長(zhǎng)沙理工大學(xué)大一高數(shù)期末考試題精

1、一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)設(shè) f ( x) = cos x( x + |sin x ),則在x = 0處有()(A) f (0) = 2( B) f (0) = 1 (C) f (0) = 0( D) f(x)不可導(dǎo).設(shè)"(x)= X， P(x)=3_3jx，則當(dāng) xt 1時(shí)(2.1 x1.(A) - (x)與(X)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮?。?B) (x)與-(X)是等價(jià)無(wú)窮小;(C) -J(X)是比 (x)高階的無(wú)窮?。?D) ' ( x)是比(X)高階的無(wú)窮小.X3.若 F (0 (2tX) f (t )dt,其中f(x)在區(qū)間上(-&q

2、uot;)二階可導(dǎo)且f (x)0，則()(A)函數(shù)F(x)必在(B)函數(shù)F(x)必在(C)函數(shù)F(x)在x(D)函數(shù)F(x)在xxx=0處取得極大值；=0處取得極小值；=0處沒(méi)有極值，但點(diǎn)(0, F(0)為曲線y =F(x)的拐點(diǎn)； =0處沒(méi)有極值，點(diǎn)(°, F(0)也不是曲線y = F(x)的拐點(diǎn)。1f ( x)二 x 2 0 f (t)dt ,貝y f ( x)=(4 設(shè)f (X)是連續(xù)函數(shù)，且2X 2(C) X -1(D) X 2.每小題4分，共16分)2X(A)2二、填空題(本大題有(B)24小題,25.lim (13 x)sin xx0精選資料，歡迎下載6.已知cosxx是

3、f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)cosxdx二X7.2n - 1lim (cos2 cos2cos2 -n ： n nnn12 2x arcsin x 1 d2dx 二丄蘋1 一 x28.三、解答題(本大題有 5小題， 設(shè)函數(shù) y = y(x) 由方程 求 1 _ X 7 dx.x(1 + x ) xe：9.10.11.設(shè)f(x)二- y212.2 :每小題8分，共40分)ex y sin(xy) N 確定，求2X - X ，1g(x)= f f (xt)dt 設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，0并討論 g(x) 在X = 0處的連續(xù)性.y (x)以及 y (0).f(x)dx且呵羅=A*,A為常數(shù).求

4、g(x)13.求微分方程xy2y 二 xln x滿足y(i)= -9的解.四、解答題(本大題io分)14. 已知上半平面內(nèi)一曲線y = y(x)(x 0)，過(guò)點(diǎn)(o,1)，且曲線上任一點(diǎn)M(Xo,y°)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 X軸、y軸、直線X二xo所圍成面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲 線方程.五、解答題(本大題10分)15. 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y = |n x的切線，該切線與曲線y |n x及x軸圍成平面圖形d.(1) 求D的面積A； (2)求D繞直線X = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V六、證明題(本大題有 2小題，每小題4分，共8分)16. 設(shè)函數(shù)f(x)在0，&quo

5、t;上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q °，1，q1f (x) dx - q f (x) dx00.JIJI-Jf(x)dx=0 Jf(x) cos x dx = 017. 設(shè)函數(shù)f(x)在二上連續(xù)，且0,0.證明：在°二內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1，2，使f ( iH f ( 2)= 0 (提示：設(shè)xF (x)二 f (x)dx° )、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題(本大題有 4小題，每小題4分，共Vcosx 2e6t() +c5.e. 6.2 x.7.三、解答題(本大題有 5小題，每小題8分，共 解：方程兩

6、邊求導(dǎo)ex y(1 y ) cos(xy)(xy y) = 0ex y ycos(xy)y(x) Le + xcos(xy)x = 0 y = 0， y (0) = T 解：u = x7 7x6dx = du 原式J7 ' u(1 +u)1 (In | u | -2ln |u 1|) c12ln I x71 -yln |1 x71 C1 f(x)dx 二 0 xedx1 2x -x2dx-33016 分)兀2 . 8.40分)JI39.10.皿1 (丄27 uu 1)dU11.解:二:xd(_e-x)； 1 _(x_1)2dx= -xe*-e*3 亠 | cos vdv(令x-1=si

