2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)文

1、1 / 12 2014 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷) 數(shù)學(xué)(文科) 本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共 4 頁(yè),選擇題部分 1 至 2 頁(yè),非選擇題部分 3 至 4 頁(yè).滿分 150分,考試時(shí)間 120 分鐘. 考生注意: 1.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上. 2.答題時(shí),請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求,在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答,在本試題卷上的作答一律無(wú)效. 參考公式: 球的表面積公式 s=4r2 球的體積公式 v=43r3 其中 r表示球的半徑 錐體的體積公式 v=13sh 其中 s 表示錐體的底面積,

2、h 表示錐體的高 柱體的體積公式 v=sh 其中 s 表示柱體的底面積,h 表示柱體的高 臺(tái)體的體積公式 v=13h(s1+12+s2) 其中 s1,s2分別表示臺(tái)體的上、下底面積,h 表示臺(tái)體的高 如果事件 a,b互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b) 選擇題部分(共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2014 浙江,文 1)設(shè)集合 s=x|x2,t=x|x5,則 st=( ). a.(-,5 b.2,+) c.(2,5) d.2,5 答案:d 解析:由已知得 st=x|2x5=2,5

3、,故選 d. 2 / 12 2.(2014 浙江,文 2)設(shè)四邊形 abcd 的兩條對(duì)角線為 ac,bd,則“四邊形 abcd 為菱形”是“acbd”的( ). a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:a 解析:當(dāng)四邊形 abcd 為菱形時(shí),其對(duì)角線互相垂直,必有 acbd;但當(dāng) acbd 時(shí),四邊形不一定是菱形(如圖),因此“四邊形 abcd 為菱形”是“acbd”的充分不必要條件.故選 a. 3.(2014 浙江,文 3)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是( ). a.72 cm3 b.90 cm3 c.108 cm

4、3 d.138 cm3 答案:b 解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)組合體,其左側(cè)是一個(gè)直三棱柱,右側(cè)是一個(gè)長(zhǎng)方體.其中三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形,其兩直角邊長(zhǎng)分別是 3 cm和 4 cm,三棱柱的高為 3 cm,因此其體積 v1=sh=12433=18(cm3).長(zhǎng)方體中三條棱的長(zhǎng)度分別為 4 cm,6 cm,3 cm,因此其體積 v2=463=72(cm3). 故該幾何體的體積 v=v1+v2=18+72=90(cm3),故選 b. 4.(2014 浙江,文 4)為了得到函數(shù) y=sin 3x+cos 3x 的圖象,可以將函數(shù) y=2cos 3x 的圖象( ). a.向右平移12個(gè)單位

5、b.向右平移4個(gè)單位 c.向左平移12個(gè)單位 d.向左平移4個(gè)單位 答案:a 3 / 12 解析:由于 y=sin 3x+cos 3x=2sin(3 +4),y=2cos 3x=2sin(3 +2),因此只需將 y=2cos 3x 的圖象向右平移12個(gè)單位,即可得到 y=2sin3(-12) + 2 = 2sin(3 +4)的圖象,故選 a. 5.(2014 浙江,文 5)已知圓 x2+y2+2x-2y+a=0 截直線 x+y+2=0 所得弦的長(zhǎng)度為 4,則實(shí)數(shù) a 的值是( ). a.-2 b.-4 c.-6 d.-8 答案:b 解析:圓的方程可化為(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圓

6、心為(-1,1),半徑 r=2-. 圓心到直線 x+y+2=0 的距離 d=|-1+1+2|2= 2,又弦長(zhǎng)為 4,因此由勾股定理可得(2)2+(42)2=(2-)2,解得a=-4.故選 b. 6.(2014 浙江,文 6)設(shè) m,n 是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面.( ). a.若 mn,n,則 m b.若 m,則 m c.若 m,n,n,則 m d.若 mn,n,則 m 答案:c 解析:當(dāng) mn,n時(shí),可能有 m,但也有可能 m或 m,故 a 選項(xiàng)錯(cuò)誤; 當(dāng) m,時(shí),可能有 m,但也有可能 m或 m,故選項(xiàng) b 錯(cuò)誤; 當(dāng) m,n,n時(shí),必有 ,從而 m,故選項(xiàng) c 正確; 在如圖所示

