廣州中考數(shù)學專題復習定值和極值問題(共11頁)

1、初三數(shù)學講義定值問題一課堂銜接1.課前交流，幫助整理知識點。2.復習舊知，課前練習。二知識點歸納整理 1. 幾何定值問題 (1)定量問題：解決定量問題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。探求定值的方法一般有運動法、特殊值法及計算法。 (2)定形問題：定形問題是指定直線、定角、定向等問題。在直角坐標平面上，定點可對應(yīng)于有序數(shù)對，定向直線可以看作斜率一定的直線，實質(zhì)上這些問題是軌跡問題。 2. 函數(shù)與幾何綜合類的問題中求定值(1).乘積、比值類型(2).定長、定角、定點、定值類型(3).倒數(shù)和類型解題步驟 (1)利用特殊情形猜出定值 (2)對一般情形加以證明三例題分析幾何

2、圖形中定值問題 例1. 已知的兩邊的中點分別為M、N，P為MN上的任一點，BP、CP的延長線分別交AC、AB于D、E，求證：為定值。 例2. 兩圓相交于P、Q兩點，過點P任作兩直線與交一圓于A、B，交另一圓于、，AB與交于點C，求證：為定值。 例3. 在定角XOY的角平分線上，任取一點P，以P為圓心，任作一圓與OX相交，靠近O點的交點為A，與OY相交，遠離O點的交點為B，則為定角。乘積、比值類型例題1如圖，已知ABC為直角三角形，ACB=90°，AC=BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B、D（1）求點A的坐

3、標（用m表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連結(jié)PQ并延長交BC于點E，連結(jié)BQ并延長交AC于點F，試證明：FC(ACEC)為定值xQPFEDCBAO定長、定角、定點、定值類型例題2如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC 上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=xb交折線OAB于點E（1）記ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點E在線段OA上時，且tanDEO=若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是

4、否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由例題3已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）的圖象經(jīng)過點C（0，1），且與x軸交于不同的兩點A、B，點A的坐標是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點，設(shè)A、B、C、D四點構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點P，記PCD的面積為S1，PAB的面積為S2，當0a1時，求證：S1S2為常數(shù)，并求出該常數(shù)例題4孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax2(a0)的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請

5、解答以下問題：（1）若測得OA=OB=2（如圖1），求a的值；（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過B作BFx軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標倒數(shù)和類型例題5已知菱形ABCD邊長為1ADC=60°，等邊AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F。（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動

6、記等邊AEF的外心為點P 猜想驗證：如圖2猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明； 拓展運用：如圖3，當AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值若是請求出該定值；若不是請說明理由。練習一. 幾何定值問題 1. 求證：正三角形內(nèi)一點到三邊距離之和為定值。 2. 在正方形ABCD的外接圓的AD上任取一點P，則(PCPA)：PB為定值。3. 已知CD是半徑為R的O的直徑，AB是動弦，AB與CD相交于E，且成角，求證：為定值。4（2011遵義）如圖，梯形ABCD中，ADBC，BC=20cm，AD=10cm，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從B、D兩點同

7、時出發(fā)，點P以每秒2cm的速度沿BC向終點C移動，點Q以每秒1cm的速度沿DA向終點A移動，線段PQ與BD相交于點E，過E作EFBC交CD于點F，射線QF交BC的延長線于點H，設(shè)動點P、Q移動的時間為t（單位：秒，0t10）（1）當t為何值時，四邊形PCDQ為平行四邊形（2）在P、Q移動的過程中，線段PH的長是否發(fā)生改變?nèi)绻蛔儯蟪鼍€段PH的長；如果改變，請說明理由考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；梯形。分析：（1）如果四邊形PCDQ為平行四邊形，則DQ=CP，根據(jù)P、Q兩點的運動速度，結(jié)合運動時間t，求出DQ、CP的長度表達式，解方程即可；（2）PH的長度不變，根據(jù)P、Q兩點

8、的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=205如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒（t0），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為 A （1，0），B （1，5），D （4，0）（1）求c，b （用含t的代數(shù)式表示）：（2）當4t5時，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N在點P的運動過程中，你認為AMP的大小是否會變化若變化，說明理由；若不變，求出AMP的值；求MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，要S=；（3）在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把

9、橫、縱 坐標都是整數(shù)的點稱為“好點”若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；（2）當x=1時，y=1t，求得M的坐標，則可求得AMP的度數(shù)，由S=S四邊形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM，即可求得關(guān)于t的二次函數(shù)，列方程即可求得t的值；（3）根據(jù)圖形，即可直接求得答案練習4. 解答：解：（1）ADBC，BC=20cm，AD=10cm，點P、Q分別從B、D兩點同時出發(fā)，點P以每秒2cm的速度沿BC向終點C移動，點Q以每秒1cm的速度沿DA

