小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)陣圖(二).教師版

1、5-1-3-2.數(shù)陣圖教學(xué)目標(biāo)1.了解數(shù)陣圖的種類2.學(xué)會(huì)一些解決數(shù)陣圖的解題方法3.能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問題知識(shí)點(diǎn)撥.一、數(shù)陣圖定義及分類：.1.定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖2.數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.3.二、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)(或方格)和關(guān)鍵點(diǎn)(或方格)；第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)(一般是交叉點(diǎn))上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；第

2、三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試這個(gè)步驟并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對(duì)數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用例題精講復(fù)合型數(shù)陣圖【例 1】 由數(shù)字 1、2、3 組成的不同的兩位數(shù)共有 9 個(gè)，老師將這 9 個(gè)數(shù)寫在一個(gè)九宮格上，讓同學(xué)選數(shù)，每個(gè)同學(xué)可以從中選 5 個(gè)數(shù)來求和小剛選的 5 個(gè)數(shù)的和是 120，小明選的 5 個(gè)數(shù)的和是 111如果兩人選的數(shù)中只有一個(gè)是相同的，那么這個(gè)數(shù)是_112131122232132333【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【

3、難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，決賽，3 題【分析】這 9 個(gè)數(shù)的和：11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33=´   +´（10 + 20 + 30） 3 （1 + 2 + 3）

4、0;3 = 198由小剛和小明選的數(shù)中只有一個(gè)是相同的，可知他們正好把這 9 個(gè)數(shù)全部都取到了，且有一個(gè)數(shù)取了兩遍所以他們?nèi)〉臄?shù)的總和比這9 個(gè)數(shù)的和多出來的部分就是所求的數(shù)那么，這個(gè)數(shù)是120 + 111 - 198 = 33 【答案】 33【例 2】 如圖 1，圓圈內(nèi)分別填有 1，2，7 這 7 個(gè)數(shù)。如果 6 個(gè)三角形的頂點(diǎn)處圓圈內(nèi)的數(shù)字的和是64，那么，中間圓圈內(nèi)填入的

5、數(shù)是。1【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，復(fù)賽，第 5 題，5 分【解析】2【答案】 2【例 3】 如下圖（1）所示，在每個(gè)小圓圈內(nèi)填上一個(gè)數(shù)，使得每一條直線上的三個(gè)數(shù)的和都等于大圓圈上三個(gè)數(shù)的和.49817（1）【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3 星【題型】填空【解析】為敘述方便，先在每個(gè)圓圈內(nèi)標(biāo)上字母，如圖（2），a49817bc（2）則有 a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2）c+17+9=a+b+c（3）（1）+（2）+（3）： a+b

6、+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，則 a=28（4+9）=15，b=28（8+9）=11，c=28-（17+9）=2 解：見圖.1549817112【答案】1549817112【例 4】 請(qǐng)你將數(shù)字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面圖（1）所示的圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓圈上的三個(gè)數(shù)之和與每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等.應(yīng)怎樣填？【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3 星【題型】填空【解析】為了敘述方便，將各圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示.設(shè) A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B

7、+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，22（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因?yàn)?#160;56+A 為 5 的倍數(shù)，得 A=4，進(jìn)而推出 k=12，因?yàn)樵?#160;1、2、3、5、6、7 中，1+5+6=7+3+2=12，不妨設(shè) B=1，F(xiàn)=5，D=6，則 C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一個(gè)基本解為

8、：（見圖）7216453【答案】7216453【例 5】 在左下圖的每個(gè)圓圈中填上一個(gè)數(shù)，各數(shù)互不相等，每個(gè)圓圈有 3 個(gè)相鄰(即有線段相連的圓圈 )的圓圈。將左下圖中每個(gè)圓圈中的數(shù)改為 3 個(gè)相鄰圓圈所填數(shù)的平均值，便得到右下圖。如果左下圖中已有一個(gè)數(shù) 1，請(qǐng)?zhí)畛鲎笙聢D中的其它數(shù)，使得右下圖中的數(shù)都是自然數(shù)?！究键c(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6 年級(jí)，決賽，第 10 題，10 分(【解析】答案不唯一。要求四個(gè)灰色圓圈中所填的數(shù)除以&#

