相似三角形典型模型及例題

1、1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）AADDEECBBC（平行）（不平行）（二）8 字型、反 8 字型AABBOJCDC         D（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDBCC（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：

2、（五）一線三直角型：三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型：ADC二：相似三角形判定的變化模型D旋轉(zhuǎn)型：由 A 字型旋轉(zhuǎn)得到AB         C    

3、               E8 字型拓展AEFGB                      C共享性一線三等角的變形一線三直角的變形2：相似三角形典型例題（1）母子型相似三角形例 1：如圖，梯形 

4、;ABCD 中，ADBC，對(duì)角線 AC、BD 交于點(diǎn) O，BECD 交 CA 延長(zhǎng)線于 E求證： OC 2 = OA × OE 例 2：已知：如圖，ABC 中，點(diǎn) E 在中線 AD 上, ÐDEB = ÐABC 求證：（1） DB 2 = DE × 

5、DA ； （2） ÐDCE = ÐDAC BEDAC例 3：已知：如圖，等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分別交 AD、AC 于 E、F求證： BE 2 = EF × EG 1、如圖，已知 AD  ABC 的角平分線，EF 為 AD 的垂直平分線求證： 

6、FD 2 = FB × FC 2、已知：AD 是  ABC 中A 的平分線，C=90°，EF 是 AD 的垂直平分線交 AD 于 M，EF、BC 的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) N。求證：(1)AMENMD;(2)ND 2 =NC·NB3、已知：如圖，在ABC 中，ACB=90°，CDAB 于 D，E 是 AC&

7、#160;上一點(diǎn)，CFBE 于 F。求證：EB·DF=AE·DB4.在 DABC 中，AB=AC，高AD與BE交于H， EFBC ，垂足為F，延長(zhǎng)AD到G，使DG=EF，M是AH的中點(diǎn)。 求證： ÐGBM = 90°AMEHBDFCG5 已知：如圖，在  ABC 中，C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜邊 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊 AC于點(diǎn) D

8、（點(diǎn) D 與點(diǎn) A、C 都不重合），E 是射線 DC 上一點(diǎn)，且EPD=A設(shè) A、P 兩點(diǎn)的距離為 x BEP的面積為 y（1）求證：AE=2PE；（2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3 BEP  ABC 相似時(shí)，求BEP 的面積BPAD  E        

9、0; C（2）雙垂型1、如圖，在ABC 中，A=60°，BD、CE 分別是 AC、AB 上的高求證：（1 ABDACE；（2 ADEABC；(3)BC=2EDAEDBC2、如圖，已知銳角ABC，AD、CE 分別是 BC、AB 邊上的高，ABC  BDE 的面積分別是 27 和 3，DE=62 ，求：點(diǎn) B 到直線 AC 的距離。AEBDC（3）共享型相似三角形1、ABC

10、0;是等邊三角形，DBCE 在一條直線上,DAE=120°,已知 BD=1，CE=3，求等邊三角形的邊長(zhǎng).ADB           C                 E2、已知：如圖，在  ABC 中，AB=AC，DAE=45°求證：（1

11、0;ABE ACD；（2） BC 2 = 2BE × CD ABDEC(4)一線三等角型相似三角形A例 1：如圖，等邊ABC 中，邊長(zhǎng)為 6，D 是 BC 上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當(dāng) BD=1，F(xiàn)C=3 時(shí)，求 BEEF例 2：（1）在 DABC 中， AB = AC = 5 ， 

12、BC = 8 ，點(diǎn) P 、 Q 分別在射線 CB 、 AC 上（點(diǎn) P 不與點(diǎn) C 、BDC點(diǎn) B 重合），且保持 ÐAPQ = ÐABC .若點(diǎn) P 在線段 CB 上（如圖），且 BP = 6 ，求線段 CQ 的長(zhǎng)；若 BP = x

13、60;， CQ = y ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；AABQP     C    B            C（2）正方形 ABCD   的邊長(zhǎng)為 5 （如下圖），點(diǎn) P 、 Q 分

14、別在直線 CB 、 DC 上（點(diǎn) P 不與點(diǎn) C 、點(diǎn) B 重合），且保持 ÐAPQ = 90° .當(dāng) CQ = 1 時(shí)，求出線段 BP 的長(zhǎng).ADADBCBC例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1）如圖 8，P 為 AD 上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABP

15、DPC求 AP 的長(zhǎng)（2）如果點(diǎn) P 在 AD 邊上移動(dòng)（點(diǎn) P 與點(diǎn) A、D 不重合），且滿足BPEA，PE 交直線 BC 于點(diǎn) E，同時(shí)交直線 DC 于點(diǎn) Q，那么當(dāng)點(diǎn) Q 在 DC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè) APx，CQy，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng) CE1 時(shí)，寫出 AP 

