2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(廣東卷)文

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(文科)本試卷共4頁(yè),21小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用2b鉛筆將試卷類型(a)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.選擇題每小題選出答案后,用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)

2、使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2b鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無效.5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.參考公式:錐體的體積公式v=13sh,其中s為錐體的底面積,h為錐體的高.一組數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014廣東,文1)已知集合m=2,3,4,n=0,2,3,5,則mn=().a.0,

3、2b.2,3c.3,4d.3,5答案:b解析:由題意知mn=2,3,故選b.2.(2014廣東,文2)已知復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=25,則z=().a.-3-4ib.-3+4ic.3-4id.3+4i答案:d解析:由題意知z=253-4i=25(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3+4i,故選d.3.(2014廣東,文3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=().a.(-2,1)b.(2,-1)c.(2,0)d.(4,3)答案:b解析:由題意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故選b.4.(2014廣東,文4)若變量x,y滿足約束條件x+2y8,0x4,0y3,則

4、z=2x+y的最大值等于().a.7b.8c.10d.11答案:c解析:畫出x,y約束條件限定的可行域如圖陰影部分所示,作直線l:y=-2x,平移直線l,經(jīng)過可行域上的點(diǎn)a(4,2)時(shí),z取最大值,即zmax=2×4+2=10,故選c.5.(2014廣東,文5)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是().a.2x-12xb.x3sin xc.2cos x+1d.x2+2x答案:a解析:對(duì)于a選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)閞.令f(x)=2x-12x,f(-x)=2-x-12-x=12x-2x=-f(x),故a正確;對(duì)于b選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)閞,令g(x)=x3sin x,g(-x)=(-x)3sin(-x)=x

5、3sin x=g(x),該函數(shù)為偶函數(shù);對(duì)于c選項(xiàng),函數(shù)定義域?yàn)閞,令h(x)=2cos x+1,h(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=h(x),h(x)為偶函數(shù);對(duì)于d選項(xiàng),令m(x)=x2+2x,由m(1)=3,m(-1)=32,m(1)m(-1),m(1)-m(-1),知該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故選a.6.(2014廣東,文6)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為().a.50b.40c.25d.20答案:c解析:由題意知分段間隔為1 00040=25,故選c.7.(2014廣東,文7)在abc中,角a,b,c所對(duì)應(yīng)的

6、邊分別為a,b,c,則“ab”是“sin asin b”的().a.充分必要條件b.充分非必要條件c.必要非充分條件d.非充分非必要條件答案:a解析:由正弦定理asina=bsinb=2r(r為三角形外接圓半徑)得,a=2rsin a,b=2rsin b,故ab2rsin a2rsin bsin asin b,故選a.8.(2014廣東,文8)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<5,則曲線x216-y25-k=1與曲線x216-k-y25=1的().a.實(shí)半軸長(zhǎng)相等b.虛半軸長(zhǎng)相等c.離心率相等d.焦距相等答案:d解析:0<k<5,5-k>0,16-k>0,對(duì)于雙曲線x21

7、6-y25-k=1,實(shí)軸長(zhǎng)為8,虛軸長(zhǎng)為25-k,焦距為216+5-k=221-k;對(duì)于雙曲線x216-k-y25=1,實(shí)軸長(zhǎng)為216-k,虛軸長(zhǎng)為25,焦距為216-k+5=221-k,因此兩雙曲線的焦距相等,故選d.9.(2014廣東,文9)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是().a.l1l4b.l1l4c.l1與l4既不垂直也不平行d.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案:d解析:如圖所示正方體abcd-a1b1c1d1,取l1為bb1,l2為bc,l3為ad,l4為cc1,則l1l4,可知選項(xiàng)a錯(cuò)誤;取l1為bb1,l2

8、為bc,l3為ad,l4為c1d1,則l1l4,故b錯(cuò)誤,則c也錯(cuò)誤,故選d.10.(2014廣東,文10)對(duì)任意復(fù)數(shù)1,2,定義1􀆽 2=12,其中2是2的共軛復(fù)數(shù).對(duì)任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3,有如下四個(gè)命題:(z1+z2)􀆽 z3=(z1􀆽 z3)+(z2􀆽 z3);z1􀆽 (z2+z3)=(z1􀆽 z2)+(z1􀆽 z3);(z1􀆽 z2)􀆽 z3=z1􀆽 (z2􀆽 z3);z1⣺