9、160;3 的余數(shù)相同，另外四個(gè)圓圈中所填的數(shù)除以 3 的余數(shù)也相同。注：題中左、右兩圖是兩個(gè)不同的圖，左圖要求各數(shù)互不相同見答案)，右圖中各數(shù)是根據(jù)左圖改的，只要求是自然數(shù)，可以相同。【答案】【例 6】 將 1 至 8 這八個(gè)自然數(shù)分別填入圖中的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處的 d 內(nèi)，并使每個(gè)面上的四個(gè) d 內(nèi)的數(shù)字之和都相等。求與填入數(shù)字 1 的 d 有線段相連的三個(gè) d 內(nèi)的數(shù)的和的最大值?！究键c(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖

10、【難度】4 星【題型】填空【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試，第 13 題，15 分【解析】因?yàn)?#160;1 到 8 的和為 36，而上面四個(gè)數(shù)的和等于下面四個(gè)數(shù)的和，所以都為18。因?yàn)槊總€(gè)面的數(shù)字和相等，所以一個(gè)面上應(yīng)當(dāng)大小數(shù)搭配，也就是說，和最小的數(shù)字1 在同一個(gè)面上的應(yīng)該有較大的數(shù)。嘗試最大的三個(gè)數(shù) 8，7，6，則和 1，8，7 在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-8-7=2，和 1，8，6 在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是

11、 18-1-8-6=3，和 1，7，6 在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是在同一個(gè)面上的數(shù)應(yīng)該是18-1-7-6=4，剩下一個(gè) 5 填在剩下的 中，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，那么與1 相連的三個(gè)的和是36 + 7 + 8 = 2136481752【答案】 21【例 7】 將自然數(shù)1 到 11分別填在右圖的圓圈內(nèi)，使得圖中每條直線上的三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和相等b18-b-cc18912-b b+c-6 12-cc+d-66

12、12-d18-c-dd11   4356         1072【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【解析】設(shè)左下角的數(shù)為 a ，每條直線上的三個(gè)數(shù)的和為 S 由于這 11 個(gè)數(shù)的和為1 + 2 + L + 11 = 66 從左下角引出的 5 條直線的總和為 5S ，

13、其中左下角的數(shù)多計(jì)算了 4 次，則 5S = 66 + 4a ；又由三條橫線及左下角引出的一條斜線上的數(shù)的總和可得 4S = 66 + a 從而結(jié)合上面的兩個(gè)式子可得 S = 18 ，a = 6 ，即左下角的數(shù)為 6，每條線上的數(shù)之和為 18再設(shè)大正方形其他三個(gè)圓圈上的數(shù)分別為b ，c ，d ，于是可得各個(gè)圓圈中的數(shù)如圖所示除 

14、6 以外的 10 個(gè)數(shù)分別為：b ，c ，d ，12 - b ，12 - c ，12 - d ， 18 - b - c ， 18 - c - d ， b + c - 6 ， c + d - 6 由于 

15、18 - b - c + 12 - c + 18 - c - d = 18 ，得到b + 3c + d = 30 ，即 b + d = 30 - 3c 所以，只要選取適當(dāng)?shù)?#160;b ， c ， d 的值，使得上面的 

16、;10 個(gè)數(shù)各不相同即可比如，選擇 c = 9 ， b = 1 ， d = 2 ，則可得到如右上圖所示的一種填法本題答案不唯一，下面再給出兩種填法。1143                          &

17、#160;                         11251891    10776251036           894【答案】1143    &

18、#160; 112         51891    107762510936           8    4【例 8】 在下圖中，在每個(gè)圓圈中填入一個(gè)數(shù)，使每條直線上所有圓圈中數(shù)的和都是234，那么標(biāo)有 的圓圈中所填的數(shù)是_abcdef【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 

