnx 的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下xi2.56492.48492.39792.3026f (xi6391分別用分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求線性插值和拋物線插值求ln11.

15、5的近的近似值似值, 并估計誤差并估計誤差.解解計算器計算器X=11, 12, 13Y=2.3979, 2.4849, 2.5649pp=polyfit(X,Y,2)ln11dot5=polyval(pp,11.5)拋物線插值拋物線插值. 取取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多項式為插值多項式為24 由于插值基函數(shù)只與由于插值基函數(shù)只與節(jié)點有關而與函數(shù)值無關節(jié)點有關而與函數(shù)值無關, 因此當插值節(jié)點相同而函數(shù)值不同時因此當插值節(jié)點相同而函數(shù)值不同時, 所有的所有的Lagrange插值基函數(shù)均不變插值基函數(shù)均不變, 此時用此時用Lagrange插值插值多項式比較方便多項式比較方便.

16、11110011001100, , , , :new2, , , :new1, , ,:original nnnnnnnnyxyxyxyxzxzxzxyxyxyx 當新增加插值節(jié)點時當新增加插值節(jié)點時, 用用Lagrange插值多項式插值多項式, 則則需要重新計算所有的插值基函數(shù)需要重新計算所有的插值基函數(shù), 計算量大且應用計算量大且應用不方便不方便.Lagrange插值插值Newton插值插值25 0010101xxxxxfxfxfxN 線性插值多項式的另一表現(xiàn)形式線性插值多項式的另一表現(xiàn)形式2 Newton插值插值Newton插值公式插值公式26 差商定義差商定義 一階差商一階差商 ( f

17、 (x)關于點關于點xi , xj的一階差商的一階差商)jijijixxxfxfxxf )()(, 二階差商二階差商( f (x)關于點關于點xi , xj , xk的二階差商的二階差商)kikjjikjixxxxfxxfxxxf , 一階差商的差商一階差商的差商27 k階差商階差商kkkkxxxxxfxxxfxxxf 02111010, 差商定義差商定義28 差商的性質差商的性質 各階差商具有各階差商具有線性性線性性, 即若即若 f (x)=ag(x)+bh(x), 則有則有,101010kkkxxxbhxxxagxxxf k階差商可表為階差商可表為f (x0), f (x1), , f (

18、xk)的線性組合的線性組合,例例 011100101010,xxxfxxxfxxxfxfxxf 一階差商一階差商29 202110210,xxxxfxxfxxxf 2121101020)()()()(1xxxfxfxxxfxfxx).()()(210 xcfxbfxaf )(12010 xxxxa )(11202xxxxc )(1)(1)(1210120 xxxxxxb)(12101xxxx 二階差商二階差商30 3 階以上的差商可用數(shù)學歸納法證明階以上的差商可用數(shù)學歸納法證明. kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(,10kxxxf31 各階差商均具有各階差

19、商均具有對稱性對稱性, 即改變節(jié)點的位置即改變節(jié)點的位置, 差差商值不變商值不變.,2134043210 xxxxxfxxxxxf 若若f (x)是是n次多項式次多項式, 則一階差商則一階差商 f x, xi 是是 (n 1)次多項式次多項式.例例32 計算各階差商可按差商表計算計算各階差商可按差商表計算ix1階差商階差商)(ixf2階差商階差商3階差商階差商 4階差商階差商0 x1x2x3x4x5x)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(5xf 10,xxf 21,xxf 32,xxf 43,xxf 54,xxf 210,xxxf 321,xxxf 432,xxxf 543,

20、xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,5432xxxxf,43210 xxxxxf,54321xxxxxf計算公式？計算公式？33 01000010101,xxxxfxfxxxxxfxfxfxN 線性插值多項式的另一表現(xiàn)形式線性插值多項式的另一表現(xiàn)形式 Newton線性線性插值多項式插值多項式Newton插值公式插值公式34 1020102xxxxbxxbbxN 221202111020100221202111020100abxbxbabxxbxbabbaxbxbbaxxbxbba 二次二次Newton插值多項式插值多項式 把二次插值多項式改寫成下列形式把二次插值多項式改寫成下列

21、形式 它與二次函數(shù)的通常形式它與二次函數(shù)的通常形式 是一樣的是一樣的. 兩者的系數(shù)有如下對應關系兩者的系數(shù)有如下對應關系.22102)(xaxaaxN 35 利用利用3個插值條件來確定個插值條件來確定3個系數(shù)個系數(shù)b0, b1, b2. 0010002001002xfbxxxxbxxbbxN 令令x=x0確定系數(shù)確定系數(shù)b0 ,1001011111012011012xxfxxxfxfbxfxxxxbxxbxfxN 令令x=x1確定系數(shù)確定系數(shù)b1 1020102xxxxbxxbbxN 二次二次Newton插值多項式插值多項式 把二次插值多項式改寫成下列形式把二次插值多項式改寫成下列形式36 令

