第三節(jié)線性算子PPT

1、123賦范線性空間45內(nèi)積空間6三個空間的關(guān)系122222222|;:(, ) |( , ),|( , ):| ( , )|2|2| ,1(|4xyxyaxaxxxxx xxyxyxyxyxyxyixyiixy 賦范線性空間都是距離空間： ( ， )=反之，要求距離滿足條件范數(shù)定義。 內(nèi)積空間都是賦范線性空間；反之，范數(shù)滿足中線公式：內(nèi)積定義( ， )=2| )i7121212112,K:( )( ), ,K:,RRBanannX XT XXXXTxyT xT yx yXTTTXXnA 設(shè)是數(shù)域 上的線性空間，映射稱為到的一個線性映射,如果（）=。顯然：。當(dāng) 是雙射時，稱 是一個線性同構(gòu)，稱是

2、線性同構(gòu)的。例子： 階方陣 是的線性映射，可逆矩陣都是線性同構(gòu)。有限階矩陣的研究，線性代數(shù)、高等代數(shù)和矩陣論中都有涉及；我們泛函分析中主要研究是無窮維線性空間（ch空間）上的線性映射。第三節(jié) 線性映射與線性算子8 因為任何n維賦范線性空間都與n維歐式空間線性同構(gòu)，所以有限維的賦范線性空間是線性同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng)它們的維數(shù)相等。 絕大多數(shù)的泛函分析課程都是講述特殊的線性空間和線性算子的性質(zhì)，而自然界中的現(xiàn)象更多是非線性的，非線性問題是更廣闊更具有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域，有著多樣性和復(fù)雜性。人們在處理這類問題的方法： 一、推廣線性情形時的有關(guān)理論的想法和方法； 二、化整為零，在局部范圍內(nèi)運用線性方法，將非線性問

3、題轉(zhuǎn)化為線性問題9100XYYKker ,:()().nnnnnTTTTxxxxTxTxTXTXX YT XYTXTXxxXTxYX當(dāng)時，稱 是線性變換，當(dāng)時，稱 是線性泛函。相關(guān)概念：核空間、線性同構(gòu)。稱 在 點連續(xù)，是指對任意點列若則；若 在 的每一點都連續(xù)，則稱 在 上連續(xù)。定理1.設(shè)是賦范線性空間,是線性算子，則（a） 在 上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng) 在 中的某點 處連續(xù);特別的等價于若中零元 ，則中零元(b)當(dāng) 的維數(shù)有TX限時， 在 上是連續(xù)的。11 例2. 區(qū)間0,1上的連續(xù)可微函數(shù)全體按極大模是賦范 線性空間，其上的微分算子是無界線性算子: ( )1( )( ),( )( ), , , ,

4、 tbaaXaT T xaxaITx txdf xxdxC a bTC a bf 設(shè) 是賦范線性空間， 是一常數(shù)。映射稱為相似算子，時，稱為恒定算子或單位算子，記為 。例1.定義:則 是上的一個線性算子， 是一個線性泛函。1sin|sin| 1,|(sin)|cos|():0,10,1n tn tdn tnn tnndtdCCdt 取函數(shù)列，顯然但因此，微分算子是無界算子。12| | 1| | 1| | 01112:|( )|( )| sup| sup| sup| , :()( )( ), , (1.) : , , ,|xxxxaTTTTT xMxxD TMTxTTxTxxL a bTTfxf

5、 t dtfL a bT L a bC a bT 定理線性算子 是連續(xù)的充要條件是 是有界的。算子 的范數(shù):式，中的下確界?？梢宰C明:例：上算子時11| 1(2.) : , , ,| T L a bL a bTba時一般來說，求一個具體算子的范數(shù)并不容易，很多場合中只能對其范數(shù)做出估計13 注：設(shè)f是賦范線性空間X上的線性泛函，則 （1） f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)f的零空間N(f)是X的閉子空間； （2）非零線性泛函f不連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)N(f)在X中稠密。 N(f)=x;f(x)=01415有界線性算子空間| | 1| | 1| | 0| | 1| | 1| | 1|(, )| sup| sup| sup|

6、 |(1)| sup| 0,| 00( (, )(2)| sup| |sup| | |xxxxxxTxTB X YTTxTxxTTxTTB X YTTxTxT算子的范數(shù)驗證算子算子范數(shù)滿足以下條件：中零元121212| | 1| | 11212| | 1| | 1|;(3)|sup|() | sup|sup|sup| |xxxxTTTT xT xT xT xT xTT16| | 1* *(, )(,R)| sup|( )|Banacha,b(,3.(, ),( ,),xB X YXB Xff xXXXXXXXXTB X YSB Y Z注：1.一般說來，賦范線性空間未必是完備的；2.賦范線性空間

7、 上的有界線性泛函的全體，按前面引入的運算與范數(shù)構(gòu)成一個空間,我們稱之為 的共軛空間，記為；( )如果賦范線性空間 等距同構(gòu)于則稱 是自共軛的；( )如果賦范線性空間 等距同構(gòu)于）則稱 是自反的。(,),| | |(, )STB X ZSTSTYB X Y則復(fù)合算子且。定理3：設(shè) 是完備的賦范線性空間，則是完備的。173 (, )Cauchy |0( ,),| |()( )| | |0( ,).( )Cauchy( ),( )( ),().|nnnmnmnmnmnnnTB X YTTTn mxXT xT xTTxTTxn mT xYYYT xT xT xnT 定理 的證明：設(shè)為一列，往證收斂。

8、因為則對必有這說明是 為一列，由 的完備性，在 中存在唯一的一個元素，記為使得注意到000| |0( ,), |(, )0,| 1,| |()( )| | |.,|,| 1.| mnmnnnmnmnmnnnTTTn mTTTB X Yn mxT xT xTTxTTxxmT xTxxXxnTTT 故由的線性和的收斂性可得。對，存在自然數(shù)N ，使得當(dāng)N 時，對固定令，可得，從而對N ，。故(, )(, )B X YB X Y在收斂，完備。18nnn2fS( )S0| 1,1.nnTTB lSn 一致收斂強(qiáng)于 強(qiáng)收斂; 的強(qiáng)收斂強(qiáng)于弱*收斂；例如：單邊移位算子，強(qiáng)收斂于 ，而194Banach (,

9、 )|G,( ) (, ),| lim|.nnnnnXYTB X YTXx T xTTB X YTT我們知道收斂的序列都是有界集合，類似于定理3的證明，我們可以得到一下結(jié)論。定理 ：設(shè) 是賦范線性空間， 是空間，滿足條件：(1)是有界數(shù)列；(2)在 中的某一稠密子集 中的每個元素都收斂.則強(qiáng)收斂于某一個算子且20* *,( )( ),.:|( )| |( )| | |,.| |.:, ( )XXXXXxXXxxff xfXxff xfxfXxXxxxXXxx 設(shè) 是賦范線性空間，則 的共軛空間二次共軛空間=()都是賦范線性空間。下面考慮它們之間關(guān)系對每個定義上泛函：注意到顯然，是上有界線性泛函，且稱此泛函是由 生成的，算子為嵌入算子。21*5.| |,()6.7.,*(7.1)(),(7.nnnnnnnnXXXxxxyxyXXXfXfffXffxx nxx 定理 設(shè) 是賦范線