7、nv)兀32e31412.解：由 f(°), 知1g(x)二 f (xt)dt0g(0M °。x(f(u)duxt 二u0(X")xxf(x) - f (u)du g(x)4xxf(u)dug(0) Pmrxim0xxf(x)- f(u)du A lim g (x)二 lim0二 Ax 0x )0x2(x=0)13.四、14.x2f(x) A2x _ 2dy 2 y = In x 解: dx x_fdxy 二 e x ( e x In xdx C)2dx1 I12xln x x Cx31 y(1)“：,C9解答題(本大題1 ,=0 y xlnx ，31°

8、分)x解：由已知且八20ydx'y，將此方程關(guān)于X求導(dǎo)得y = 2y y 特征方程：r2 - r - 2=0 解出特征根:C-x2x1e C2eC代入初始條件y(°) = y (°) =1，得 1 e2x3_ 2 =y _故所求曲線方程為：3五、解答題（本大題10分）15.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為A2，g （x）在X = 0處連續(xù)。A =T, 2=2.(x°,ln x°)23,C2，切線方程:1y -ln X。二(xX。X。）由于切線過(guò)原點(diǎn)，解岀X。= e，從而切線方程為:1(ey-ey)dye_1則平面圖形面積0 2（2）三角形繞直線x

9、= e一周所得圓錐體體積記為V,1 2=二 e3曲線y =lnx與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V21V2 =(e - ey)2dy0兀2V -V2 = (5e2 - 12e + 3)D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積6六、證明題(本大題有 2小題，每小題4分，共12分)q1qq1f (x) d x - q f (x)dx f (x) d x - q( f (x) d x 亠 if (x)dx)16. 證明：0000qq1=(1 -q) f(x)dx-q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( 1)_f ( 2)=q(1-q)f(J)-q(

10、1-q)f(J)z 0故有：q1f (x) d x q f (x) dx00證畢。17.xF(x)二 f(t)dt , 0 豈 x 乞二證：構(gòu)造輔助函數(shù)：0。其滿足在°，二】上連續(xù)，在(0,二)上可導(dǎo)。F (x)二 f(x)，且 F(0) =F()=0JTtTtTT0= f(x)cosxdx 二 cosxdF (x)二 F (x)cosx|sinx F (x)dx由題設(shè)，有 0000，KF (x)sin xdx =0有0，由積分中值定理，存在(0,二)，使F( )sin = 0即F ( )=0綜上可知F(0)= F( )=F(二)=0, (0,二).在區(qū)間0,，二上分別應(yīng)用羅爾定理，

11、知存在洽(0上)和© 2(4)，使 F 牡=0 及 F 徉 2)= 0，即 f(©)= f(J) = 0.高等數(shù)學(xué)I解答-、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選岀一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1.當(dāng)乂-* X。時(shí)，"（X ）, B（X ）都是無(wú)窮小，則當(dāng)XT X。時(shí)（d）不一定是無(wú)窮小(A)(B):J x 廠2 x:2(x)(C)2.極限In 1 匕(x)： (x) 11fsin x 匯limx ia sin a 的值是(D)(A) 1(B) e(C)cot ae(D)tan ae3.f (x)才(A)4.設(shè)(A)(C)

12、2axsin x e -1(B) 0X =o在X =0處連續(xù)，則a = ( D(C) ef (x)在點(diǎn)3f (a)f (a)limx = a處可導(dǎo)，那么h刃(D)-1f (a h) - f (a - 2h)h(B) 2f (a)11 f (a)(D)3二、填空題(本大題有 4小題，每小題4分，共16 分)ln(x a) -ln alim(a 0)極限x-ox的值是5.6.xyylnx =cos2x確定函數(shù)y(x)，則導(dǎo)函數(shù)y7.直線8.9.1yexyxxexyIn x二6都平行，則直線2sin2xl 過(guò)點(diǎn) M (1,2,3)且與兩平面 x 2y - z 二 0,2x - 3y 5zx -1_

