函數(shù)極限和連續(xù)

1、第一章函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義 : y=f(x), xD 定義域 : D(f), 值域 : Z(f). 2. 分段函數(shù) : 21)()(DxxgDxxfy3. 隱函數(shù) : F(x,y)= 0 4. 反函數(shù) : y=f(x) x= (y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理 : 如果函數(shù) : y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴格單調(diào)增加( 或減少 )的；則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是嚴格單調(diào)增加( 或減少 ) 的。 函數(shù)的幾何特性1. 函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x

2、2D 當 x1x2時, 若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x) 在 D內(nèi)單調(diào)增加 ( )；若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x)在 D內(nèi)單調(diào)減少 ( )；若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x)在 D內(nèi)嚴格單調(diào)增加( )；若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x)在 D內(nèi)嚴格單調(diào)減少( )。 2. 函數(shù)的奇偶性：D(f) 關于原點對稱偶函數(shù)： f(-x)=f(x) 奇函數(shù)： f(-x)=-f(x) 3. 函數(shù)的周期性：周期函數(shù)： f(x+T)=f(x), x(- ， +) 周期： T最小的正數(shù) 4. 函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x (a,b) 基本初等函數(shù)1. 常數(shù)函

3、數(shù)： y=c ， (c為常數(shù) ) 2. 冪函數(shù)： y=xn , (n為實數(shù) ) 3. 指數(shù)函數(shù)： y= ax , (a0、 a1) 4. 對數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a0、a1) 5. 三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6. 反三角函數(shù)： y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復合函數(shù)和初等函數(shù)1. 復合函數(shù)： y=f(u) , u=(x) y=f (x) , xX 2. 初等函數(shù) : 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構成

4、的，并且能用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)1.2 極 限一、主要內(nèi)容極限的概念1.數(shù)列的極限 : Aynnlim稱數(shù)列ny以常數(shù) A 為極限 ; 或稱數(shù)列ny收斂于 A. 定理 : 若ny的極限存在ny必定有界 . 2. 函數(shù)的極限：當x時，)(xf的極限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim當0 xx時，)(xf的極限：Axfxx)(lim0左極限：Axfxx)(lim0右極限：Axfxx)(lim0函數(shù)極限存的充要條件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000無窮大量和無窮小量1無窮大量：)(limxf稱在該變化過程中)(xf為無窮大量。X 再某個變

5、化過程是指：,xxx000,xxxxxx2無窮小量：0)(limxf稱在該變化過程中)(xf為無窮小量。3無窮大量與無窮小量的關系：定理：)0)( ,)(1lim0)(limxfxfxf4無窮小量的比較：0lim,0lim若0lim,則稱 是比 較高階的無窮小量；若clim（c 為常數(shù)），則稱 與同階的無窮小量；若1lim，則稱 與是等價的無窮小量，記作： ；若lim,則稱 是比 較低階的無窮小量。定理： 若：；，2211則：2121limlim兩面夾定理1數(shù)列極限存在的判定準則：設：nnnzxy（n=1、2、3）且：azynnnnlimlim則：axnnlim2函數(shù)極限存在的判定準則：設：對

6、于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點（點 x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00則：Axfxx)(lim0極限的運算規(guī)則若：BxvAxu)(lim,)(lim則：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)( l i m xv推論：)()()(lim21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun)(lim)(limxucxucnnxuxu)(lim)(lim兩個重要極限 1 1sinlim0 xxx或1)()(si

7、nlim0)(xxx 2 exxx)11(limexxx10)1(l i m1.3 連續(xù)一、主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在0 x處連續(xù)：)(xf在0 x的鄰域內(nèi)有定義，1o0)()(limlim0000 xfxxfyxx2o)()(lim00 xfxfxx左連續(xù)：)()(lim00 xfxfxx右連續(xù)：)()(lim00 xfxfxx2.函數(shù)在0 x處連續(xù)的必要條件：定理：)(xf在0 x處連續(xù))(xf在0 x處極限存在3. 函數(shù)在0 x處連續(xù)的充要條件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx4.函數(shù)在ba,上連續(xù)：)(xf在ba,上每一點都

