2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷)文

1、1 / 11 2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷) 數(shù)學(xué)(文史類) 本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共 150 分,考試用時(shí) 120 分鐘. 第卷 參考公式: 如果事件 a,b互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 圓柱的體積公式 v=sh. 其中 s 表示圓柱的底面面積,h 表示圓柱的高. 圓錐的體積公式 v=13sh. 其中 s 表示圓錐的底面面積,h 表示圓錐的高. 一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2014 天津,文 1)i 是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)7+i3+4i=( ). a.1-i b.-1+i c.1725+31

2、25i d.-177+257i 答案:a 解析:7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=21-28i+3i+425=1-i. 2.(2014 天津,文 2)設(shè)變量 x,y 滿足約束條件 + -2 0,-2 0, 1,則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值為( ). a.2 b.3 c.4 d.5 答案:b 解析:作出約束條件的可行域如圖中陰影所示. z=x+2y,y=-12x+12z. 2 / 11 直線 y=-12x+12z 在 y 軸上的截距越小,z 就越小. 作直線 l0:x+2y=0,平移 l0,當(dāng)過 a點(diǎn)時(shí),直線 y=-12x+12z 在 y 軸上的截距最小. 由

3、 = 1, + -2 = 0,解得 a(1,1), zmin=1+21=3. 3.(2014 天津,文 3)已知命題 p:x0,總有(x+1)ex1,則p 為( ). a.x00,使得(x0+1)e01 b.x00,使得(x0+1)e01 c.x0,總有(x+1)ex1 d.x0,總有(x+1)ex1 答案:b 解析:由全稱命題xm,p(x)的否定為x0m,p(x),可得p:x00,使得(x0+1)e01.故選 b. 4.(2014 天津,文 4)設(shè) a=log2,b=log12,c=-2,則( ). a.abc b.bac c.acb d.cba 答案:c 解析:a=log2log22=1,

4、b=log12cb.故選 c. 5.(2014 天津,文 5)設(shè)an是首項(xiàng)為 a1,公差為-1 的等差數(shù)列,sn為其前 n 項(xiàng)和.若 s1,s2,s4成等比數(shù)列,則 a1=( ). a.2 b.-2 c.12 d.-12 答案:d 解析:由題意知22=s1s4,則(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得 a1=-12.故選 d. 6.(2014 天津,文 6)已知雙曲線2222=1(a0,b0)的一條漸近線平行于直線 l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上,則雙曲線的方程為( ). a.25220=1 b.22025=1 c.322532100=1 d.321003225=1

5、 答案:a 解析:由雙曲線方程可得其漸近線方程為 y=x. 一條漸近線平行于直線 y=2x+10, 3 / 11 =2. 對(duì)直線 y=2x+10,令 y=0,解得 x=-5. 由題意知 c=5. 又a2+b2=c2, 聯(lián)立,解得 a2=5,b2=20, 所求雙曲線的方程為25220=1.故選 a. 7.(2014 天津,文 7)如圖,abc 是圓的內(nèi)接三角形,bac 的平分線交圓于點(diǎn) d,交 bc 于點(diǎn) e,過點(diǎn) b的圓的切線與 ad 的延長線交于點(diǎn) f.在上述條件下,給出下列四個(gè)結(jié)論:bd 平分cbf;fb2=fd fa;ae ce=be de;af bd=ab bf.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是

6、( ). a. b. c. d. 答案:d 解析:如右圖,在圓中,1 與3 所對(duì)的弧相同,1=3. 又 bf為圓的切線,則2=4. 又ad 為bac 的平分線, 1=2.3=4. bd 平分cbf.故正確. 在bfd 和afb 中, f為公共角,且4=2, bfdafb.=. bf2=afdf,bfab=bdaf. 故正確,正確. 由相交弦定理可知不正確,故選 d. 4 / 11 8.(2014 天津,文 8)已知函數(shù) f(x)=3sin x+cos x(0),xr.在曲線 y=f(x)與直線 y=1 的交點(diǎn)中,若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為3,則 f(x)的最小正周期為( ). a.2 b.23

7、c. d.2 答案:c 解析:f(x)=3sin x+cos x=2sin( +6). 設(shè)距離最小的相鄰兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x1,x2,且 x1 0,若函數(shù) y=f(x)-a|x|恰有 4 個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 . 答案:(1,2) 解析:分別作出函數(shù) y=f(x)與 y=a|x|的圖象,由圖知,a0.當(dāng) x0,a2 時(shí),函數(shù) y=f(x)與 y=a|x|有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng) x0,0a2 時(shí),函數(shù) y=f(x)與y=a|x|有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng) x0 時(shí),若 y=-ax 與 y=-x2-5x-4(-4x-1)相切,則由 =0 得 a=1 或 a=9(舍).因此當(dāng) x1時(shí),函數(shù) y=f(x)