10、向終點A移動，DQ=t，PC=202t，若四邊形PCDQ為平行四邊形，則DQ=PC，202t=t，解得：t=；（2）線段PH的長不變，ADBH，P、Q兩點的速度比為2：1，QD：BP=1：2，QE：EP=ED：BE=1：2，EFBH，ED：DB=EF：BC=1：3，BC=20，EF=，：=，PH=20cm點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于求得DQ和PC的長度表達式，推出DQ和PC的長度比為1：2練習5. 解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=t；（2

11、）不變?nèi)鐖D6，當x=1時，y=1t，故M（1，1t），tanAMP=1，AMP=45°；S=S四邊形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM=（t4）（4t16）+（4t16）+（t1）×3（t1）（t1）=t2t+6解t2t+6=，得：t1=，t2=，4t5，t1=舍去，t=（3）t點評：此題考查了二次函數(shù)與點的關(guān)系，以及三角形面積的求解方法等知識此題綜合性很強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用例題2考點：一次函數(shù)綜合題。分析：（1）要表示出ODE的面積，要分兩種情況討論，如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D

12、點縱坐標），代入三角形面積公式即可；如果點E在AB邊上，這時ODE的面積可用長方形OABC的面積減去OCD、OAE、BDE的面積；（2）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化解答：解：（1）四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），B（3，1），若直線經(jīng)過點A（3，0）時，則b=，若直線經(jīng)過點B（3，1）時，則b=，若直線經(jīng)過點C（0，1）時，則b=1，若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1b，如圖1，此時E（2b，0），S=OECO=×2b×

13、;1=b；若直線與折線OAB的交點在BA上時，即b，如圖2此時E（3，b），D（2b2，1），S=S矩（SOCD+SOAE+SDBE）=3（2b2）×1+×（52b）（b）+×3（b）=bb2，S=；（2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積由題意知，DMNE，DNME，四邊形DNEM為平行四邊形，根據(jù)軸對稱知，MED=NED，又MDE=NED，MED=MDE，MD=ME，平行四邊形DNEM為菱形過點D作DHOA，垂足為H，由題易知，=，DH=1，HE=2，設(shè)菱形

14、DNEM的邊長為a，則在RtDHN中，由勾股定理知：a2=（2a）2+12，a=，S四邊形DNEM=NEDH=矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為例題3考點：二次函數(shù)綜合題；解一元一次方程；解二元一次方程組；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：計算題。分析：（1）把C（0，1）代入拋物線即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=ab1，推出b=1a，求出方程ax2bx1=0，的b24ac的值即可；（3）設(shè)A（a，0），B（b，0），由

15、根與系數(shù)的關(guān)系得：ab=，ab=，求出AB=，把y=1代入拋物線得到方程ax2（1a）x1=1，求出方程的解，進一步求出CD過P作MNCD于M，交x軸于N，根據(jù)CPDBPA，得出=，求出PN、PM的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S1S2的值即可解答：（1）解：把C（0，1）代入拋物線得：1=00c，解得：c=1，答：c的值是1（2）解：把A（1，0）代入得：0=ab1，b=1a，ax2bx1=0，b24ac=（1a）24a=a22a10，a1且a0，答：a的取值范圍是a1且a0；（3）證明：0a1，B在A的右邊，設(shè)A（a，0），B（b，0），ax2（1a）x1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得：ab=

16、，ab=，AB=ba=，把y=1代入拋物線得：ax2（1a）x1=1，解得：x1=0，x2=，CD=，過P作MNCD于M，交X軸于N，則MNX軸，CDAB，CPDBPA，=，=，PN=，PM=，S1S2=1，即不論a為何只，S1S2的值都是常數(shù)答：這個常數(shù)是1點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與x軸的交點等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，題型較好，難度適中例題4解：（1）設(shè)線段與軸的交點為

17、，由拋物線的對稱性可得為中點， OA=OB=2， (，) 將(，)代入拋物線y=ax2(a0)得，. （2）解法一：過點作軸于點，點的橫坐標為， (1，)， . 又 ，易知，又， 5分設(shè)點（，）（），則， ，即點的橫坐標為. 6分解法二：過點作軸于點，點的橫坐標為， (1，)， 4分 ，易知， 5分設(shè)點（-，）（），則， ，即點的橫坐標為. 6分（3）解法一：設(shè)（，）（），（，）（），設(shè)直線的解析式為：， 則， 7分得， 又易知， ， ， 9分.由此可知不論為何值，直線恒過點（，）10分解法二：設(shè)（，）（），（，）（），直線與軸的交點為，根據(jù)，可得，化簡，得. 8分又易知， ， ， 9分為固定

18、值.故直線恒過其與軸的交點（,2） 10分說明：的值也可以通過以下方法求得.由前可知，由，得：，化簡，得.例題5解：（1）證明：如圖I，分別連接OE、OF 四邊形ABCD是菱形ABCDEFO圖1 ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC COD=COB=AOD=90° ADO=ADC=×60°=30° 又E、F分別為DC、CB中點 OE=CD，OF=BC，AO=AD OE=OF=OA 點O即為AEF的外心。 （2）猜想：外心P一定落在直線DB上。 證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PICD于I，P JAD于JPIE=PJD=90°，ADC=60°