19、;星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，決賽，11 題【分析】為表述方便，將圓圈中數(shù)用字母替代（如右圖）根據(jù)題意，有4a +  + f = 234b + c +  = 234e + d +  = 234a + b + e = 234c + d + f = 234 + 

20、 +  -  - ，有 3 ´  = 234 ，即  = 234 ¸ 3 = 78 【答案】 78【例 9】 請(qǐng)將 1，2，3，10 這 10 個(gè)自然數(shù)填入圖中的 10 個(gè)小圓圈內(nèi)，使得圖中的 10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等那么乘積 A 

21、0; B ´ C =？ABC【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，決賽，10 題【解析】對(duì)于本題，可以通過“10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等”(實(shí)際上是 11 條)這一等量關(guān)系，將每一個(gè)小圓圈中的數(shù)表示出來由于每一條直線上的數(shù)之和都為A + B + C ，可得圖中每一個(gè)小圓圈中的數(shù)如下圖。B-2CA-CA+2C3CABB-CC2CA+C由于中間豎直方向的線段以及從左下角 A 出發(fā)的只有兩個(gè)數(shù)

22、字的那條線段，它們的數(shù)字和都是A + B + C ，可以得到，A + B + C = 3B - 3C = 2 A - C ，可得 A = B + 2C ，代入得 2B + 3C = 3B - 3C ，即 B = 6C ，只能是&#

23、160;C = 1 ， B = 6 ， A = B + 2C = 8 ，則 A ´ B ´ C = 8 ´ 6 ´1 = 48【答案】 A ´ B ´ C = 8 ´ 6

24、 ´1 = 48【例 10】 下圖中有 11 條直線請(qǐng)將 1 至 11 這 11 個(gè)數(shù)分別填在 11 個(gè)圓圈里，使每一條直線上所有數(shù)的和相等求這個(gè)相等的和以及標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù)【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【解析】設(shè)每行的和為 S ，在左下圖中，除了 a 出現(xiàn) 2 次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了 1 次，并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有&#

25、160;4S = (1+ 2 + 3 + L + 11) + a = 66 + a ；5綜合以上兩式， í        ，解得 a = 6 ， S = 18 5S = 66 + 4aaa在右上圖中除了 a&#

26、160;出現(xiàn) 5 次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1 次，并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有5S = (1+ 2 + 3 + L + 11) + 4a = 66 + 4a ì4S = 66 + aî考慮到含有*的五條線，有 4 * +(1+ 2 + 3 + L + 

27、11) - t = 18 ´ 5 = 90 ，即 4 *- t = 24 可見 t 是 4 的倍數(shù)，在 111 間可能為 4 和 8，但 t 為 8 時(shí) * 也為 8，重復(fù)所以 t = 4 ， * = 7

28、60;即每行相等的和為 18，標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù)為 7最終的填法如右下圖5t4112710 8163954【答案】112710 81639【例 11】 “美妙的數(shù)學(xué)花園”這 7 個(gè)字各代表 17 中的一個(gè)數(shù)，并且每個(gè)圓中 4 個(gè)數(shù)的和都是 15。如果學(xué)比美大，美比園大，那么，園表示。【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】（走美杯 3 年級(jí)決賽第 11 題，12 分）【解析】首先找出從1

29、 到 7 中四個(gè)數(shù)之和為15 的有以下四組：1 、 2 、 5 、 7 ； 2 、 3 、 4 、 6 ；1 、 3 、14 、 7 ；1 、 3 、 5 、 6 需要從其中選出 3 組，其中每?jī)蓚€(gè)組間都有兩個(gè)相等的數(shù)，且這三組都含有同一個(gè)數(shù)，分析發(fā)現(xiàn)這三組可