8、與 y=a|x|有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng) x0,a=1 時(shí),函數(shù) y=f(x)與 y=a|x|有三個(gè)交點(diǎn);當(dāng) x0,0a1 時(shí),函數(shù) y=f(x)與 y=a|x|有四個(gè)交點(diǎn).所以當(dāng)且僅當(dāng) 1ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1,f2,右頂點(diǎn)為 a,上頂點(diǎn)為 b.已知|ab|=32|f1f2|. (1)求橢圓的離心率; 9 / 11 (2)設(shè) p為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段 pb為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) f1,經(jīng)過點(diǎn) f2的直線 l 與該圓相切于點(diǎn)m,|mf2|=22.求橢圓的方程. 分析:(1)由條件求出|ab|,|f1f2|,用 a,b,c 表示,結(jié)合平方關(guān)系,求出離心率 e=的值. (2)利用(1)中離心率

9、的值,可將橢圓方程中 a2,b2用 c2表示,設(shè)出 p點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),表示出1p ,1b ,利用以線段pb為直徑的圓過點(diǎn) f1,可得1p 1b =0,得出 x0,y0的關(guān)系,結(jié)合 p在橢圓上,解出 x0,y0用 c 表示.從而求出圓心、半徑,并用 c 表示,再利用 l 與圓相切及|mf2|=22,結(jié)合勾股定理求出 c,得橢圓方程. 解:(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn) f2的坐標(biāo)為(c,0). 由|ab|=32|f1f2|,可得 a2+b2=3c2, 又 b2=a2-c2,則22=12. 所以,橢圓的離心率 e=22. (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. 故橢圓方程為222+22=1. 設(shè)

10、p(x0,y0). 由 f1(-c,0),b(0,c), 有1p =(x0+c,y0),1b =(c,c). 由已知,有1p 1b =0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c0,故有 x0+y0+c=0. 因?yàn)辄c(diǎn) p在橢圓上,故0222+022=1. 由和可得 302+4cx0=0. 而點(diǎn) p不是橢圓的頂點(diǎn),故 x0=-43c, 代入得 y0=3,即點(diǎn) p的坐標(biāo)為(-43,3). 設(shè)圓的圓心為 t(x1,y1),則 x1=-43c+02=-23c,y1=3+c2=23c,進(jìn)而圓的半徑 r=(1-0)2+ (1-c)2=53c. 由已知,有|tf2|2=|mf2|2+r2,又|mf2|=22,

11、故有( +23c)2+ (0-23c)2=8+59c2,解得 c2=3. 所以,所求橢圓的方程為26+23=1. 19.(本小題滿分 14 分)(2014 天津,文 19)已知函數(shù) f(x)=x2-23ax3(a0),xr. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)若對(duì)于任意的 x1(2,+),都存在 x2(1,+),使得 f(x1) f(x2)=1.求 a 的取值范圍. 分析:(1)第一步:求導(dǎo),解 f(x)=0 的根,第二步:列表,判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性求出極值,第三步:結(jié)論. 10 / 11 (2)設(shè)集合 a=f(x)|x(2,+),b=1()|(1, + ),() 0,則可將已

12、知條件轉(zhuǎn)化為 ab的問題.由(1)知f(x)=0 的根為 x=32,再討論32與 1,2 的大小關(guān)系,進(jìn)而分三種情況分別討論“ab”是否成立,求出 a 的范圍. 解:(1)由已知,有 f(x)=2x-2ax2(a0). 令 f(x)=0,解得 x=0 或 x=1. 當(dāng) x 變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表: x (-,0) 0 (0,1a) 1a (1a, + ) f(x) - 0 + 0 - f(x) 0 13a2 所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1); 單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),(1, + ). 當(dāng) x=0 時(shí),f(x)有極小值,且極小值 f(0)=0; 當(dāng) x=1時(shí),f(x

13、)有極大值,且極大值 f(1) =132. (2)由 f(0)=f(32)=0 及(1)知,當(dāng) x(0,32)時(shí),f(x)0; 當(dāng) x(32, + )時(shí),f(x)2,即 0a34時(shí),由 f(32)=0 可知,0a,而 0b,所以 a不是 b的子集. 當(dāng) 1322,即34a32時(shí),有 f(2)0,且此時(shí) f(x)在(2,+)上單調(diào)遞減,故 a=(-,f(2),因而 a(-,0); 由 f(1)0,有 f(x)在(1,+)上的取值范圍包含(-,0),則(-,0)b,所以,ab. 當(dāng)3232時(shí),有 f(1)0,且此時(shí) f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,故 b=(1(1),0),a=(-,f(2),所以

14、 a不是 b的子集. 綜上,a 的取值范圍是34,32. 20.(本小題滿分 14 分)(2014 天津,文 20)已知 q 和 n 均為給定的大于 1 的自然數(shù).設(shè)集合 m=0,1,2,q-1,集合a=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xim,i=1,2,n. 11 / 11 (1)當(dāng) q=2,n=3 時(shí),用列舉法表示集合 a; (2)設(shè) s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中 ai,bim,i=1,2,n.證明:若 anbn,則 st. 分析:(1)先由已知寫出 m,及描述法的集合 a,再對(duì) xi值的情況討論,寫出 a的列舉法表示. (2)證明 st,可用作差法,即判斷 s-t0.作差后利用放縮法,將差式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和判斷差的符號(hào). (1)解:當(dāng) q=2,n=3 時(shí),m=0,1,a=x|x