最新人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2 綜合測試題4(含答案解析)

1、高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測試題一、選擇題1下列說法正確的是（）若 f ¢( x ) = 0 ，則 f ( x ) 是函數(shù) f ( x) 的極值n0若 f ( x ) 是函數(shù) f ( x) 的極值，則 f ( x) 在 x 處有導(dǎo)數(shù)00函數(shù) f (

2、60;x) 至多有一個極大值和一個極小值定義在 R 上的可導(dǎo)函數(shù) f ( x) ，若方程 f ¢(x) = 0 無實數(shù)解，則 f ( x) 無極值答案：2復(fù)數(shù) z = a + bi(a，b Î R) ，則 z2 Î R 的充要條件是（） a2 + b2

3、0;= 0 a = 0 且 b ¹ 0 ab = 0 a ¹ 0答案：3設(shè) f ¢(x) 是函數(shù) f ( x) 的導(dǎo)函數(shù)， y = f ¢( x) 的圖象如圖所示，則 y = f (x) 的圖象最有可能的是（答案：4下列計算錯誤的是（）&#

4、160;ò  sin xdx = 0-） ò 1 xdx =023 ò 2 cos xdx = 2ò 2 cos xdx2                 03    &

5、#160;         3     0 或 1-  ò  sin2 xdx = 0-答案：uuuuruuuur5若非零復(fù)數(shù) z ， z 滿足 z + z = z - z ，則 OZ 與 OZ 所成

6、的角為（）12121212 30° 45° 60° 90°答案：6已知兩條曲線 y = x2 - 1 與 y = 1 - x3 在點 x 處的切線平行，則 x 的值為（）000 - 2或 - 2答案：7我們把 1，4，9，16，25，L 這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正方形（

7、如下圖）試求第 n 個正方形數(shù)是（）n(n - 1) n(n + 1) n2 (n + 1)2答案：8 i3 + i4 + L + i2005 的值為（） -i i10答案：9函數(shù) y = 2x2 - x4 ，則 y 有（）極大值為 1，極小值為 0極大值為 1，無極小值最大值為

8、 1，最小值為 0無極小值，也無最小值答案：10下列推理合理的是（） f ( x) 是增函數(shù)，則 f ¢(x) > 0因為 a > b(a，b Î R ) ，則 a + 2i > b + 2i ABC 為銳角三角形，則 sin A + sin B

9、60;> cos A + cos B直線 l  l ，則 k = k1212答案：11 a + b > 2c 的一個充分條件是（） a > c 或 b > c a > c 且 b > c a > c 

10、;且 b < c a > c 或 b < c答案：412函數(shù) f ( x) = ax3 + (a - 1)x2 + 48(a - 2) x + b 的圖象關(guān)于原點中心對稱，則 f ( x) 在 -4， 上（單調(diào)遞增單調(diào)遞減04 -4，

11、0;單調(diào)遞增， 0， 單調(diào)遞減04 -4， 單調(diào)遞減， 0， 單調(diào)遞增答案：）二、填空題13設(shè) x，y Î R 且x    y     5-     =1 - i 1 - 2i  1 - 3i，則 x + y =

12、0;        17求函數(shù) y =x3 -(a + a2 )x2 + a3 x + a2 的單調(diào)遞減區(qū)間解： z =   (cosq - sin q +   2) 2 + (cosq + sin q )2&

13、#160;=4 + 2   2(cos q - sin q ) =4 + 4cos çq + ÷ 當(dāng) q = 2k -(k Î Z) 時，答案： -6（14在空間這樣的多面體，它有奇數(shù)個面，且它的每個面又都有奇數(shù)條邊 填“不存在”或“存在”）答案：不存在15設(shè) f ( x)

14、60;= e x ，則 ò 4 f ( x)dx =-2答案： e2 + e4cb16已知： ABC 中， AD  BC 于 D ，三邊分別是 a，b，c ，則有 a = ·cos B + ·cos C ；類比上述結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體 P