22、令x=x2得到系數(shù)得到系數(shù)b2 ,21012010102022212022020101022xxxfxxxxxfxfxxxfxfbxfxxxxbxxxxxfxfxfxN 二次二次Newton插值多項式插值多項式 1020102xxxxbxxbbxN 把二次插值多項式改寫成下列形式把二次插值多項式改寫成下列形式37 210210100,xxxfbxxfbxfb 二次二次Newton插值多項式插值多項式 1020102xxxxbxxbbxN 38 .1210102010 nnnxxxxxxxxbxxxxbxxbbxN nnnxxxxfbxxxfbxxfbxfb,.,110210210100 n階階

23、Newton插值多項式插值多項式39)(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,)()(0100 xxxxfxfxf )(,1010 xxxxxxxf 由一階差商定義得由一階差商定義得 由二階差商定義得由二階差商定義得故故Newton線性線性插值多項式插值多項式余項余項40 )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf )(,)()(0100 xxxxfxfxf )(,1010 xxxxxxxf )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )()(,210210 xxxxxxxxxxf 二次二次New

24、ton插值多項式插值多項式余項余項故故41)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )()(,210210 xxxxxxxxxxf )(,332103210210 xxxxxxxfxxxxfxxxxf )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )()(,2103210 xxxxxxxxxxf )()()(,32103210 xxxxxxxxxxxxxf 三次三次Newton插值多項式插值多項式余項余項42)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )()()(,21010nnxxxxxxxxxx

25、xxf )()(,11010 nnxxxxxxxxxf一般地有一般地有n次次Newton均差插值多項式均差插值多項式 Nn(x)余項余項 Rn(x)43)()()(xRxNxfnn Nn(x)的特點的特點Nn(x)為至多為至多n次多項式次多項式,., 1 , 0)()()()(nixNxRxNxfininini 因此因此Nn(x)是是 f (x)的的 n 次插值多項式次插值多項式.)()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN)()()(,)(21010nnnxxxxxxxxxxxxfxR 44 .1210102010

26、nnnxxxxxxxxbxxxxbxxbbxN nnnxxxxfbxxxfbxxfbxfb,.,110210210100 n階階Newton插值多項式插值多項式 系數(shù)系數(shù)bi (i=0, 1, 2, , n)就是差商表中對角線上的元素就是差商表中對角線上的元素.45 Newton插值多項式的優(yōu)點插值多項式的優(yōu)點: 增加一個節(jié)點增加一個節(jié)點, 插值插值多項式只增加一項多項式只增加一項, 即即)()(,)()(01101nnnnnxxxxxxxxfxNxN 便于遞推計算便于遞推計算, Newton插值計算量小于插值計算量小于Lagrange插值插值.)()(xLxNnn 由插值多項式的唯一性知由插

27、值多項式的唯一性知, n階階Newton插值多項插值多項式和式和n階階Lagrange插值多項式是一樣的插值多項式是一樣的, 只是表現(xiàn)只是表現(xiàn)形式不同而已形式不同而已.46 nnnxxxxxxxxxxfR .,.,1010 )!1()(,.,)1(10 nfxxxxfnn Newton插值多項式的余項插值多項式的余項 由插值多項式的唯一性得由插值多項式的唯一性得 nnnxxxxxxnfR .)!1()(10)1( 故故473 分段線性插值分段線性插值 高次插值多項式的缺陷：高次插值多項式的缺陷：Runge現(xiàn)象現(xiàn)象 用用Lagrange插值多項式插值多項式 Ln(x)近似近似 f (x), 是否

28、是否插值節(jié)點個數(shù)插值節(jié)點個數(shù)n越多越多, 其逼近精度越高呢其逼近精度越高呢? 回答是回答是否定否定的！的！ 20世紀初世紀初Runge給出了一個非常著名的例子給出了一個非常著名的例子1 , 1,2511)(2 xxxf采用等距節(jié)點插值采用等距節(jié)點插值.4822511)(xxf )(4xL4922511)(xxf )(10 xL50 如圖所示如圖所示, Lagrange插值多項式插值多項式L10(x)僅在區(qū)間中僅在區(qū)間中部能較好地逼近部能較好地逼近 f (x), 在其他部位差異較大在其他部位差異較大, 而且越而且越接近區(qū)間端點接近區(qū)間端點, 逼近效果越差逼近效果越差. 可以證明當節(jié)點個數(shù)可以證明