30、為、或、，當(dāng)這三組數(shù)為、時(shí)即， 2 ，5 ，7 ；1 ， 3 ， 4 ， 7 ；1 ， 3 ， 5 ， 6 其中、公有的是1 ， 7 ；、公有是1 ，5 ；、公有1 ，3 ，即“妙，花，數(shù)”應(yīng)為3 ， 7 ， 5 其中之一則剩下數(shù)字 2 ， 4 ， 

31、6 應(yīng)為美、學(xué)、園其中之一又因?yàn)閷W(xué) > 美 > 園，所以學(xué) = 6 ，美 = 4 ，園 = 2 當(dāng)這三組數(shù)為、時(shí)同樣的方法可分析出園 = 2 美5妙1數(shù)6的3學(xué)7花4園2【答案】 26【例 12】 圖 2 中的五個(gè)問號(hào)分別表示五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的和等于 130，三角形內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和等于 53，圓內(nèi)三個(gè)數(shù)的和等于 79，正方形內(nèi)兩個(gè)數(shù)的

32、和等于 50。那么，從左向右，這五個(gè)問號(hào)依次是？ ？【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第 5 題，5 分【解析】根據(jù)題意答案為：25，28，27，24，26【答案】25，28，27，24，26【例 13】 右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環(huán)標(biāo)志請(qǐng)將 1 : 9 分別填入五個(gè)圓相互分割的九個(gè)部分，并且使每個(gè)圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【解析】設(shè)每個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和為 k 

33、，則五個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和是 5k ，它等于 1 : 9 的和 45 再加上兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)之和而兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)之和最小是1 + 2 + 3 + 4 = 10 ，最大是 6 + 7 + 8 + 9 = 30 ，所以，5k £ 45 + 30 = 75

34、0;， 5k ³ 45 + 10 = 55 ，即11 £ k £ 15 當(dāng) k = 11 ，13 ，14 時(shí)可得四種填法(見右下圖)86314752 9   86147  329 59     7     &#

35、160;     4abcd76532  8146 2  3 985 1當(dāng) k = 15 時(shí)，如右上圖，設(shè)兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)分別為a ， b ， c ， d ，由上面的分析可知，a ， b ，c ， d 分別為 6 ， 7 ， 8 ， 9&

36、#160;，由于 6 + 9 = 15 ， 7 + 8 = 15 ，那么，不論 a 為多少，最左邊的數(shù)總是會(huì)與 b ， c ， d 中的某一個(gè)相同，矛盾所以當(dāng) k = 15 時(shí)沒有符合題意的填法當(dāng) k = 12 時(shí)， a + b + c + d

37、60;= 12 ´ 5 - 45 = 15 如果 a ， b ， c ， d 中有一個(gè)數(shù)為 3 ，比如 a = 3 ，那么b + c + d = 12 ，這樣與 b ， c 在同一個(gè)圓內(nèi)的那個(gè)數(shù)將與 d 相同可見 a ，

38、 b ， c ， d 都不能為 3 如果 a ， b ， c ， d 中至少有 3 個(gè)數(shù)大于 3 ，那么它們至少為 4 ， 5 ， 6 ，另一個(gè)數(shù)至少為1 ，它們的和將不小于1 + 4 + 5 + 6 = 16 ，矛盾所以a ，b

39、 ，c ，d 中至少有 2 個(gè)數(shù)小于 3 ，這2 個(gè)數(shù)只能為1 和 2 ，那么另兩個(gè)數(shù)之和為12 如果這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)為 a 或者 d ，那么最左邊或者最右邊的數(shù)將與 a ，b ，c ， d 中的某一個(gè)相同，矛盾；如果這兩個(gè)數(shù)為b 和 c ，那么與 b ， c 在同一個(gè)圓內(nèi)的那個(gè)數(shù)將只能為 0

40、60;，這也不可能出現(xiàn)所以當(dāng) k = 12 時(shí)也沒有符合題意的填法【答案】當(dāng) k = 11 ，13 ， 14 時(shí)可得四種填法86314752 9   86147  329 59     7           476532  8146