7、的正方體 abcd-a1b1c1d1中,取 m 為 b1c1,n 為 cc1,為平面 abcd,為平面 add1a1,這時(shí)滿足mn,n,但 m不成立,故選項(xiàng) d 錯(cuò)誤. 7.(2014 浙江,文 7)已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0f(-1)=f(-2)=f(-3)3,則( ). a.c3 b.3c6 c.69 答案:c 解析:由于 f(-1)=f(-2)=f(-3),所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c. 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得 3a-b=7, 4 / 12 由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c, 整理得 5

8、a-b=19,由3- = 7,5- = 19,解得 = 6, = 11. 于是 f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6, 又因?yàn)?0f(-1)=f(-2)=f(-3)3, 因此 0c-63,解得 60),g(x)=logax 的圖象可能是( ). 答案:d 解析:若 a1,則函數(shù) g(x)=logax 的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0),且單調(diào)遞增,但當(dāng) x(0,1)時(shí),y=xa(x0)的圖象應(yīng)在直線 y=x 的下方,故 c 選項(xiàng)錯(cuò)誤; 若 0a0)的圖象應(yīng)單調(diào)遞增,且當(dāng) x(0,1)時(shí)圖象應(yīng)在直線 y=x 的上方,因此 a,b 均錯(cuò),只有 d 項(xiàng)正確. 9.(2014 浙江,文 9)設(shè) 為兩個(gè)非零向量

9、 a,b 的夾角.已知對(duì)任意實(shí)數(shù) t,|b+ta|的最小值為 1.( ). a.若 確定,則|a|唯一確定 b.若 確定,則|b|唯一確定 c.若|a|確定,則 唯一確定 d.若|b|確定,則 唯一確定 答案:b 解析:|b+ta|2=(b+ta)2=|b|2+|a|2t2+2abt, 令 f(t)=|a|2t2+2abt+|b|2, 由于|b+ta|的最小值為 1,所以函數(shù) f(t)的最小值也為 1,即4|2|2-4()24|2=1. 又 a,b 均為非零向量,且夾角為 , 5 / 12 因此|b|2-|b|2cos2=1,于是|b|2=11-cos2, 因此當(dāng) 確定時(shí),|b|2的值唯一確定

10、,亦即|b|唯一確定,故選 b. 10.(2014 浙江,文 10)如圖,某人在垂直于水平地面 abc 的墻面前的點(diǎn) a處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn) a到墻面的距離為 ab,某目標(biāo)點(diǎn) p 沿墻面上的射線 cm 移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn) p,需計(jì)算由點(diǎn) a觀察點(diǎn) p的仰角 的大小.(仰角 為直線 ap 與平面 abc 所成角).若 ab=15 m,ac=25 m,bcm=30 ,則 tan 的最大值是( ). a.305 b.3010 c.439 d.539 答案:d 解析:由于 abbc,ab=15 m,ac=25 m, 所以 bc=252-152=20 m. 過(guò)點(diǎn) p作 pnbc 交 bc 于

11、 n, 連接 an(如圖),則pan=,tan =. 設(shè) nc=x(x0),則 bn=20-x, 于是 an=2+ b2= 152+ (20-x)2 =2-40 x + 625, pn=nctan 30 =33x, 所以 tan =33x2-40 x+625 =331-40+6252=336252-40+1, 令1=t, 則625240+1=625t2-40t+1, 當(dāng) t=4125時(shí),625t2-40t+1 取最小值925, 6 / 12 因此6252-40+ 1的最小值為925=35,這時(shí) tan 的最大值為3353=539(此時(shí) =1254).故選 d. 非選擇題部分(共 100 分)

12、二、填空題:本大題共 7 小題,每小題 4 分,共 28 分. 11.(2014 浙江,文 11)已知 i 是虛數(shù)單位,計(jì)算1-i(1+i)2= . 答案:-1212i 解析:1-i(1+i)2=1-i2i=(1-i)i2ii=1+i-2=-1212i. 12.(2014 浙江,文 12)若實(shí)數(shù) x,y 滿足 + 2-4 0,-1 0, 1,則 x+y 的取值范圍是 . 答案:1,3 解析:畫出約束條件所確定的可行域(如圖中陰影部分所示). 令 z=x+y,則 y=-x+z,畫出直線 l:y=-x,平移直線 l,當(dāng) l 經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn) a(1,0)時(shí),z 取最小值,且 zmin=1+0=1;