29、當節(jié)點個數(shù)n趨于無窮時趨于無窮時, 存在一個常數(shù)存在一個常數(shù)c, c 0.726, 使得當使得當|x| c時時, Ln(x) f (x) (n), 而當而當|x|c時時Ln(x)發(fā)散發(fā)散. 這一現(xiàn)象稱為這一現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象現(xiàn)象. 51 它表明用高次插值多項式它表明用高次插值多項式Ln(x)近似近似f (x)效果不見效果不見得好得好, 因而通常因而通常不用高次插值不用高次插值, 而用分段低次插值而用分段低次插值. 常用分段低次插值常用分段低次插值: 分段線性插值分段線性插值, 分段三次分段三次Hermite插值插值, 三次樣條插值三次樣條插值.52 分段線性插值定義分段線性插值定義bxxx

30、an .10.,)(baCx );,., 0(),()(nixfxii 定義定義 已知函數(shù)已知函數(shù) y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的上的 (n+1)個節(jié)點個節(jié)點上的函數(shù)值上的函數(shù)值 yi=f (xi) (i=0,1,n), 求求插值函數(shù)插值函數(shù) (x), 使得使得,1 iixx在每一個小區(qū)間在每一個小區(qū)間 上是線性函數(shù)上是線性函數(shù);(1)(2)(3)稱函數(shù)稱函數(shù) (x)為為a, b上關于數(shù)據(jù)上關于數(shù)據(jù) (xi, yi) (i=0,1,n)的的分分段線性插值函數(shù)段線性插值函數(shù).53 nnnnnxxIxxIxxIyxyxyxyx, , , , :interval),( ,),(),(),(

31、:points data11-211100221100 x0 x1x2x3 i (x) = ai x+ bi分段線性插值分段線性插值5411 , )(,)( )( iiiiiixxxxxxxfxfx 分段線性插值分段線性插值 nnnnnxxIxxIxxIyxyxyxyx, , , , :interval),( ,),(),(),( :points data11-211100221100 根據(jù)根據(jù)Newton插值公式可寫出插值公式可寫出 (x)的分段表達式的分段表達式55 nnnnnnxxxxxxxfxfxxxxxxxfxfxxxxxxxfxfx1111211211100100 , )(,)(

32、, )(, )( ),(, )( )( 分段線性插值分段線性插值 nnnnnxxIxxIxxIyxyxyxyx, , , , :interval),( ,),(),(),( :points data11-211100221100 56 分段線性插值的誤差估計分段線性插值的誤差估計定理定理 如果如果 f (x)在在a, b上二階連續(xù)可微，則分段上二階連續(xù)可微，則分段線性插值函數(shù)線性插值函數(shù) (x)的余項有以下估計的余項有以下估計8| )()(| )(|2MhxxfxR 其中其中. | )( |max),(max110 xfMxxhbxaiini 57 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi, xi+1 (

33、i=0, 1, , n)上上, (x)是是f (x)的線性插值函數(shù)，故對任意的線性插值函數(shù)，故對任意 x xi , xi+1有有證明證明)(2)( )()()(1 iixxxxfxxfxR 442)(| )( |222111hhxxxxxxxxxxxxiiiiiii 故故.842| )(|22MhhMxR 而而58分段線性插值分段線性插值 分段線性插值簡單易行分段線性插值簡單易行, 收斂性收斂性, 穩(wěn)定性有保證穩(wěn)定性有保證. 沒有光滑性沒有光滑性, 一階導數(shù)不連續(xù)一階導數(shù)不連續(xù). 可用更高階的分段插值來得到連續(xù)導數(shù)，如三次可用更高階的分段插值來得到連續(xù)導數(shù)，如三次樣條插值樣條插值.59 Her

34、mite插值多項式插值多項式求求 H(x).(1) 至多至多(2n+1)次多項式次多項式;)., 1 , 0(, )( ,)(niyxHyxHiiii (2)4 Hermite插值插值ix2x1xnx)(iixfy 1y2yny0 x0y)( iixfy 1y2yny0y已知已知H(x): Hermite插值多項式插值多項式60jxixnx0 x1)(jixh)( jixh)()()()(1100 xhyxhyxhyxHnn )()()(1100 xHyxHyxHynn )(xHi(2n+1)次多項式次多項式)(xhi(2n+1)次多項式次多項式jxixnx0 x1)(jixH)( jixHH

35、i (x), hi (x) ( i=0, 1, 2, n): Hermite插值基函數(shù)插值基函數(shù)61 )()( 21)(2xlxxxlxhiiiii 其中其中l(wèi)i (x)是是 Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù).)(xhijxixnx0 x1(2n+1)次多項式次多項式)()(2xlxhii )(ixxba 1)( iixh 0)( ),( )(2)()()( 2 iiiiiiixhxlxlxxbaxblxh)( 2iixlb )(jixh)( jixh1 a62)()()(2xlxxxHiii 其中其中l(wèi)i (x)是是 Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù).)(xHijxixnx0 x1(