13、y _2 _ z _3- -1 .2求函數(shù)y =2x ln(4x)的單調(diào)遞增區(qū)間為解答題(本大題有 4小題，每小題8分，共1(1 x)x -elim計(jì)算極限x 0-11(1 x)'-e lim解: x 10Pm01ln(1 x) 4 ex -110.已知：|葉3,小卜26解:a b 5 "ah13的方程(二，0)和(1,32分)ln(1 x) -x =elim 2x Qj2，a b =30，求 1 a b 1。sinco齊弋+：:X a,b，試求出F "(x)。F(x)= J(xt)f(t)dt 11.設(shè)f (x)在a, b上連續(xù)，且axxF(x)=x f (t)d

14、t - tf (t)dt解：aaxxF (x)二 f (t)dt xf (x)xf (x) = f (t)dtaaF (x)= f(x)cosxx3dx.12.求 sin xcosx12x3 x 二一一 xd sin x解:sin x21 . _2xsi n2x sin ' xdx21 . _2xsi n2x cot x C2四、解答題（本大題有 4小題，每小題8 分,2共 32 分)dx2 x x2 -113.求 3令丄x)dt一dt二 arcsin t1 -123212JI一 6的極值與拐點(diǎn).2x14. 求函數(shù)解：函數(shù)的定義域（一:,+ ：）4x(3 x2)(1 x2)32 2(1

15、 x ) 令 y"=° 得 x 1 = 1, x 2 = -1 y0 x 1 = 1是極大值點(diǎn)，y (T)，°x 2 = -1是極小值點(diǎn)極大值 y(1) =1 ，極小值 y(T) = t令 y =0 得 x 3 = 0, x 4 = 3 , x 5 = -3x(-吟*3)(-也,0)(0, ;3)(駅,+ °0)FF y+J3U3故拐點(diǎn)（-后，-2 ），（0，0）（蟲(chóng)，2 ）3Xy = 215. 求由曲線4與y=3xx所圍成的平面圖形的面積.3解:=3x -x2, x3 -12x+4x2 = 0,4x(x+6)(x-2) = 0,Xj =-6,x2 =

16、0,x3=2.0 x3-22 x3S= f (一3x+x )dx+f (3xx )dxJ_6 4o4X432 X3032 X3X42(_x +)6+(x_) 01623上2316011= 45+2 =47 33216. 設(shè)拋物線y=4-x上有兩點(diǎn)A設(shè) x>1 d(x2 arctanx1)=(,3)，B(3,-5)，在弧a b上，求一點(diǎn)P(x, y)使AABP 的面積最大.解:AB 連線方程：y+2x-1=0AB =45H r砧口匚*|2x+y_1 -x2 +2x + 3點(diǎn)P到AB的距離i_ =廠(1蘭x蘭3)V5< 5MBP的面積1 一 _x2 + 2X + 3S(x) = 4 7

17、5=2(_x2 +2x+3)2 <5STx)=Yx+4 當(dāng) x = 1S，(x)=0S“(x) = Y <0當(dāng)x = 1時(shí)S( x)取得極大值也是最大值此時(shí)y =3所求點(diǎn)為(1，3)另解：由于 ABC的底AB定，故只要高最大而過(guò)C點(diǎn)的拋物線的切線與AB平行時(shí),高可達(dá)到最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)為求C(x0, 4-xf),使f "(Xo)=-2xo=5-33+ =-2,解得 X。=1,所求 C點(diǎn)為(1,3)六、證明題(本大題 4分)2x17.設(shè)xaO，試證 e (1 x) +x.證明：設(shè) f (X) =e2x(1 -X)-(1x), x 0f (x) = e2x (1 -2x) -1

18、f "(x) =-4xe2xx o, f (xo ，因此 f (x)在(0， +:)內(nèi)遞減。在( 0，+：)內(nèi)， f (x) ： f (0H0, f (x)在 (0，+：)內(nèi)遞減, 2x在(0, +：)內(nèi)，f(X)"： f(0),即 e (1 -X)-(1 X):： 02 x亦即當(dāng) x>o 時(shí)，e ( x) < 1 x 。高等數(shù)學(xué)I A一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選岀一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中) (本大題有4小題，每小題4分，共16分)18. 函數(shù)In (x+1)x 1n：f (x) = Han x,0 蘭x <12x +sin x, x