8、連續(xù)。在端點a和b連續(xù)是指：)()(limafxfax左端點右連續(xù)；)()(l i mbfxfbx右端點左連續(xù)。a+0 b-x 5. 函數(shù)的間斷點：若)(xf在0 x處不連續(xù)，則0 x為)(xf的間斷點。間斷點有三種情況：1o) (xf在0 x處無定義；2o)(lim0 xfxx不存在；3o) (x f在0 x處有定義，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。兩類間斷點的判斷：1o第一類間斷點：特點：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx都存在?？扇ラg斷點 ：)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，或) (x f在0 x處無定義。2o第

9、二類間斷點：特點：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一個為，或)(lim0 xfxx振蕩不存在。無窮間斷點 ：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一個為函數(shù)在0 x處連續(xù)的性質1.連續(xù)函數(shù)的四則運算：設)()(lim00 xfxfxx，)()(lim00 xgxgxx1o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx2o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx3o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx0)(lim0 xgxx2.復合函數(shù)的連續(xù)性：)(),(),(xfyxuufy)()(lim),()(lim0)(000 xfufxxx

10、uxx則：)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx3.反函數(shù)的連續(xù)性：)(),(),(001xfyxfxxfy)()(l i m)()(l i m011000yfyfxfxfyyxx函數(shù)在,ba上連續(xù)的性質1.最大值與最小值定理：)(xf在,ba上連續(xù))(xf在,ba上一定存在最大值與最小值。y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2.有界定理：)(xf在,ba上連續(xù))(xf在,ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在,ba上連續(xù)在),(ba內(nèi)至少存在一點，使得：cf)(，其中：Mcmy y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0

11、 a 12b x 推論：)(xf在,ba上連續(xù)，且)(af與)(bf異號在),(ba內(nèi)至少存在一點，使得：0)(f。4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學 2.1 導數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導數(shù)的概念1導數(shù)：)(xfy在0 x的某個鄰域內(nèi)有定義，xxfxxfxyxx)()(l i ml i m000000)()(lim0 xxxfxfxx00)(0 xxxxdxdyxfy2左導數(shù)：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右導數(shù)：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx定理：)(xf在0 x的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導，且極限存在；則：)(l

12、im)(00 xfxfxx（或：)(lim)(00 xfxfxx）3.函數(shù)可導的必要條件：定理：)(xf在0 x處可導)(xf在0 x處連續(xù)4. 函數(shù)可導的充要條件：定理：)(00 xfyxx存在)()(00 xfxf，且存在。5.導函數(shù)：),(xfy),(bax)(xf在),(ba內(nèi)處處可導。y )(0 xf)(xf6.導數(shù)的幾何性質：y)(0 xf是曲線)(xfy上點x00, yxM處切線的斜率。o x0 x 求導法則1.基本求導公式：2.導數(shù)的四則運算：1ovuvu)（2ovuvuvu)（3o2vvuvuvu)0(v3.復合函數(shù)的導數(shù)：)(),(),(xfyxuufydxdududydx

13、dy，或)()()(xxfxf注意)(xf與)(xf的區(qū)別：)(xf表示復合函數(shù)對自變量x求導；)(xf表示復合函數(shù)對中間變量)(x求導。4.高階導數(shù)：)(),(),()3(xfxfxf或)4,3,2(, )()()1()(nxfxfnn函數(shù)的 n 階導數(shù)等于其n-1 導數(shù)的導數(shù)。微分的概念1.微分：)(xf在x的某個鄰域內(nèi)有定義，)()(xoxxAy其中：)(xA與x無關，)( xo是比x較高階的無窮小量，即：0)(lim0 xxox則稱)(xfy在x處可微，記作：xxAdy)(dxxAdy)()0( x2.導數(shù)與微分的等價關系：定理：)(xf在x處可微)(xf在x處可導，且：)()(xAx

