2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)案-一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

1、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系【課前熱身】1.方程（2x1）（3x+1）=x2+2化為一般形式為_，其中a=_，b=_，c=_2.關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一個(gè)根為零，則m的值等于_3.關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)根為x1=1，x2=2，則x2+mx+n分解因式的結(jié)果是_4. 關(guān)于x的一元二次方程2x23xa2+1=0的一個(gè)根為2，則a的值是（ ） A1 B C D±5. 若關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值等于（ ） A1 B2 C1或2 D0【參考答案】1. 5x2x3=0 5 1 32.

2、 33.（x1）（x+2）5.D6.B【考點(diǎn)聚焦】知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程根的判別式、判別式與根的個(gè)數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達(dá)定理及其逆定理大綱要求:1.掌握一元二次方程根的判別式，會(huì)判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況.對(duì)含有字母系數(shù)的由一元二次方程，會(huì)根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況，也會(huì)根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍； 2.掌握韋達(dá)定理及其簡單的應(yīng)用； 3.會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式分解因式； 4.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理分析解決一些簡單的綜合性問題.【備考兵法】考查重點(diǎn)與常見題型 1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，有關(guān)試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，如：關(guān)于x的方程ax- 2

3、 - / 1222x10中，如果a<0，那么根的情況是（ ） （A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （C）沒有實(shí)數(shù)根 （D）不能確定 2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值，有關(guān)問題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如： 設(shè)x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題.在近三年試題中又出現(xiàn)了有關(guān)的開放探索型試題，考查了考生分析問題、解決問題的能力. 在一元二次方程的應(yīng)用中，列一元二次方程解應(yīng)用問題的步驟和解法與前

4、面講過的列方程解應(yīng)用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實(shí)際問題有意義，凡不滿足實(shí)際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）在使用根的判別式解決問題時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，要加上二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)限制條件.（2）應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： 根的判別式； 二次項(xiàng)系數(shù)，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.【考點(diǎn)鏈接】1.一元二次方程根的判別式關(guān)于x的一元二次方程的根的判別式為 .（1）>0一元二次方程有兩個(gè) 實(shí)數(shù)根，即 .（2）=0一元二次方程有 相等的實(shí)數(shù)根，即 .（3）<0一元二次方程 實(shí)數(shù)根.

5、2一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若關(guān)于x的一元二次方程有兩根分別為，那么 ， .【典例精析】例1（2009年四川綿陽）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 + 2（k1）x + k21 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說明理由【分析】這是一道確定待定系數(shù)m的一元二次方程，又討論方程解的情況的優(yōu)秀考題，需要考生具備分類討論的思維能力【答案】（1）= 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 8k + 80，解得 k1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是 k1（2）假設(shè)0

6、是方程的一個(gè)根，則代入得 02 + 2（k1）· 0 + k21 = 0，解得 k =1 或 k = 1（舍去）即當(dāng) k =1時(shí)，0就為原方程的一個(gè)根此時(shí)，原方程變?yōu)?x24x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一個(gè)根是4 例2（2009年北京）已知下列n（n為正整數(shù)）個(gè)關(guān)于x的一元二次方程： x21=0 （1） x2+x2=0 （2） x2+2x3=0 （3） x2+（n1）xn=0 （n） （1）請(qǐng)解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）； （2）請(qǐng)你指出這n個(gè)方程的根具有什么共同特點(diǎn)，寫出一條即可 【分析】由具體到一般進(jìn)行探究 【答案】（1）<1

7、>（x+1）（x1）=0，所以x1=1，x2=1 <2>（x+2）（x1）=0，所以x1=2，x2=1 <3>（x+3）（x1）=0，所以x1=3，x2=1 <n>（x+n）（x1）=0，所以x1=n，x2=1 （2）比如：共同特點(diǎn)是：都有一個(gè)根為1；都有一個(gè)根為負(fù)整數(shù)；兩個(gè)根都是整數(shù)根等 【點(diǎn)評(píng)】本例從教材要求的基本知識(shí)出發(fā)，探索具有某種特點(diǎn)的方程的解題規(guī)律及方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，注重了對(duì)學(xué)生觀察、類比及聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法的考查例3（2008年江蘇南京）某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，