19、<0(A)(-二，+：)(B) (-: ,1)(C)(-二,0)(0,+：)(D) (-: ,0)(1,+ ：)(0,1) (1,+ :)x1 設(shè) Jf(x)dx=sinx+c,則f(n)(x)dx=( +1lim ( ax-b) =0佃.設(shè) 廠x 1，則常數(shù)a, b的值所組成的數(shù)組（a, b）為（的全體連續(xù)點(diǎn)的集合是（）)(A)(1, 0)( B)(0，1)(C)(1，1)(D(1, -1 )20.設(shè)在0，1 上 f（x）二階可導(dǎo)且f（X） 0，則（)(A)f (0b： f ：f(1) - f(0)(B)f (0) ： f (1)-f(0)： f (1)(C)f (1) ： f (0)

20、 ： f(1) f(0)(Df(1) 一 f(0):f (1廠：f (0)兀24M -sin xcos1 x23121. 2則（）A M < N < PC P < M < N填空題（本大題有 4小題,-dx,(B) P < N < M(D) N < M < P每小題4分，共16分)n2N = (sinx _4 _ y _ z5 x cos3.直線方程2 -m n 6 p， 與 xoy 平面，yoz 平面都平行, x)dxJI2JI2P 二(x2sin3 x-cos4 x)dx_24.1.2.3.那么m,n ,p的值各為2lim E -re 吏X；

21、 "：y n解答題（本大題有l(wèi)im計(jì)算x 501_.2 isin x（3小題，每小題8分,丄x2)共24分)1門cos, x 0xx上0試討論y = f （x）在（：，:）連續(xù)，在x2f（x）二八設(shè)X設(shè)函數(shù)岀f（x）的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出f（X）f （x）的圖形如圖所示，給x-q時(shí)二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線、二f（x）的拐點(diǎn)解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）1.求不定積分x 2 2 dx)7eIn x dxi2.計(jì)算定積分eL:x y z -113.已知直線:123平面方程。I2z -34,求過(guò)直線11且平行于直線丨2的81jix軸一周的體

22、積為5，確定拋物線方程f （2） = 0，試證明存在、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5.x( 1 dy = 2 一 x -14 arctan、x -1 )dx24.過(guò)原點(diǎn)的拋物線y = ax及y=0,x = 1所圍成的平面圖形繞中的a,并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。五、綜合題（本大題有 2小題，每小題4分，共8分）21.設(shè)F（x （x _1） f（x），其中f（x）在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有 （1：2）使得 F）=0。xf(x) = (t-t2)si n2ntdt (x_0)2. 0(1) 求f(x)的最大值點(diǎn)； 證明：f(x(2n2)(2n3)、單項(xiàng)選擇題 B D

23、B Cn兀6.7.f(n)(x)dx -cos(x y)dsin(x29.解:(8分)計(jì)算極限xm0(12sin x10.-4)x2 . 2x sin x2:2x sin xx -sin x x +sin x 二 limx_03x1 -cosx = 2lim 2 - x 0 3xx_ 31cos-,xx2(8分)設(shè)x a0, f "(x)解：當(dāng)x°,試討論f(x)的可導(dǎo)性,11=2x cos sinxx；當(dāng) x ： 0, f (x) 口x =0Ax2 cos丄-0 f+'(0)=禺 +嚴(yán)=0f_'(0) =f (x )= “112x cos sin x 0x

24、xx 0故f (x)在x=0處不可導(dǎo)。ii. (8分)設(shè)函數(shù)y =f(x)在連續(xù)，在x = 0時(shí)二階可導(dǎo), 給出f(x)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線y并在可導(dǎo)處求出f(X).1x- 0“1-.x且其導(dǎo)函數(shù)f(X)的圖形如圖二f (x)的拐點(diǎn).解：極大值點(diǎn)：X = a X = d 極小值點(diǎn)：x = b拐點(diǎn)(0, f (0),( c, f(c)四 解答題(本大題有4小題，每小題9分，共36分)12. (9分)求不定積分dx解：原式x -14ln xx_3lneL ln x dx13. (9分)計(jì)算定積分ex T +c解：原式=eIn xdx11 -|n X dx ,exInx -xlxIn x -