14、f3.微分形式不變性：duufdy)(不論 u 是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分dy都具有相同的形式。2.2 中值定理及導數(shù)的應用一、主要內(nèi)容中值定理1.羅爾定理 : )(xf滿足條件 : .0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使 得存 在 一 點內(nèi) 至 少在內(nèi) 可 導在上 連 續(xù) ；在y )(f)(f)(xf)(xfa o b x a o b x 2.拉格朗日定理：)(xf滿足條件 : abafbffbababa)()()(),(),(2,100， 使 得 ：在 一 點內(nèi) 至 少 存在內(nèi) 可 導 ；在上 連 續(xù) ，在羅必塔法則： （,00型未定式）定理

15、：)(xf和)(xg滿足條件：1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在點 a 的某個鄰域內(nèi)可導，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax則：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax注意： 1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導數(shù)之比的極限。2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。即不是00型或型時，不可求導。3o應用法則時，要分別對分子、分母求導，而不是對整個分式求導。4o若)(xf和)(xg還滿足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：）（或Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)

16、()()(5o若函數(shù)是,0型可采用代數(shù)變形，化成00或型；若是00,0,1型可采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成00或型。導數(shù)的應用1 切線方程和法線方程：設：),(),(00yxMxfy切線方程：)(000 xxxfyy法線方程：)0)(),()(10000 xfxxxfyy2 曲線的單調(diào)性：),(0)(baxxf內(nèi)單調(diào)增加；在),()(baxf),(0)(baxxf內(nèi) 單 調(diào) 減 少在),()(baxf),(0)(baxxf內(nèi)嚴格單調(diào)增加；在),(ba),(0)(baxxf內(nèi) 嚴 格 單 調(diào) 減 少在),(ba3.函數(shù)的極值：極值的定義：設)(xf在),(ba內(nèi)有定義，0 x是),(ba內(nèi)的一點；若

17、對于0 x的某個鄰域內(nèi)的任意點0 xx，都有：)()()()(00 xfxfxfxf或則稱)(0 xf是)(xf的一個極大值（或極小值），稱0 x為)(xf的極大值點（或極小值點）。極值存在的必要條件：定理：0)()(.2)()(.100000 xfxfxfxf存在。存在極值0 x稱為)(xf的駐點極值存在的充分條件：定理一：是極值點。是極值；時變號。過不存在；或處連續(xù)；在000000000)()(.3)(0)(.2)(.1xxfxxfxfxfxxf當x漸增通過0 x時，)(xf由（ +）變（ -） ；則)(0 xf為極大值；當x漸增通過0 x時，)(xf由（ -）變（ +） ；則)(0 xf

18、為極小值。定理二：是極值點。是極值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf若0)(0 xf，則)(0 xf為極大值；若0)(0 xf，則)(0 xf為極小值。注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。 4 曲線的凹向及拐點：若baxxf,0)(； 則)(xf在),(ba內(nèi)是上凹的 （或凹的），（） ；若baxxf, 0)(；則)(xf在),(ba內(nèi)是下凹的（或凸的） ， （） ；的拐點。為稱時變號。過，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf5。曲線的漸近線：水平漸近線：的 水 平 漸 近 線 。是或若)()(l i m)(l i mxfAyAxf

19、Axfxx鉛直漸近線：的鉛直漸近線。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx第三章一元函數(shù)積分學3.1 不定積分一、主要內(nèi)容重要的概念及性質：1原函數(shù)：設：DxxFxf),(),(若：)()(xfxF則稱)( xF是)(xf的一個原函數(shù)，并稱CxF)(是)( xf的所有原函數(shù) , 其中 C 是任意常數(shù)。2不定積分：函數(shù))( xf的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù))(xf的不定積分；記作：CxFdxxf)()(其中：)(xf稱為被積函數(shù)；dxxf)(稱為被積表達式；x稱為積分變量。3. 不定積分的性質：)()(xfdxxf或：dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(或：Cxfxd