13、 當(dāng) l 經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn) b(2,1)時(shí),z 取最大值,且 zmax=2+1=3,故 x+y 的取值范圍是1,3. 13.(2014 浙江,文 13)若某程序框圖如圖所示,當(dāng)輸入 50 時(shí),則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是 . 答案:6 解析:第一次執(zhí)行循環(huán)體 s=20+1=1,i=1+1=2; 第二次執(zhí)行循環(huán)體 s=21+2=4,i=2+1=3; 第三次執(zhí)行循環(huán)體 s=24+3=11,i=3+1=4; 7 / 12 第四次執(zhí)行循環(huán)體 s=211+4=26,i=4+1=5; 第五次執(zhí)行循環(huán)體 s=226+5=57,i=5+1=6, 這時(shí) s=5750,跳出循環(huán),輸出 i=6. 14.(2014 浙

14、江,文 14)在 3 張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各 1 張,另 1 張無(wú)獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取 1 張,兩人都中獎(jiǎng)的概率是 . 答案:13 解析:甲、乙兩人各抽取 1 張,一共有 32=6 種等可能的結(jié)果,兩人都中獎(jiǎng)的結(jié)果有 21=2 種,由古典概型計(jì)算公式可得所求概率為 p=26=13. 15.(2014 浙江,文 15)設(shè)函數(shù) f(x)=2+ 2x + 2,x 0,-2,x 0,若 f(f(a)=2,則 a= . 答案:2 解析:當(dāng) a0 時(shí),f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+10, 于是 f(f(a)=f(a2+2a+2)=-(a2+2a+2)2, 令-(a2+2a+2)2=2,顯然無(wú)解;

15、 當(dāng) a0 時(shí),f(a)=-a20,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn) a,b.若點(diǎn)p(m,0)滿足|pa|=|pb|,則該雙曲線的離心率是 . 答案:52 8 / 12 解析:雙曲線2222=1 的兩條漸近線方程分別是 y=x 和 y=-x. 由 =x,-3 + = 0,解得 a(-3,-3), 由 = -x,-3 + = 0,解得 b(-+3,+3). 設(shè) ab中點(diǎn)為 e,則 e(-2m2-92,-32m2-92). 由于|pa|=|pb|,所以 pe 與直線 x-3y+m=0 垂直,而 kpe=32m2-92-2m2-92=3222-92, 于是3222-9213=-1. 所以 a2=4b2=

16、4(c2-a2). 所以 4c2=5a2,解得 e=52. 三、解答題:本大題共 5 小題,共 72 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 18.(本題滿分 14 分)(2014 浙江,文 18)在abc 中,內(nèi)角 a,b,c 所對(duì)的邊分別為 a,b,c.已知 4sin2-2+4sin asin b=2+2. (1)求角 c 的大小; (2)已知 b=4,abc 的面積為 6,求邊長(zhǎng) c 的值. 分析:(1)利用二倍角的余弦公式及兩角和的余弦公式,將已知條件化簡(jiǎn).由 a+b的余弦值,求出 a+b的值,從而得出角 c 的大小. (2)利用三角形的面積公式求出 a 值,再由余弦定理即可求出

17、 c 值. 解:(1)由已知得 21-cos(a-b)+4sin asin b=2+2, 化簡(jiǎn)得-2cos acos b+2sin asin b=2, 故 cos(a+b)=-22. 所以 a+b=34,從而 c=4. (2)因?yàn)?sabc=12absin c, 由 sabc=6,b=4,c=4,得 a=32. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos c,得 c=10. 19.(本題滿分 14 分)(2014 浙江,文 19)已知等差數(shù)列an的公差 d0.設(shè)an的前 n 項(xiàng)和為 sn,a1=1,s2 s3=36. (1)求 d 及 sn; (2)求 m,k(m,kn*)的值,使得 am+a