25、x14.解:li(9分)已知直線 平面方=_y-2口匕1y23 ，2z -34,求過(guò)直線|!且平行于直線|2的ny S2 =(1,2,3) (2,5, 4) =(-7,2,1)取直線|i上一點(diǎn)M(0,0,1)于是所求平面方程為-7x 2y (z -1)=015.(9分)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y =ax(a 0)及y=o, x=1所圍成的平面圖形繞 x軸一周的體積為81兀5.求a，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積151V =j兀(a x(X)在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有f(2)=°.證明：存)2dx =兀 a2 x兀a2解：050 一 52一兀a81兀由已知得55 故aC2=9拋物線為：y

26、=9x2繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積： 五綜合題(每小題4分，共8 分)x 9x2dx 二 184xjr 4216. (4 分)設(shè) F(x)十-1) f(x)，其中在(1：2)使得 F ( H0 o證明：由f(x)在1 , 2上二階可導(dǎo)，故F( x)在1 , 2二階可導(dǎo)，因 f (2)=0,故 F (1)= F (2) = 0在1，2上用羅爾定理，至少有一點(diǎn)Xo,(1 ： X。：:： 2)使F (怡)F (x2(x-1)f(x) (x-1)2f (x)得 F(1)=0在1，X。上對(duì)F (x)用羅爾定理，至少有點(diǎn)(1 :：:： X。： 2) F ( ) = °17. (4 分).解: (

27、1) X =1為f(x)的最大值點(diǎn)。f "(x) =(xx2)si n2nx ， 當(dāng) 0<x<1 ， f "(x) =(x_x2)si n2nx0 ； 當(dāng) X1f (x) =(x -X2)sin 2nx乞0。f(1)為極大值，也為最大值。x 2 2n(2)1(2n2)(2 n 3)f (x) (t -t )sin tdt f(1)f(1) = .；(tt2)sin2ntdt 乞.0(t_t2)t2ndt高等數(shù)學(xué)上B (07)解答填空題：(共24分，每小題4 分)dy2 = 2 21 y = sinsin( x )川 dx 2xcossin(x )cos x be

28、 a2dx =二2. 已知'-°°VHx, a=_i。ek In x3. ee。x4. y = e過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y =ex。f( ) xJ上如dx5. 已知 f (x) = e，則.x =x c。3 96. a -2 , b = 232時(shí)，點(diǎn)(1,3)是曲線y =ax bx的拐點(diǎn)。二、計(jì)算下列各題：(共36分，每小題6分)cosx1. 求y =(sin x)的導(dǎo)數(shù)。cosxInsin xcosxlnsin x z解：y =(e) e(-sinxln sinx cot x cosx)sin ln xdx2. 求。解.Js in In xdx=xsi n In x

29、- cos In xdx二 xsin ln x -x cosln x'sin ln xdx(xsinln x -xcosln x) C2x 5 J 2dx3.求 .x T 。x 5 1 d(x2 -1) 5,dxdxdx解:x2 -12、X2 -1、x2 -1F：；x2 -1 5ln |x . x2 -1 I Ce ,x 一 0f（X）二kx T,x ： 0在點(diǎn)x二0處可導(dǎo)，則k為何值?4設(shè)f_(0)likxk 4mlim x解：X- Xx 0 xe -1,e 1f(°)=1k -15.求極限解：)n2 22'n2n2n 葦12+喬產(chǎn)十川葦襯=1 n(x.1 x 2代