15、0;- ABC 中，ABC ， PAB PBC PCA 的面積分別是 S，S ，S ，S ，123二面角 P - AB - C，P - BC - A，P - AC - B 的度數(shù)分別是a，b，g ，則 S =答案： S cosa + S cos b 

16、+ S cos g123三、解答題1132解： y¢ = x2 - (a + a2 ) x + a3 = ( x - a)(x - a 2 ) ，令 y¢ < 0 ，得 ( x - a)(x - a2 ) <

17、 0 （1）當(dāng) a < 0 時，不等式解為 a < x < a2 ，此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (a，a2 ) （2）當(dāng) 0 < a < 1 時，不等式解為 a2 < x < a ，此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (a2，a) （3）當(dāng) a >

18、60;1 時，不等式解為 a < x < a2 ，此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (a，a2 ) 18設(shè)復(fù)數(shù) z = cos q - sin q + 2 + i(cosq + sin q ) ，當(dāng) q 為何值時， z 取得最大值，并求此最大值æ öè4&

19、#160;ø4z 的最大值為 2 2 =，且前 n 項的算術(shù)平均數(shù)等于第 n 項的 2n - 1 倍（ n Î N* ）19在數(shù)列 an中， a113（1）寫出此數(shù)列的前 5 項；（2）歸納猜想 an的通項公式，并加以證明解：（1）由已知 a  =，1n = (2n - 1)a  

20、;，分別取 n = 2，3          n得 a  =a  =    =  ， a  =  (a  + a ) =    =  ，513 ´ 5 

21、0;15      1415 ´ 7  351a + a + a + L + a233 4 51n111111232(a  + a  + a ) =    =  ，2717 ´ 9  63(a

22、0; + a  + a  + a ) =     =  ，44                9 ´11  99a =4a =51      

23、0;       1    12 31                  1    11 2 3 4所以數(shù)列的前 5 項是： a  =， a  =&#

24、160; ，a  =  ，a  =  ，a  =  3      15     35     63     99（2）由（1）中的分析可以猜想 a  =      

25、60;    (2n - 1)(2n + 1)11111123451n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n = 1 時，公式顯然成立假設(shè)當(dāng) n = k 時成立，即 a =k1(2k - 1)(2k + 1)，那么由已知，k + 1得a + a + a + L + a +

26、0;a1 2 3 k k +1 = (2k + 1)ak +1，即 a + a + a + L + a = (2k 2 + 3k )a123kk +1，所以 (2k 2 - k )a = (2k 2 + 3k )ak即 

27、(2k - 1)a = (2k + 3)a，kk +1k +1，又由歸納假設(shè)，得 (2k - 1)1(2k - 1)(2k + 1)= (2k + 3)ak +1，k +1  =所以 a1(2k + 1)(2k + 3)，即當(dāng) n = k + 1 時，公式也成立由和知，

28、對一切 n Î N * ，都有 a =n1(2n - 1)(2n + 1)成立令 y = 0 ，得 x =   0 ，即 C ç0 ，÷ xæ x  ö20如圖，在曲線 y = x2 ( x  0)&

29、#160;上某一點 A 處作一切線使之與曲線以及 x 軸所圍的面積為（1）切點 A 的坐標(biāo)；（2）過切點 A 的切線方程解 ： 設(shè) 切 點 A( x ，y ) ， 由 y¢ = 2x ， 過 A 點 的 切 線 方 程 為00y - y = 

30、;2x ( x - x ) ，即 y = 2x x - x2 0000002è 2ø設(shè)由曲線過 A 點的切線及 x 軸所圍成圖形的面積為 S ，112，試求：   曲邊AOB  - S   曲邊AOB  = òx2dx = x3&

31、#160;|x0 = x3 ，3     30S =， ABCx001 10x   ö2 1·x  = x3 BC·AB =ç x  -02         2 è02  ø &#

32、160;  40S ABC =1         1 æ÷ 0即 S =x3 -x3 =  x3 =  3    4    12    12解 ：（ 1 ） 定 價