20、f)()(dxxfxfxfn)()()(21dxxfdxxfdxxfn)()()(21分項積分法dxxfkdxxkf)()(k 為非零常數(shù) ) 4.基本積分公式：換元積分法：第一換元法： （又稱“湊微元”法）dxxxf)()()()(xdxf湊 微 元CtFdttfxt)()()(令CxFxt)()(回代常用的湊微元函數(shù)有：1o )(1)(1baxdaaxdadx)0,(aba為 常 數(shù) ，2o )()1(11111baxdmadxmdxxmmm為常數(shù)）（m3o )(1)(baedaeddxexxx)1, 0(),(ln1aaadadxaxx4o )(ln1xddxx5o)(sincos)(c

21、ossinxdxdxxddx)( co tcsc)( t a ns e c22xdxdxxdxdx6o)(arccos)(arcsin112xdxddxx)o t()( a r ct a n112xa r cdxddxx2.第二換元法：)()()()(tdtfdxxftx令CtFdxtft)()()(CxFxt)(1)(1反 代第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：1o0,tntxn為偶數(shù)時(當被積函數(shù)中有nx時) 2o20),cos(,sintxaxtax或(當被積函數(shù)中有22xa時) 3o)0(,0),cot(,tan22tttaxtax或(當被

22、積函數(shù)中有22xa時) 4o)0(,0),csc(,sec22tttaxtax或(當被積函數(shù)中有22ax時 ) 分部積分法：1. 分部積分公式：vd xuvudxvuvduvuudv2.分部積分法主要針對的類型：xdxxPxdxxPcos)(,sin)(dxexPx)(xdxxPln)(xdxxPxdxxParccos)(,arcsin)(xdxarcxPxdxxPcot)(,arctan)(bxdxebxdxeaxaxcos,sin其中：nnnaxaxaxP110)(（多項式）3.選 u 規(guī)律：在三角函數(shù)乘多項式中，令uxP)(，其余記作dv;簡稱“三多選多” 。在指數(shù)函數(shù)乘多項式中，令ux

23、P)(，其余記作dv;簡稱“指多選多” 。在多項式乘對數(shù)函數(shù)中，令uxln，其余記作dv;簡稱“多對選對” 。在多項式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為 u，其余記作dv;簡稱“多反選反” 。在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為 u，其余記作dv;簡稱“指三任選” 。簡單有理函數(shù)積分：1. 有理函數(shù)：)()()(xQxPxf其中)()(xQxP和是多項式。2. 簡單有理函數(shù)：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf)()()(bxaxxPxfbaxxPxf2)()()(3.2 定積分f(x) 一主要內(nèi)容（一） .重要概念與性質1.定積分的定義：O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1

24、 b x iiibaniiinxxxxfdxxf,)()(110lim定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x 軸，曲線y=f(x), 直線 x=a,x=b 之間各部分面積的代數(shù)和。x 軸上方的面積取正號，y x 軸下方的面積取負號。+ + a 0 - b x 2.定積分存在定理：baxxfy,)(設：若： f(x) 滿足下列條件之一: ;,)(.2;,)(.1點上有有限個第一類間斷在連續(xù)，baxfbaxxf上可積。在則：上單調(diào)有界在baxfbaxf,)(;,)(.3若積分存在，則積分值與以下因素無關：上 任 意 選 取 ?？?以 在的 選 取 無 關 ， 即與 點可

25、 以 任 意 劃 分上 的 劃 分 無 關 ， 即與 在即與 積 分 變 量 形 式 無 關 ，iiiibabaxxbabadttfdxxf,13;,2;)()(1有關。與區(qū)間積分值僅與被積函數(shù),)(baxf3.牛頓萊布尼茲公式：)()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba則：上的任意一個原函數(shù)：在是連續(xù)函數(shù)若*牛頓萊布尼茲公式是積分學中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。4.原函數(shù)存在定理：)()()(,)()(,)()(,)(xfdttfxbaxfxbaxdttfxbaxxfxaxa且 ：上 的 一 個 原 函 數(shù) ，在是則