30、入上式)|； = l n(1、.2)X 2y _z 1 = 0 2x_ y z = 06求過(guò)點(diǎn)(2, 2,0)且與兩直線x - y z -1 = 0和x - y z = 0平行的平面方程。解：兩 直 線 的 方 向 向 量 分 別 為q =(1,2,1)“1,1,1) = (1,2,3), S2=(2, 1,1)"1,1,1) = (0,1,1)，平面的法向量 n =(1, -2廠 3)(0, 1,1) -( 1。1平面方程為x - y z = 0。三、解答下列各題：(共28分，每小題7分)x = Rcostd2y1設(shè).y =Rsintdx2。精選資料，歡迎下載3cott解：dxd2

31、ydx2 珂®" -Rsint1Rsi n31x2求 F(x) = (t(t-1)dt在_1,2解：F (x) =x(x -1) =0,x =0,x =11 1F(0) =0,F(1)°t(t-1)dt 6,丿 5 2 2F(-1)° t(t -1)d-,F(2) = ,0t(t-1)d- 6325最大值為3，最小值為 6。2 23設(shè) y =y(x)由方程 x(1 y )Tn(x2y)=0確定，求 y'(0)。2 2解：方程x(1 y ) Tn(x 2y) =0兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)2(1 y ) 2xyy2x 2yx2 2y2 24求由y二x與y x

32、圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積解:14v = 0 二(y _y )dy3=JI10四、證明題：(共12分，每小題6分)1 證明過(guò)雙曲線xy =1任何一點(diǎn)之切線與 OX,OY二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)。證明：雙曲線xy二1上任何一點(diǎn)(x, y)的切線方程為1Yy_2(X -x)x1y(0, y+),(2x,0)切線與x軸、y軸的交點(diǎn)為x1 ox oysuxCyW2故切線與OX，OY二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為x使得2.設(shè)函數(shù)f(X)與g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)b匕f( ). g(x)dx =g( ) a f(x)dxbx證明：令F(a) =F(b) =

33、0 , 由 RoHe 定理，存在一點(diǎn)a，b , 使 F ( ) =0 , 即f()為(x)dx = g( ) a f(x)dx一、 單項(xiàng)選擇題(每小題 4分,1 f (x) =xcosxe4sinx| (_00(A)奇函數(shù)；高等數(shù)學(xué)上解答(07)共16分)=x cos xe(B)周期函數(shù)；(C)有界函數(shù);2.當(dāng)Xr 0時(shí),3(A) x ；(D)單調(diào)函數(shù)2f (x) = (1 - cos x)ln(1 2x )與_B_是同階無(wú)窮小量。452(B) x ；(C) x ;(D) xx -2y z = 03. 直線 x y-2z=°(A)直線在平面內(nèi)；(行；科彳4. 設(shè)有三非零向量a，b，c

34、。若a b = °,(A) 0 ；( B) -1 ；( C二、 填空題(每小題4分，共16分)與平面x y 1(C的位置關(guān)系是 C 。 垂直；(D相交但不垂直。a c = 0，則 b c=_A1;(D 31曲線y =ln x上一點(diǎn)P的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e，1)。tan xx 1lim 2=2. 八0 x (e -1)3。3. 方程ey6xy - x2-1 =0確定隱函數(shù)y二y(x)，則y (0)=。_ 24. 曲線y X 、 x =1與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為5。三、解下列各題(每小題 6分，共30分)精選資料，歡迎下載1.已知f(x)二何_(

35、t -sin2 x)t，求 f (x)。解：f(x)tt -sin2 Xf_sin2 x二 elim (t：”： tesin2x1In(In x) +2.求不定積分'1 jIn(In x) +dx= In(In x)dx + f解：.In x1二 x In (I n x)dx'In x二 x In (In x) C1 2/si nx2(- 7X )dx1 +xf (x)二dx In xdx In x5.3. 計(jì)算定積分1 2/ sin xJ X (廠口+J1 - X )dx 解：1 x二(x2 1x2)dx 0x zgint二 2 2sin21cos2tdt0JI_ 81 si

36、n x , dx4. 求不定積分1 cosx 。1 sin x解： 1 cos x二 1 sec xdx -1 cosxx=tanIn |1 - cosx | C2已知 f (In x)二x,且 f(1) = e 1 , 解：令 In x =t, f (t) =e f(x) =ex Cf (1)=e+1 f (x) =ex +1dx In x=：(x2 .1 x2)dx ：x< 1dxdx'1 +cosxd cosx sin x dx1 cosx求 f(x)。(8 分)設(shè) f (x)對(duì)任意 x 有 f (x 12f(x)，且 f (0) 解：由 f(x 1)=2f(x)f(1)