33、60;上 漲 x 成 ， 即 為  A ç1 + ÷  時 ， 賣 出 的 個 數(shù) 為 B ç1 -  ÷ ，納稅 a 成后，剩余y = AB ç1 +  ÷ç 1 -&

34、#160; ÷ç 1 -  ÷ （2）上式整理得 y = AB ç1 - ÷ ê-x2 + ç  -  ÷ x + 1ú ，1111000，所以 x = 1 ，從而切點 A(11) ，切線方程為 y 

35、= 2x - 1021由于某種商品開始收稅，使其定價比原定價上漲 x 成（即上漲率為 x ），漲價后商品賣出的個數(shù)減少 bx10成，稅率是新價的 a 成，這里 a ， b 均為常數(shù)，且 a < 10 ，用 A 表示過去定價， B 表示賣出的個數(shù)（1）設(shè)售貨款扣除稅款后，剩余 y 元，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式

36、；（2）要使 y 最大，求 x 的值x öææbx öè10 øè10 øæx öæbx öæa öè10 øè10 øè10 øæa öébæ 1b öùè1

37、0 ø ë 100è 1010 øû當(dāng) y¢ = AB ç1 - ÷æa öé b   1  b ùè  10 ø ëê   501010 ûú-x&

38、#160;+-，令 y¢ = 0 ，則 x =5(1- b)b時，= AB ç1 -  ÷·    ymaxæ a ö (1+ b)2è 10 ø 4b22已知函數(shù) f ( x) = ç x2 +÷&

39、#160;( x + a)(a Î R ) 16解： f ( x) = x3 + ax2 + x +a ， f ¢( x) = 3x2 + 2ax + 則 D = 4a2 - 4 ´ 3 ´ 

40、0;  0 ， a2 ，所以 a 的取值范圍是 ç -，-2 ú U ê  2，+ ÷ 3 - 2a +  3= 0 ， a = ，æ3 öè2 ø（1）若函數(shù) f ( x) 的圖象上有與 

41、x 軸平行的切線，求 a 的范圍；0)（ 2 ）若 f ¢(-1) = 0 ，（）求函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間； （）證明對任意的x ， x Î (-1， ，不等式12f ( x ) - f ( x ) < 5 恒成立12332232（1）函數(shù) f (

42、 x) 的圖象有與 x 軸平行的切線， f ¢( x) = 0 有實數(shù)解39223ùé 32ûë 2æöèø（2） f ¢(-1) = 0 ，924 f ( x) = x3 + x2 + x +93274282 

43、0;x +2  = 3ç x +÷ (x + 1) ， f ¢( x) = 3x2 + 93 æ 1 öè 2 ø（）由 f ¢(x) > 0 得 x < -1 或 x >

44、 -；由 f ¢(x) < 0 得 -1 < x < -， f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-，- 1) ， ç -   ，+ ÷ ；單調(diào)減區(qū)間為 ç -1，-÷ 16  ，f ç - &#

45、160; ÷ =8   ，1212æ 1öè 2øæ1 öè2 ø（）易知 f ( x) 的極大值為 f (-1) = 25 ， f ( x) 的極小值為8又 f (0) = 27æ 1 ö 

46、0;49è 2 ø8   ，最小值 m =16  0 f ( x) 在 -1， 上的最大值 M = 274916  0) 對任意 x ，x (-1， ，恒有 f (x ) - f ( x ) < M - 

47、m =121227  498 - 16 =5高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測試題一選擇題（每小題 5 分，共 60 分）1 - i  ，則 z 的虛部等于1.若復(fù)數(shù) z = (1 + i) 2 +2A.1B.3C.iD. 3i2. f ( x) 和 g ( x) 是 

48、R 上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若 f ' ( x) = g ' ( x) ，則有A. f ( x) = g ( x)B. f ( x) + g ( x) 是常數(shù)函數(shù)C. f ( x) = g ( x) = 0D. f (&