18、m+1+am+2+am+k=65. 9 / 12 分析:(1)利用等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式與已知進(jìn)行基本量運(yùn)算,即可求出公差 d,進(jìn)而求出 sn. (2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前 n 項(xiàng)和公式可得出 m,k 的關(guān)系式,再由 m,kn*,通過(guò) 2m+k-1=13,k+1=5,求出 m,k 的值. 解:(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 將 a1=1 代入上式解得 d=2 或 d=-5. 因?yàn)?d0,所以 d=2. 從而 an=2n-1,sn=n2(nn*). (2)由(1)得 am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1). 所以(2m+k-1)(k+1)=6

19、5. 由 m,kn*知 2m+k-1k+11, 故2 + -1 = 13, + 1 = 5,所以 = 5, = 4. 20.(本題滿分 15 分)(2014 浙江,文 20)如圖,在四棱錐 a-bcde 中,平面 abc平面bcde,cde=bed=90 ,ab=cd=2,de=be=1,ac=2. (1)證明:ac平面 bcde; (2)求直線 ae與平面 abc 所成的角的正切值. 分析:(1)先由勾股定理的逆定理,證出線線垂直,再利用面面垂直的性質(zhì)定理,推出線面垂直,即得結(jié)論. (2)由面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直,利用線面垂直的轉(zhuǎn)化,可求作并證明所求線面角(為eaf).將空間角轉(zhuǎn)化為平面

20、角,再利用解直角三角形,求出線面角的正切值. (1)證明:連接 bd. 在直角梯形 bcde中,由 de=be=1,cd=2, 得 bd=bc=2,由 ac=2,ab=2,得 ab2=ac2+bc2,即 acbc. 又平面 abc平面 bcde,從而 ac平面 bcde. 10 / 12 (2)解:在直角梯形 bcde中,由 bd=bc=2,dc=2, 得 bdbc,又平面 abc平面 bcde, 所以 bd平面 abc. 作 efbd,與 cb延長(zhǎng)線交于 f,連接 af,則 ef平面 abc. 所以eaf是直線 ae 與平面 abc 所成的角. 在 rtbef中,由 eb=1,ebf=4,得

21、 ef=22,bf=22. 在 rtacf中,由 ac=2,cf=322,得 af=262. 在 rtaef中,由 ef=22,af=262,得 taneaf=1313. 所以直線 ae與平面 abc 所成的角的正切值是1313. 21.(本題滿分 15 分)(2014 浙江,文 21)已知函數(shù) f(x)=x3+3|x-a|(a0).若 f(x)在-1,1上的最小值記為 g(a). (1)求 g(a); (2)證明:當(dāng) x-1,1時(shí),恒有 f(x)g(a)+4. 分析:(1)由于 f(x)解析式中含絕對(duì)值,因此要去絕對(duì)值符號(hào).化簡(jiǎn)解析式必須對(duì) a0 分情況討論,并對(duì) x 所屬區(qū)間討論.再通過(guò)求

22、導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù) f(x)的最小值 g(a). (2)令 h(x)=f(x)-g(a),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 h(x)4 在 x-1,1上恒成立.對(duì)恒成立問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理,即只需求出函數(shù) h(x)在-1,1上的最大值為 4.因此,根據(jù) g(a)分情況討論 h(x)的最大值,借助于導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性法求最值即可得解. (1)解:因?yàn)?a0,-1x1,所以 當(dāng) 0a1 時(shí), 若 x-1,a,則 f(x)=x3-3x+3a,f(x)=3x2-30,故 f(x)在(a,1)上是增函數(shù). 所以 g(a)=f(a)=a3. 當(dāng) a1 時(shí),有 xa,則 f(x)=x3-3x+3a,f(x)=3x2-30. 故 f(x)在(-1,1)上是減函數(shù), 所以 g(a)=f(1)=-2+3a. 綜上,g(a)=3,0 a 1,-2 + 3, 1. (2)證明:令 h(x)=f(x)-g(a), 當(dāng) 0a1 時(shí),g(a)=a3. 11 / 12 若 xa,1,h(x)=x3+3x-3a-a3,得 h(x)=3x2+3,則