16、;的長(zhǎng)APDADBCBC例 4：如圖，在梯形 ABCD 中， AD  BC ， AB = CD = BC = 6 ， AD = 3 點(diǎn) M 為邊 BC 的中點(diǎn)，以M 為頂點(diǎn)作 ÐEMF = ÐB ，射線 ME 交腰 AB 于點(diǎn) E ，射線&

17、#160;MF 交腰 CD 于點(diǎn) F ，聯(lián)結(jié) EF （1）求證： MEF  BEM ；（2 BEM 是以 BM 為腰的等腰三角形，求 EF 的長(zhǎng)；（3）若 EF  CD ，求 BE 的長(zhǎng)1、如圖，在 ABC 中， AB = AC = 8 ， BC = 10&#

18、160;， D 是 BC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E 在 AC 邊上，且ÐADE = ÐC (1) 求證：ABDDCE；(2) 如果 BD = x ， AE = y ，求 y 與 x 的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x 的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，

19、試說明ADE 是什么三角形，并說明理由ABED             C2、如圖，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一點(diǎn)，BD=2，E 是 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié) DE，并作 ÐDEF = ÐB ，射線 EF 交線段 AC 于 F（

20、1）求證：DBEECF；（2）當(dāng) F 是線段 AC 中點(diǎn)時(shí)，求線段 BE 的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié) DF，如果DEF  DBE 相似，求 FC 的長(zhǎng)ADFBEC3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)（1）如圖，P 為 BC 上的一點(diǎn)，且 BP=2求證：BEPCPD；（2）如果點(diǎn) P

21、0;在 BC 邊上移動(dòng)（點(diǎn) P 與點(diǎn) B、C 不重合），且滿足EPF=C，PF 交直線 CD 于點(diǎn) F，同時(shí)交直線 AD 于點(diǎn) M，那么當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CD 的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè) BP= x ，DF= y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng) SDDMF= 9 S4 DBEP時(shí)，求

22、 BP 的長(zhǎng)ADEBPC4、如圖，已知邊長(zhǎng)為 3 的等邊 DABC ，點(diǎn) F 在邊 BC 上，CF = 1 ，點(diǎn) E 是射線 BA 上一動(dòng)點(diǎn)，以線段 EF為邊向右側(cè)作等邊 DEFG ，直線 EG, FG 交直線 AC 于點(diǎn) M , N ，（1）寫出圖中與 DBEF 相似的三角形；（2）證明

23、其中一對(duì)三角形相似；（3）設(shè) BE = x, MN = y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范圍；（4）若 AE = 1 ，試求 DGMN 的面積(5)一線三直角型相似三角形，例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2 AD=3，點(diǎn) P 是 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn) A,D 不重合，過點(diǎn)

24、60;P 作 PE  CP ，交邊 AB 于點(diǎn) E,設(shè) PD = x, AE = y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍。APDEBC例 2、在 DABC 中， ÐC = 90 o, AC = 4, BC = 3, O

25、 是 AB 上的一點(diǎn)，且CAO2（=，點(diǎn) P 是 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ  OP 交線段 BC 于點(diǎn) Q， 不AB5與點(diǎn) B,C 重合），設(shè) AP = x, CQ = y ，試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域。BQPO      A1.在直角 DA

26、BC 中，ÐC = 90o, AB = 5, tan B =34，點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)，DF  DE交射線 AC 于點(diǎn) F（1）、求 AC 和 BC 的長(zhǎng)（2）、當(dāng) EF / BC 時(shí)，求 BE 的長(zhǎng)。（3）、連結(jié) EF,當(dāng)&

27、#160;DDEF 和 DABC 相似時(shí)，求 BE 的長(zhǎng)。AAEEFCD               BFCD               B2.在直角三角形 ABC 中， ÐC = 90&

28、#160;o , AB = BC , D 是 AB 邊上的一點(diǎn)，E 是在 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與A,C 不重合）， DF  DE, DF 與射線 BC 相交于點(diǎn) F.(1)、當(dāng)點(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求證： DE = DF(2)、當(dāng)ADDBDE= m ，求   

29、;的值DF（3）、當(dāng) AC = BC = 6,AD  1=  ，設(shè) AE = x, BF = y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域DB  2CCFFEEAD                 

30、60;                   BAD                                     B3.如圖，在 DABC 中，ÐC = 90° ， AC = 6 ，tan B = 3 ，D 是 BC 邊的中點(diǎn)，E 為 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，4作 ÐDEF = 90° ， EF 交射線 B