49、#160;x) - g ( x) 是常數(shù)函數(shù)3.一個物體的運動方程是 s = 3t cos t + x （ x 為常數(shù)），則其速度方程為A. v = 3cos t - 3t sin t + 1B. v = 3cos t - 3t sin tC. v 

50、= -3sin tD.v = 3cos t + 3t sin t1 + z  = i ，則 | 1 + z | 的值等于4.設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1 - z2           C.  1A.1 

51、60;            B.  1A.0B.1C. 2D.2p5.定積分 ò 2 sin x cos xdx 的值等于04D. 02  ， y =6.已知 a, b 是不相等的正數(shù)， x =a + ba + b ，

52、則 x, y 的大小關(guān)系是    A. x > yB. x < yC. x >2 y        D.不確定7.若函數(shù) y =6 xx 2 + 1，則其      A.有極小值 - 3 ，極

53、大值 3B.有極小值 - 6 ，極大值 6C.僅有極大值 6D.無極值8.已知復(fù)數(shù) z 的模等于 2，則 | z - i | 的最大值等于A.1B.2C. 5D.39.設(shè) f ¢( x) 是函數(shù) f ( x) 的導(dǎo)函數(shù)， y = f ¢( x) 的圖象如圖所示，則 y&

54、#160;= f ( x) 的圖象最有可能的是yO12x10.若 ( 1 + i1 - i) n + () n = 2 ，則 n 的值可能為1 - i1 + iA.4B.5C.6D.711.若函數(shù) f ( x) = x 3 - 12 x 在區(qū)間 (k 

55、;- 1, k + 1) 上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù) k 的取值范圍是A. k £ -3 或 - 1 £ k £ 1 或 k ³ 3B. - 3 < k < -1或1 < k < 3C. - 2 &l

56、t; k < 2D.不存在這樣的實數(shù) k12.定義復(fù)數(shù)的一種運算 z * z =12| z | + | z |1 22(等式右邊為普通運算 ),若復(fù)數(shù) z = a + bi ,且實數(shù) a,b 滿足a + b = 3 ,則 z * z 最小值為A.3 &#

57、160;29                            3             9B.       &#

58、160;       C.              D.22                           &#

59、160;2             4二. 填空題（每小題 4 分，共 16 分）13.設(shè)復(fù)數(shù) z = 1 - i, z =123 + i, 則z = zz1 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第 象限.214.方程 x 3 - 6 x

60、60;2 + 9 x - 4 = 0 實根的個數(shù)為.15.已知函數(shù) f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c ，x Î -2，2表示的曲線過原點，且在 x±1 處的切線斜率均為-1，有以下命題：f（x）的解析式為： f ( x) = x3 - 4

61、 x ， x Î -2，2；f（x）的極值點有且僅有一個；f（x）的最大值與最小值之和等于零.其中正確的命題是.16.仔細(xì)觀察下面 4 個數(shù)字所表示的圖形：請問：數(shù)字 100 所代表的圖形中有方格三. 解答題（共 74 分）(1 + i) 2 + 3(1 - i)17.設(shè)復(fù)數(shù) z =，若 z 2 + mz + n

62、60;= 1 + i ，求實數(shù) m，n 的值.2 + i18.若函數(shù) f ( x) = ln x - 12ax 2 - 2 x 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù) a 的取值范圍.19. 觀 察 給 出 的 下 列 各 式 ：（ 1 ） tan10&

63、#160;0 × tan 20 0 + tan 20 0 × tan 60 0 + tan 60 0 × tan10 0 = 1 ；（ 2 ）tan 50 × tan150 + tan150 × tan 70 0

64、0;+ tan 70 0 × tan 50 = 1.由以上兩式成立，你能得到一個什么的推廣？證明你的結(jié)論.20.滿足 Z + 5Z是實數(shù)，且 Z+3 的實部與虛部互為相反數(shù)的虛數(shù) Z 是否存在？若存在，求出虛數(shù) Z；若不存在，請說明理由.21.已知函數(shù) f(x)=(x2+32)(x+a)(aΠR).(1)若函數(shù) f(x)的圖象上有與 x 軸平行的切線，求 