41、60;2  3 985 1【例 14】 2008 年奧運(yùn)會(huì)在北京舉行。“奧”、“運(yùn)”、 “會(huì)”、“北”、“京”這五個(gè)漢字代表五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，將其分別填在五環(huán)圖案的五個(gè)環(huán)內(nèi)，滿足 “奧”+“運(yùn)”+“會(huì)”=“北”+“京”。這五個(gè)自然數(shù)的和最大是。7奧運(yùn)會(huì)北京【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初賽，第 2 題）（【解析】不妨設(shè)最小一個(gè)數(shù)是 x，那么這 5 個(gè)數(shù)是 x，x+1，x+2，x+3，x+4.但無

42、法將它們對(duì)應(yīng)，但無論怎么樣，列出的方程一定是這個(gè)形式的： x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e），其中 a、b、c、d、e 分別是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c），如果連續(xù) 5 個(gè)自然數(shù)最大，那么最小的那個(gè)自然數(shù)也必須取得最大，顯然減號(hào)前是 3、4，減號(hào)后 0、1、2 時(shí)，x 取得最大值 4，所以這 5 個(gè)數(shù)是 4、5、6、7、8，和為 30【答案】 30【例 15】 

43、如圖， A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， I 代表九個(gè)各不相同的正整數(shù)，且每個(gè)圓中所填數(shù)的和都等于 2008 。這九個(gè)數(shù)總和最小為?！究键c(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，5 年級(jí)，決賽，第 12 題，15 分【解析】假 設(shè) 9 個(gè) 數(shù) 總

44、60;和 是 M ， 則 M = A + B + C + D + E + F + G + H + I , 上 面 三 個(gè) 環(huán) 的 總 和 為 ：3 ´ 2008 = M - C -

45、 G ，所以當(dāng) C + G = 1 + 2 時(shí)，總和最小為 2008 ´ 3 + 3 = 6027 ?！敬鸢浮?#160;6027【例 16】 如圖， A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， I&

46、#160;代表九個(gè)各不相同的正整數(shù)， A ， B ， C ， D ， E ，F(xiàn) ， G ， H ， I 的總和是 2008 ，并且每個(gè)圓中所填的數(shù)和都等于 M 。 (1) M 最大為多少？ (2) M最小為多少？【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】6 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6 年級(jí)，決賽，第 11 

47、;題，15 分【解析】上面三個(gè)環(huán)里數(shù)的和為 3M ， 3M + C + G = 2008 ， 3M = 2008 - C - G ，所以 M 最大可以取 668 ，此時(shí) C ，G 分別為1 ，3 。五環(huán)的和是 5M = 2008 + B + D

48、60;+ F + H ，要使 M 最小，只要取 B + D + F + H最小為12 ，此時(shí) M = 404 。【答案】最大 668 ，最小12【例 17】 將數(shù)字 19 分別填在下圖空白的正六邊形格子中，使得箭頭所指直線方向上空格中所填的數(shù)字和等于該箭頭所在格中的給定數(shù)（每個(gè)方向上所填的數(shù)互不相同，且到寫有另一個(gè)給定數(shù)字的格為A + B

49、 + C + D = 20,止）。例如： E + F + G + H + C + I = 22, 當(dāng)填寫完后，字母 C 處所寫的數(shù)字是_。J + K + M + N = 19。23 202661910 27J  K  M 

50、0;N20D2220E  F  G  H  CB 10I  924 28AA.4B.5C.7D.98直線 l  上的 4 個(gè)數(shù)之和是12 ，只有： 1 + 2 + 3 + 6 = 12 或 1 + 2 + 4 + 5 = 12&#

51、160;，再考慮到 G 等于 5 或 7 ，【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】6 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)試，7 題【解析】 l l C ，提示：在下圖中，直線l 上的 6 個(gè)數(shù)之和是，只有1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22 ，直線 l 上的 5 個(gè)3412數(shù)之和是 35 ，只有 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35 ，所以