8、其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？【答案】解法一：設(shè)矩形溫室的寬為xm，則長為2xm，根據(jù)題意，得 （x2）·（2x4）=288 解這個(gè)方程，得x1=10（不合題意，舍去），x2=14 所以x=14，2x=2×14=28 答：當(dāng)矩形溫室的長為28m，寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2 解法二：設(shè)矩形溫室的長為xm，則寬為xm 根據(jù)題意，得（x2）·（x4）=288 解這個(gè)方程，得x1=20（不合題意，舍去），x2=28 所以x=28×x=×28=14 答：當(dāng)矩形溫室的長為28m

9、，寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2【解析】在一元二次方程的應(yīng)用中，列一元二次方程解應(yīng)用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應(yīng)用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實(shí)際問題有意義，凡不滿足實(shí)際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去【迎考精練】一、選擇題1.（2009年臺(tái)灣）若a 、b為方程式x2-4(x+1)=1的兩根，且ab，則=_？ A5 B4 C1 D. 3 2.（2009年湖南株洲）定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程. 已知 是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是A B C D 3.(2009年四川成都)若關(guān)

10、于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A. B.且 C. D. 且4.（2009年內(nèi)蒙古包頭）關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，且，則的值是（ ）A1 B12 C13 D255.（2009湖北荊州）關(guān)于x的方程只有一解（相同解算一解），則a的值為（ ）A B C D或6.（2009年山東煙臺(tái)）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）A2006 B2007 C2008 D2009 7（2009年湖北宜昌）設(shè)方程x24x1=0的兩個(gè)根為x1與x2，則x1x2的值是( )A4 B1 C1 D 08（2009年湖北十堰）下列方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（ ）A B C D9（2009年

11、四川眉山）若方程的兩根為、，則的值為() A3 B3 C D10（2009年山東東營）若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空題1.(2009年上海市)如果關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么 2.（2009年山東泰安）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。3.（2009年廣西崇左）一元二次方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為 4.（2009年廣西賀州）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 三、解答題1.（2009年山東淄博） 已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且（1）求及a的值；（2）求的值2(2009年廣東

12、中山)已知：關(guān)于的方程（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根是，求另一個(gè)根及值3.（2009年重慶江津區(qū)）已知、分別是ABC的三邊，其中1，4，且關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷ABC的形狀.4（2009年湖南懷化）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為設(shè)的外接圓的圓心為點(diǎn)（1）求與軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值 5（2009年湖北黃石）已知關(guān)于的函數(shù)（為常數(shù)）（1）若函數(shù)的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的值；（2）若函數(shù)的圖象是拋物線，且頂點(diǎn)始終在軸上方，求的取值范圍【參考答案】選擇題1. A2. A3. B

13、4. C【解析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式.由題意知： 又 得， ，而當(dāng)時(shí)，原方程的判別式，此時(shí)方程無解， 不合題意舍去. ，故選 C本題易出錯(cuò)，學(xué)生易在求得或的兩個(gè)值后，代入，求出或11，易漏掉檢驗(yàn)方程是否存在實(shí)根.5. D【解析】本題考查方程的有關(guān)知識(shí)，關(guān)于x的方程只有一解，有兩種情況，該方程是一元一次方程，此時(shí)，該方程是一元二次方程，方程有兩個(gè)相等等的實(shí)數(shù)根，解得，故選D.6. C7. B8. A9. B10. D填空題1. 2. 3.34. 解答題1. 解：（1）由題意，得 解得 所以（2）法一： 由題意，得所以= = 法二： 由題意，得，所以= = = 2. 解：（1），無論取何值，所以，即，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）設(shè)的另一個(gè)根為，則，解得：，的另一個(gè)根為，的值為13. 解:方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=b=4.c=4.b=c=4.ABC為等腰三角形.4. 解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為由題設(shè)可知是方程即的兩根，故，所以如圖3，P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，設(shè)它們的