26、：連 續(xù) ，若5.定積分的性質：上 可 積 ， 則在設,)(),(baxgxfbabadxxfkdxxkf)()(1abbadxxfdxxf)()(20)(4)()()()(3dxxfdxxgdxxfdxxgxfaabababa)()()()(5bcadxxfdxxfxfbccabaabdxba16y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x dxxgdxxfbxaxgxfbaba)()()(),()(7則上 的 最 小 值 和 最 大 值 。在分 別 為其 中估 值 定 理 ：baxfMmabMdxxfabmba,)(,)()()(8y y

27、 M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x )()()(,)(9abfdxxfbabaxxfba使則 ： 必 存 在 一 點連 續(xù)若積 分 中 值 定 理 ：（二）定積分的計算：1.換元積分)(,)(txbaxxf，連續(xù)，設,)(tt 連續(xù)，若,)(,)(,)(babatt變到單 調(diào) 地 從時，變到從且當dtttfdxxfba)()()(則：2.分部積分bababavd uvuu d v3.廣義積分00)()()(dxxfdxxfdxxf4.定積分的導數(shù)公式)()(1xfdttfxax（)()()(2)(xxfdttfxxa)()()()()(31122)()(21xxfxx

28、fdttfxxx(三)定積分的應用1.平面圖形的面積: )(,0)(1babxaxxfy由與 x 軸所圍成的圖形的面積y f(x) badxxfs)()(),(),(221gfxgyxfy由dxxgxfsbxaxba)()(,所圍成的圖形的面積與)(),(),(321yxyx由dyyysdycydc)()(,所圍成的圖形的面積與：求平面圖形面積的步驟.4.求出曲線的交點，畫出草圖；.確定積分變量，由交點確定積分上下限；.應用公式寫出積分式，并進行計算。2.旋轉體的體積bxaxxfy,0)(1與曲線及 x 軸所圍圖形繞x 軸旋轉所得旋轉體的體積：dxxfVbax)(20 a b x dycyyx

29、,0)(2與由曲線及 y軸所圍成圖形繞y 軸旋轉所得旋轉體的體積：dyyVdcy)(2第四章多元函數(shù)微積分初步 4.1 偏導數(shù)與全微分一.主要內(nèi)容：.多元函數(shù)的概念3.二元函數(shù)的定義：Dyxyxfz),(),()( fD定義域：4.二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1.極限定義：設z=f(x,y) 滿足條件：的某個領域內(nèi)有定義。在點),(100yx可 除 外 ）（點),(00yxAyxfyyxx),(lim200。極限存在，且等于在則稱Ayxyxfz),(),(002.連續(xù)定義：設z=f(x,y) 滿足條件：的某個領域內(nèi)有定義。在點

30、),(100yx),(),(lim20000yxfyxfyyxx處連續(xù)。在則稱),(),(00yxyxfz.偏導數(shù)：點在定義),(),(:00yxyxfxyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000的偏導數(shù)。處對在分別為函數(shù)yxyxyxfyxfyxfyx,),(),(),(),(000000處的偏導數(shù)記為：內(nèi)任意點在),(),(yxDyxfzxxzxzxyxfyxf),(),(yyzyzyyxfyxf),(),(.全微分：1.定義： z=f(x,y) ),(),(yxfyyxxfz若)(oyBxA）是比（無關，、與、其中，oyxBA較 高 階 的 無 窮 小 量 。22yxyBxAyxdfdz),(:則),(yxfz是在點 (x,y) 處的全微分。3.全微分與偏導數(shù)的關系.),(),(),(Dyxyxfyxfyx連續(xù)，定理：若處可微且在點則：),(),(yxyxfzdyyxfdxyxfdzyx),(),(.復全函數(shù)的偏導數(shù)：1.),(),(),(yxvvyxuuvufz設：),(),(yxvyxufzxvvzxuuz