37、= 2f(0)四、12。求 f (1)。X= lim2f(t)-2f(0)t Q t=2f (0) = -12 2五、(8分)證明：當(dāng) X 1 時(shí)，(X -1)|n X (X -1) o證明：只需證明(X 1)ln Xx-1 o令 f (x) = (x 1)ln x -x 1” 1f (x) = ln x 0x ，f (1) =0，當(dāng) x 1 時(shí)，(8分)x 2 2已知 F(x) = .0 (x2 -t2)f dt為等價(jià)無(wú)窮小量。求 f (0) olim 獸=1解：x )0 xx 22F(x)二 0(x2 -t2)f (t)dtX-六、七、f(x)在1,:2f(x) 0。即(x)單調(diào)遞增。2-

38、1)ln x (x -1)。,f ”（x）連續(xù)，且當(dāng)Xr 0 時(shí)，F(xiàn) (x)與 x22 xx 2=x2 f (t)dt- t2f (t)dt 0-0F (x) =2x 0 f "(t)dt + x2 f Ir(x) -x2f "(x) = 2x)0 f "(t)dtx2xof(t)dt=2f(O).F (x).Iim2limX0 X2x_0” 1f (0)2(8分) 設(shè)有曲線y =4x2 (0 積為A,它們與直線x 并求出A的最小值。A f 民 - 解：0 2A (c)C -1令 A (c)二、.c T = 0 ,得 c =1 o “1A (1)021x2- x

39、-1）和直線y = c （0 : c ： 4）。記它們與y軸所圍圖形的面 =1所圍圖形的面積為A2 o問(wèn)c為何值時(shí)，可使A = & A2最小?4 jy dy c(1-亍)dy,c =1為最小值點(diǎn)。4、. y)dy =12min Ady (1 -0 2 J1八、設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的點(diǎn)x0處取得最大值，且| f (x) K (a乞X乞b)。 證明：f(a)|+f(b)戶 K(ba) 證明：f(x0)=0在a,Xo對(duì)f (x)應(yīng)用拉格朗日定理f(X。)- f (a) f ( 1)(x。- a) (a ： 1 ： x。)f (a)二 f ( i)(a-x。)，|f (a)怛 K(x&#

40、176;_a)在xo,b對(duì)f (x)應(yīng)用拉格朗日定理f (b) f (X。) = f ( 2)(b X。) (X。 ： 2 ： b)f (b)二 f ( 2)(bx。)，|f (b)匡 K(bx。)一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選岀一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中) (本大題分5小題，每小題2分，共10分)1、x 彳設(shè)I 二e1dx,則I 二' ex +1xx(A) ln(e -1) +c (B) ln(e +1)+c;(C) 2ln(ex 1) -x c;(D) x -21 n(ex 1) g答()2、12n dlim ien ene e 二n_j :(A)1(B) . e

41、(C)e (D)e2答()3、f(x)的n階麥克勞林展開(kāi)式的拉格朗日型余項(xiàng)Rn(x)1 -x(A)(n 1)(1 _ 亦)n 1(B)(n 1)(1 - vx)n 11 xn 1(1-2(D)(1-幟)2xn14、設(shè)f (x)在x二0勺某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f (0) = 0, lim 1 f COSx = 2 ,則點(diǎn)x二0(A) 是f (x)的極大值點(diǎn)(B)是f(x)的極小值點(diǎn)(C)不是f(x)的駐點(diǎn)(D)是f (x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)答()5、曲線y =x2 -2x 4上點(diǎn)M0(0,4)處的切線M 0T與曲線y2 =2(x-1)所圍成的平面圖形的面積A =(A)21449(B)G (C)7(D)