36、2n+1)次多項式次多項式)()(2xlxHii )(ixxba 0)( iixH 1)( ),( )(2)()()( 2 iiiiiiixHxlxlxxbaxblxH1 b)(jixH)( jixH0 a63)()()()(1100 xhyxhyxhyxHnn )()()(1100 xHyxHyxHynn )()( 21)(2xlxxxlxhiiiii )()()(2xlxxxHiii Hermite插值多項式插值多項式64n=1,)(1010 xxxxxl ,)(0101xxxxxl )()( )(21)(200000 xlxlxxxh 210101021 xxxxxxxx )()( )(

37、21)(211111xlxlxxxh 201010121 xxxxxxxx 210100)( xxxxxxxH 201011)( xxxxxxxH)()()(1100 xhyxhyxH )()(1100 xHyxHy 兩個節(jié)點的三次兩個節(jié)點的三次Hermite插值多項式插值多項式65)(0 xh)(1xh)(1xH)(0 xH66 插值余項與誤差估計插值余項與誤差估計)()()(xHxfxR 截斷誤差或插值余項截斷誤差或插值余項定理定理 若若,)()22(baCxfn 則存在則存在 (a, b), 使得使得22120)22()()()()!22()()(nnxxxxxxnfxR 證明證明0)(

38、 , 0)()()( iiiixRxHxfxR故故.)()()()(22120nnxxxxxxxKxR 其中其中 K (x)是與是與 x有關的待定函數(shù)有關的待定函數(shù).如何求如何求 K (x) ?67現(xiàn)把現(xiàn)把 x看成是看成是a, b上的固定點上的固定點, 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)22120)()()()()()(nxtxtxtxKtHtftF )(0)()()(10 xFxFxFxFn 即即 F(t )在在a, b上有上有 n+2 個零點個零點. 根據(jù)根據(jù)Rolle定理定理, F (t )在在 F(t )的兩個零點之間至少有一個零點的兩個零點之間至少有一個零點, 故故 F (t )在在(a, b)內(nèi)

39、至少有內(nèi)至少有 (n+1)+(n+1)個零點個零點. 對對F (t )再應用再應用Rolle 定理定理, 可知可知F (t )在在(a, b)內(nèi)至內(nèi)至少有少有(2 n+1) 個零點個零點. 依此類推依此類推, F(2n+2) (t )在在(a, b)內(nèi)內(nèi)至少有一個零點至少有一個零點, 記之為記之為 (a, b), 使得使得, 0)()!22(0)()()22()22( xKnfFnn 0)( )( )( 10 nxFxFxF則則68因此因此.),(,)!22()()()22(xbanfxKn且依賴且依賴 22120)()()()(nxxxxxxxKxR .)()()()!22()(22120)

40、22(nnxxxxxxnf 若若,)(max22)22(, nnbaxMxf則則|)()()( |)!22(| )(|2212022nnxxxxxxnMxR 69)()()(3xHxfxR 2120)4()()(! 4)(xxxxf 兩個節(jié)點的三次兩個節(jié)點的三次Hermite插值多項式的截斷誤差插值多項式的截斷誤差70定理定理 滿足滿足的的 2n+1 階階Hermite插值多項式是插值多項式是唯一唯一存在的存在的.),., 1, 0()( )( , )()(nixfxHxfxHiiii 22120)22()()()()!22()()()(nnxxxxxxnHxHxH 因為因為H(x)為至多為至

41、多2n+1次多項式，故次多項式，故H(2n+2)(x)=0. 從而從而 Hermite插值多項式的唯一性插值多項式的唯一性證明證明 假設假設 H(x)與與 H(x) 是滿足相同插值條件的是滿足相同插值條件的 2n+1次次Hermite多項式，多項式， H(x)也是也是 H(x) 的的 (2n+1) 次次Hermite插值多項式插值多項式. 由余項公式由余項公式H(x)= H(x)71 分段三次分段三次Hermite插值定義插值定義 給定函數(shù)表給定函數(shù)表ix2x1xnx)(iixfy 1y2yny0 x0y)( iixfy 1y2yny0y求求分段三次分段三次Hermite插值函數(shù)插值函數(shù)H(x), 使其滿足使其滿足)., 1 , 0(, )( ,)(niyxHyxHiiii (1)(2) 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi, xi+1 ( i=0, 1, n1)上，上，H(x)是三次多項式是三次多項式.72 分段三次分段三次Hermite插值函數(shù)插值函數(shù)H(x)的分段表