公開課垂徑定理實用教案

1、問題問題(wnt) (wnt) ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建多年前我國隋代建造的石拱橋造的石拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點弧的中點到弦的距離到弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑趙州橋主橋拱的半徑(bnjng)(bnjng)是是多少？多少？ 第1頁/共24頁第一頁，共25頁。

2、實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(chngf)幾次，你發(fā)現了什么？由此你能得幾次，你發(fā)現了什么？由此你能得到什么結論？到什么結論？可以發(fā)現：可以發(fā)現：圓是軸對稱圖形，任何一條圓是軸對稱圖形，任何一條(y tio)直徑所在直線直徑所在直線都是它的對稱軸都是它的對稱軸第2頁/共24頁第二頁，共25頁。如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果(rgu)是，它的對稱軸是，它的對稱軸是什么？是什么？（2）你能發(fā)現圖中有那些相等的

3、線段和?。繛槭裁?？）你能發(fā)現圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？OABCDE活活 動動 二二（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在所在(suzi)的直線是它的對稱軸的直線是它的對稱軸（2） 線段線段(xindun)： AE=BE?。?，?。海?頁/共24頁第三頁，共25頁。垂徑定理(dngl)：垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)(zhjng)平分弦平分弦, ,且平分弦所對的兩條弧且平分弦所對的兩條弧. .OABCDECDAB, CD是直徑是直徑,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符號語言符號語言圖形圖形(txng)語言語言第4頁/共24頁第四頁，共25頁。（1 1）如何

4、）如何(rh)(rh)證明？證明？OABCDE已知：如圖，已知：如圖，CDCD是是OO的直徑的直徑(zhjng)(zhjng)，ABAB為弦，且為弦，且AE=BE.AE=BE.證明：證明：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求證：求證：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC第5頁/共24頁第五頁，共25頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)(dngl)推論推論 平分弦（不是平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑）的直徑垂直于弦直徑

5、垂直于弦, ,并且平分弦所對的兩條并且平分弦所對的兩條弧?；?。 CDAB,CDAB, CD CD是直徑是直徑(zhjng)(zhjng)， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE第6頁/共24頁第六頁，共25頁。（2 2）“不是直徑不是直徑”這個這個(zh ge)(zh ge)條件能去條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。掉嗎？如果不能，請舉出反例。 平分弦（不是平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑垂直徑）的直徑垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。OABCD第7頁/共24頁第七頁，共25頁。1

6、如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離的距離(jl)為為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習練習(lin(linx)x)解：解：OEAB2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑的半徑(bnjng)為為5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 第8頁/共24頁第八頁，共25頁。2如圖，在 O中，AB、AC為互相垂直(chuzh)且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形DOABCE證明證明(zhngmng)： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形AD

7、OE為矩形為矩形(jxng)，又又AC=AB11 22AEAC ADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.第9頁/共24頁第九頁，共25頁。課堂課堂(ktng)討論討論根據已知條件進行推導：根據已知條件進行推導：過圓心過圓心垂直于弦垂直于弦 平分平分(pngfn)(pngfn)弦弦 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所對優(yōu)弧弦所對優(yōu)弧 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所對劣弧弦所對劣弧（1 1）平分弦（不是）平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑垂直于弦，并且平分直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所弦所 對的兩條弧。對的兩條弧。（3 3）弦的垂直平分線

8、經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（2 2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦所對的另一條弧。弦所對的另一條弧。只要具備上述五個條件中任兩個,就可以推出其余三個.第10頁/共24頁第十頁，共25頁。試一試試一試1.判斷(pndun)：( )(1)垂直于弦的直線平分(pngfn)這條弦, 并且平分(pngfn) 弦所對的兩條弧.( )(2)平分弦所對的一條弧的直徑(zhjng)一定平分 這條弦所對的另一條弧.( )(3)經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.( )(4)弦的垂直平分線一定平