65、a 的范圍；(2)若 f ' (-1)=0,(I)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；（II）證明對任意的 x1、x2Π(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|< 恒516成立.a22.已知函數(shù) f ( x) = ln(2 - x) + mx 在區(qū)間 (0,1) 上是增函數(shù).（1）求實數(shù) m 的取值范圍；（2）若數(shù)列n滿足 a 

66、06; (0,1), a1n+1= ln(2 - a ) + a (n Î N * ) ，證明： 0 < a < an n nn+1< 1 .參考答案一. 選擇題1.B2.D3.B4.C5.B6.B7.A8.D9.C10.A11.B12.B二. 填空題13.四14.215.（1）（3）16.20201三. 解答

67、題17.解析： z =(1 + i) 2 + 3(1 - i)  2i + 3 - 3i  3 - i  (3 - i)(2 - i)=          =     =  

68、60;         = 1 - i ，將 z = 1 - i 代入2 + i         2 + i    2 + i  (2 + i)(2 - i)z

69、 2 + mz + n = 1 + i ，得 (1 - i) 2 + m(1 - i) + n = 1 + i ，所以 (m + n) - (m + 2)i = 1 + iì于是 ím + 

70、n = 1,î- (m + 2) = 1.得 m = -3, n = 4 .1ax 2 + 2 x - 118.解析：由于 f ' ( x) =- ax - 2 = -xx. 因為函數(shù) f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 f ' 

71、;( x) <0 有解.又因為函數(shù)的定義域為 (0,+¥) ，則 ax2+2x1>0 應(yīng)有 x>0 的解.當(dāng) a>0 時，y=ax2+2x1 為開口向上的拋物線，ax2+2x1>0 總有 x>0 的解；當(dāng) a<0 時，y=ax2+2x1 為開口向下的拋物線，而 ax2+2x1>0 總有x>0 的解，則=4+4>0,且方

72、程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此時，1<a<0.綜上所述，a 的取值范圍為（1，0）（0，+）.19. 解析：可以觀察到： 10 0 + 20 0 + 60 0 = 90 0 ,50 + 15 0 + 70 0 = 90 0 ，故可以猜想此推廣式為：若2   ，2  (

73、k Î Z )a + b + g = p且   a , b , g   都   不   等   于   kp + p，   則   有tan a × tan&#

74、160;b + tan b × tan g + tan b × tan g = 1 .2   得 a + b =證明如下：由 a + b + g = pp p- g ， 所 以 tan(a + b )

75、 = tan(2                        2- g ) = cot g ， 又 因 為tan(a + b ) = tan a + tan 

76、b ，所以 tan a + tan b = tan(a + b )(1 - tan a tan b ) = cot g (1 - tan a tan b )1 - tan a tan b所以 tan a × tan b&

77、#160;+ tan b × tan g + tan b × tan g = tan g (1 - tan a tan b ) cot g + tan a tan b = 1 .Q20.解析：設(shè)存在虛數(shù) Z=x+yi（x、yR 且 y0）。

78、 z +5          5         5x          5 y= x + yi +     = x + + ( y

79、0;-      )i.z         x + yi     x 2 + y 2 x 2 + y 2îx + y = -3.î y = -2î y = -1

80、ì5 yx 2 + y 2ï y -= 0ìx 2 + y 2 = 5,ìx = -1ìx = -2由已知得 í，因為 y ¹ 0, í解之得í或íîïx + 3 = - y 存在虛數(shù)Z&#

81、160;= -1 - 2i或Z = -2 - i滿足以上條件.21.解析：Q f ( x) = x3 + ax2 +3   3                     3x + a 

82、;， f '(x) = 3x2 + 2ax +2   2                     2Q 函數(shù) f ( x) 的圖象有與 x 軸平行的切線， f '(x) = 0 有實數(shù)解則D = 4a2 - 4