42、1312二、填空題(將正確答案填在橫線上)(本大題分5小題，每小題3分，共15分)設(shè) y=ln+tan(x+)，貝V y" =1、x用切線法求方程x _2x2 _5x=0在(-1,)內(nèi)的近似根時(shí),選X。并相應(yīng)求得下 一個(gè)近似值 X1 ©貝y xo, X1分別為 0x -i _ y i _ z -13、 設(shè)空間兩直線12與x 1=：y-1=：z相交于一點(diǎn)，則，二 _。.丄 2axsin x+e 1 當(dāng) 。f(x)=x' 廠，在x = 0處連續(xù)，貝V a =.4、la，當(dāng) x = 0b xdx =，其中b是實(shí)數(shù).5、Jo I 三、解答下列各題(本大題4分)設(shè)平面二與兩個(gè)

43、向量a = 31 j和b = 1 j - 4k平行，證明：向量c = 2i - 6j - k與平面二垂直。四、解答下列各題(本大題8分)討論積分f竺的斂散性.0 xp五、解答下列各題(本大題11分)導(dǎo)出計(jì)算積分In - dx的遞推公式，其中n為自然數(shù)。'xnJx2+1六、解答下列各題(本大題4分)x+2y_z_5=0h，求過(guò)F0(4,23)與平面兀x+y+z10 = 0平行且與直線二10 = 0垂直的直線方程。七、解答下列各題(本大題6分)計(jì)算極限 lim 1 xsinxcos2xxtxta nx八、解答下列各題(本大題7分)ee門試求I n = ； (ln x)ndx的遞推公式(n為

44、自然數(shù))，并計(jì)算積分彳(ln x) dx.九、解答下列各題(本大題8分)設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)可微,但無(wú)界，試證明f r(x)在(a,b)內(nèi)無(wú)界。十、解答下列各題(本大題5分)設(shè) lim 申(x) = u0, lim f (u) = f (u0),證明：lim f (x)】=f (u0)Xrx°u :U0x 旳。十一、解答下列各題(本大題4分)在半徑為R的球內(nèi),求體積最大的內(nèi)接圓柱體的高十二、解答下列各題(本大題5分)12 R 4cos,cos -重量為p的重物用繩索掛在 A,B兩個(gè)釘子上，如圖。設(shè)135，求A, B所受的拉力f1，f25、精選資料，歡迎下載5分10分3、4、4-

45、1b2,b -0P十三、解答下列各題（本大題6分）一質(zhì)點(diǎn),沿拋物線y =x（10 - X）運(yùn)動(dòng),其橫坐標(biāo)隨著時(shí)間t的變化規(guī)律為x =r.t （t的單位是秒,X的單位是米）, 求該質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)在點(diǎn)M（8, 6）處的變化速率.十四、解答下列各題 （本大題7分）設(shè)曲線x二.y ,x二2二y2及y二0,圍成一平面圖形.（1）求這個(gè)平面圖形的面積 （2）求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選岀一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）（本大題分5小題，每小題2分，共10分）1、C2、答：B3、C10 分4、（E）5、C二、填空題（將正確答案填在橫線上） （本大題分5小題，

46、每小題3分，共15分）1 2 1 （12）sec（x ）XX12（1 tan （x）1、x10 分2、x0 =0X10 , bi10分i2三、解答下列各題（本大題4分）4分8分10分平面法向量n 2cn與c平行從而平面與c垂直四、解答下列各題（本大題8分）ijk310=4,12,2114精選資料，歡迎下載1 dx0卩1F當(dāng)p =1時(shí),7分10分1 dxp當(dāng)p :1時(shí)收斂，當(dāng)p亠1時(shí)發(fā)散. 0 xp五、解答下列各題（本大題11分）解:法一Inj n 1Xx21n 41X1 d x x21(n 1).亠dx(n 1).21 X dxn 22X . X 1 X21(n 1).-xn2、x21dx (n 1).dxXn . X21xn4(n 1)1n2(n 1)In故In2(n 1)xn 1nrnInI1二 In1 x2I n_2 1 In( n_2)n1(n -1)xnJ 法二令x = tant2dx = sec tdtsec tdttann t sect畀dttan td sect1 x23sectsec tE (n 7