9、分這條弦所對的弧. 第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。1.已知P為 O內一點，且OP2cm，如果 O的半徑是3cm,那么(n me)過P點的最短的弦等于.EDCBAPO2 5cm2.過過 O內一點內一點(y din)M的最長弦長為的最長弦長為4厘米，厘米，最短弦長為最短弦長為2厘米，則厘米，則OM的長是多少？的長是多少？OMA第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。2 2、如圖，點、如圖，點P P是半徑為是半徑為5cm5cm的的OO內一點，且內一點，且OP=3cm, OP=3cm, 則過則過P P點的弦中，點的弦中，（1 1）最長的弦）最長的弦= cm= cm（2 2）最短的弦）最短的弦=

10、cm= cm（3 3）弦的長度）弦的長度(chngd)(chngd)為整數的共有（為整數的共有（ ） A A、2 2條條 b b、3 3條條 C C、4 4條條 D D、5 5條條AOCD54P3B第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。3 3、如圖，點、如圖，點A A、B B是是OO上兩點，上兩點，AB=8,AB=8,點點P P是是OO上的動點（上的動點（P P與與A A、B B不重合）不重合）, ,連接連接(linji)AP(linji)AP、BP,BP,過點過點O O分別作分別作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,EF= F,EF= 。4第14頁/共24頁第十四頁，共25頁

11、。OABOAB 已知已知 O的半徑為的半徑為5厘米厘米(l m)，弦，弦AB的長為的長為8厘米厘米(l m)，求此弦的中點到這條弦所對的弧的，求此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距離。中點的距離。 EEDD練習練習(lin(linx)x)第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。1.1.過過oo內一點內一點M M的最長的弦長為的最長的弦長為1010, ,最短弦長為最短弦長為8 8, ,那那么么(n me)o(n me)o的半徑是的半徑是2.2.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么(n (n me)Cme)C到到ABAB的距離等

12、于的距離等于3.3.已知已知OO的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點的中點(zhn din)C(zhn din)C的距離為的距離為1 1, ,那么那么OO的半徑為的半徑為4.4.如圖如圖, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,則則AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。歸納： 已知：直徑，弦長，弦心距，拱高四者知其二，即可根據(gnj)勾股定理求出另外的兩個量。

13、第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石拱橋多年前我國隋代建造的石拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離(jl)(jl)為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑趙州橋主橋拱的半徑(bnjng)(bnjng)是是多少？多少？ 第18頁/

14、共24頁第十八頁，共25頁。解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑(bnjng)的問題在RtOAD中，由勾股定理(u dn l)，得即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑(bnjng)約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設表示主橋拱，設 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經過圓心經過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點相交于點D，根據前面的結論，根據前面的結論，D 是是AB 的中點

15、，的中點，C是是 的中點，的中點，CD 就是拱高就是拱高第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。某圓直徑(zhjng)是10,內有兩條平行弦,長度分別為6和8求這兩條平行弦間的距離.第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。船能過拱橋船能過拱橋(gngqio)(gngqio)嗎嗎? ?例例3.3.如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面橋下水面(shu min)(shu min)寬為寬為7.27.2米米, ,拱頂高出水面拱頂高出水面(shu (shu min)2.4min)2.4米米. .現有一艘寬現有一艘寬3 3米、船艙頂部為長方形并高出水面米、船艙頂部為長方形并高出水面(

16、shu min)2(shu min)2米的貨船米的貨船要經過這里要經過這里, ,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？此貨船能順利通過這座拱橋嗎？第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。船能過拱橋船能過拱橋(gngqio)(gngqio)嗎嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑半徑為為Rm,Rm,經過圓心經過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交相交(xingjio)(xingjio)于點于點C.C.根根據垂徑定理據垂徑定理,D,D是是ABAB的中點的中點,C,C是是 的中點的中點,CD,CD就是拱高就

17、是拱高. .由題設得由題設得. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理中，由勾股定理(u dn l)，得，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過這座拱橋此貨船能順利通過這座拱橋.第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。OABC 已知已知A、B、C是是 O上三點，且上三點，且AB=AC，圓，圓心心O到到BC的距離的距離(jl)為為3厘米，圓的半徑為厘米，圓的半徑為5厘米，求厘米，求AB長。長。DD試一試試一試OABC第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。 中學數學網（群英學