抽樣方法與總體分布的估計(jì)學(xué)習(xí)導(dǎo)引

1、抽樣方法與總體分布的估計(jì)學(xué)習(xí)導(dǎo)引劉洪明本章“統(tǒng)計(jì)”部分是在初中“統(tǒng)計(jì)初步”和高中“概率”內(nèi)容的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)的，所介紹的抽樣方法比初中更系統(tǒng)和詳細(xì)，而用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布，更是初中相關(guān)內(nèi)容的繼續(xù)和深入。一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解三種抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣的概念、各自的特點(diǎn)、相互聯(lián)系、適用范圍、操作方法，會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題中的條件、要求，選用恰當(dāng)?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本。2.會(huì)編制樣本頻率分布表，畫(huà)出頻率分布條形圖或直方圖，用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布。二、內(nèi)容解析1.抽樣方法（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)體較少時(shí)，可采用逐個(gè)地、不放回且等概率地抽取樣本。具體操作時(shí)可用抽簽法

2、或隨機(jī)數(shù)表法。（2）系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)體較多時(shí)，可將總體編號(hào)，按需要抽取的樣本數(shù)均分成若干段，再按照一定的規(guī)則在每一段中抽取一個(gè)個(gè)體。（3）分層抽樣：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成的，可將總體按差異分成幾個(gè)部分（層），再按各部分在總體中所占比例進(jìn)行抽樣。應(yīng)該注意到，在系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中，最后仍需用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣來(lái)完成。因此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣的基礎(chǔ)。另外，不論用哪種抽樣方法，不論是“逐個(gè)地抽取”，還是“一次性地抽取”，總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是一樣的。2.總體分布的估計(jì)在通常情況下，一個(gè)總體中的個(gè)體是相當(dāng)多的，甚至是無(wú)窮多的。如果逐個(gè)考查每個(gè)個(gè)體，往往是困難的，甚至是辦不到

3、的。這就要求我們運(yùn)用上述的抽樣方法，抽取一個(gè)樣本，用樣本的頻率分布來(lái)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)。樣本的容量越大，這種估計(jì)越精確。當(dāng)總體中的個(gè)體取不同值很少時(shí)，可由不同取值及相應(yīng)的頻率列出分布表，并用相應(yīng)的條形圖來(lái)表示。當(dāng)總體中的個(gè)體取值較多時(shí)，可將不同取值分別放入相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)，列出不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率分布表，并依此畫(huà)出相應(yīng)的直方圖。有了樣本頻率分布表或直方圖，就容易估計(jì)出總體的各種屬性，對(duì)總體作出推斷。三、典型例題例1.（見(jiàn)教科書(shū)P22第4行）現(xiàn)要用系統(tǒng)抽樣的方法，從一個(gè)個(gè)體數(shù)為1003的總體中，抽取一個(gè)容量為50的樣本，那么總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是（）A.B.C.D.解：由于1003除以50，得余

4、數(shù)為3，因此，在用系統(tǒng)抽樣時(shí)，首先應(yīng)從總體中剔除3個(gè)個(gè)體，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法（可利用隨機(jī)數(shù)表）。那么對(duì)于總體中某個(gè)個(gè)體a而言，未被剔除而被留在剩余總體內(nèi)的概率為。接著進(jìn)行系統(tǒng)抽樣，從1000個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)，則個(gè)體a被抽到的概率為。綜上，個(gè)體a被抽到的概率為故應(yīng)選D。說(shuō)明：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為：刪除了3個(gè)個(gè)體后，從1000個(gè)個(gè)體中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個(gè)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為。實(shí)際上，后面的系統(tǒng)抽樣，是在刪除3個(gè)個(gè)體的前提下來(lái)進(jìn)行的（即條件概率）。例2.（見(jiàn)教科書(shū)P1913頁(yè)）從個(gè)體數(shù)為N的總體中，抽取一個(gè)容量為n的樣本，求總體中任一指定個(gè)體a被抽到的概率。如果（1）采用逐個(gè)抽取的方法；

5、（2）采用一次性抽取的方法。解：我們知道，從個(gè)體數(shù)為N的總體中，抽取一個(gè)個(gè)體，那么第N個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，未被抽到的概率為。（1）在逐個(gè)抽取n個(gè)個(gè)體時(shí)，a被抽到的情況及其概率情況如下：第1次被抽到，；第2次被抽到，；第3次被抽到，；第n次被抽到由于以上幾個(gè)事件彼此互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，個(gè)體a被抽到的概率為（2）在一次性抽取n個(gè)個(gè)體時(shí)，個(gè)體a被抽到時(shí)，只要再?gòu)氖Ｓ嗟模∟1）個(gè)個(gè)體中，抽取個(gè)個(gè)體即可。因此，這時(shí)的概率為以上結(jié)果說(shuō)明，“逐個(gè)抽取”與“一次性抽取”，對(duì)于總體中的每個(gè)個(gè)體而言，被抽到的概率是相同的。因此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確實(shí)體現(xiàn)了抽樣的客觀公平性。而其它更復(fù)雜的抽樣，又以簡(jiǎn)單隨

6、機(jī)抽樣為基礎(chǔ)，就使得這些抽樣方法也具有客觀公平性。例3.某生產(chǎn)企業(yè)共有800人，其中管理人員40人，技術(shù)人員120人，一線工人640人。現(xiàn)要調(diào)查了解全廠人員的（1）身高與血型情況；（2）家庭人均生活費(fèi)用情況。試用恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǔ槿∫粋€(gè)容量為40的樣本，并說(shuō)明操作過(guò)程。解：（1）身高和血型，與其職務(wù)無(wú)關(guān)，全廠人員又很多，故應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣法。將全廠人員按1至800編號(hào)，再按編號(hào)順序分成40組，每組20人。先在第1組中用抽簽法抽出k號(hào)（1k20），其余組中的（n1，2，39）號(hào)也都抽出。這樣就得到了一個(gè)容量為40的樣本。（2）家庭人均生活費(fèi)用的差別與其職務(wù)有關(guān)，故應(yīng)采用分層抽樣的方法。三類人員的人數(shù)

7、比為40：120：6401：3：16，所以各抽人，人，人。又由于管理人員、技術(shù)人員人數(shù)較少，可采用抽簽法（技術(shù)人員也可用隨機(jī)數(shù)表法）。而工人人數(shù)很多，應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣法，分成32組，從每組的20人中抽出1人。具體操作可仿照（1）題。從本例可見(jiàn)，盡管總體不變，由于抽取的樣本所涉及的內(nèi)容不同，那么對(duì)總體中個(gè)體間差異的理解就不同，因而采用的抽樣方法也隨之改變。例4.（見(jiàn)教科書(shū)P26中部至P27）試說(shuō)明頻率分布表的制作過(guò)程。解：這類問(wèn)題可按以下步驟操作：（1）求極差：查找最大值是25.56（第4行第3個(gè)數(shù)），最小值是25.24（第8行第2個(gè)數(shù)），則極差是。（2）確定組數(shù)與組距：為使組數(shù)在10個(gè)左右，由，可取組數(shù)為11，組距為0.03。（3）確定分點(diǎn)數(shù)：為了避免出現(xiàn)某些數(shù)據(jù)恰好是分點(diǎn)，可使分點(diǎn)數(shù)比各數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且使第1個(gè)分點(diǎn)數(shù)比最小值25.24稍小一點(diǎn)，可取為25.235。則各組的范圍依次是25.235，25.265），25.265，2