9、21; z2=z2􀆽 z1.則真命題的個(gè)數(shù)是().a.1b.2c.3d.4答案:b解析:由定義知(z1+z2)􀆽 z3=(z1+z2)·z3=z1z3+z2z3=(z1􀆽 z3)+(z2􀆽 z3), 故正確;對(duì)于,z1􀆽 (z2+z3)=z1·z2+z3=z1(z2+z3)=z1z2+z1z3=z1􀆽 z2+z1􀆽 z3,故正確;對(duì)于,左邊=(z1·z2)􀆽 z3=z1z2z3,右邊=z1􀆽 (z2z3)

10、=z1z2z3=z1z2z3,左邊右邊,故錯(cuò)誤;對(duì)于,取z1=1+i,z2=2+i,左邊=z1z2=(1+i)(2-i)=3+i;右邊=z2z1=(2+i)(1-i)=3-i,左邊右邊,故錯(cuò)誤,故選b.二、填空題:本大題共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.(一)必做題(1113題)11.(2014廣東,文11)曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為. 答案:5x+y+2=0解析:y'=-5ex,所求曲線的切線斜率k=y'|x=0=-5e0=-5,切線方程為y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.12.(2014廣東,文12)從字母a

11、,b,c,d,e中任取兩個(gè)不同字母,則取到字母a的概率為. 答案:25解析:基本事件總數(shù)有10個(gè),即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4個(gè),故由古典概型知所求事件的概率p=410=25.13.(2014廣東,文13)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=. 答案:5解析:由等比數(shù)列性質(zhì)知a1a5=a2a4=a32=4.an>0,a3=2,

12、a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.(二)選做題(1415題,考生只能從中選做一題)14.(2014廣東,文14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,曲線c1與c2的方程分別為2cos2=sin 與cos =1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則曲線c1與c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. 答案:(1,2)解析:曲線c1的普通方程為y=2x2,曲線c2的普通方程為x=1,聯(lián)立x

13、=1,y=2x2,解得x=1,y=2.因此交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,2).15.(2014廣東,文15)(幾何證明選講選做題)如圖,在平行四邊形abcd中,點(diǎn)e在ab上且eb=2ae,ac與de交于點(diǎn)f,則cdf的周長(zhǎng)aef的周長(zhǎng)=. 答案:3解析:eb=2ae,ab=3ae.又四邊形abcd為平行四邊形,abcd,ab=cd,cdfaef,cdf的周長(zhǎng)aef的周長(zhǎng)=cdae=abae=3.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2014廣東,文16)已知函數(shù)f(x)=asinx+3,xr,且f512=322.(1)求a

14、的值;(2)若f()-f(-)=3,0,2,求f6-.解:(1)f(x)=asinx+3,且f512=322,f512=asin512+3=asin34=a·22=322,a=3.(2)f(x)=3sinx+3,且f()-f(-)=3,f()-f(-)=3sin+3-3sin-+3=3sincos3+cossin 3-sin 3cos-cos 3sin=3·2sin cos 3=3sin =3,sin =33,且0,2,cos =1-sin2=63.f6-=3sin6-+3=3sin2-=3cos =6.17.(本小題滿分13分)(2014廣東,文17)某車間20名工人年齡

15、數(shù)據(jù)如下表:年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計(jì)20(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;(2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;(3)求這20名工人年齡的方差.解:(1)由圖可知,眾數(shù)為30.極差為:40-19=21.(2)192888999300000111122240(3)根據(jù)表格可得:x=19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+4020=30,s2=120(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)

16、2+(41-30)2=13.65.18.(本小題滿分13分)(2014廣東,文18)如圖1,四邊形abcd為矩形,pd平面abcd,ab=1,bc=pc=2.作如圖2折疊;折痕efdc,其中點(diǎn)e,f分別在線段pd,pc上,沿ef折疊后點(diǎn)p疊在線段ad上的點(diǎn)記為m,并且mfcf.圖1圖2(1)證明:cf平面mdf;(2)求三棱錐m-cde的體積.(1)證明:pd平面abcd,且pd平面pcd,平面pcd面abcd,交線為cd.又四邊形abcd為矩形,adcd,ad平面abcd,md平面pcd.又由于cf平面pcd,mdcf.mfcf,且mdmf=m,cf平面mdf.(2)解:md平面pcd,vm

17、-cde=13·scde·md.cf平面mdf,df平面mdf,cfdf.在rtpcd中,cd=1,pc=2,pcd=60°,且cd=1,cf=12,故pf=2-12=32.mf=32.又cfmf,故利用勾股定理得:cm=102,在rtmdc中,cm=102,cd=1,得dm=62.又f點(diǎn)位于cp的四等分點(diǎn),且pd=3,e為pd的四等分點(diǎn),故de=34,scde=12cd·de=12×1×34=38,vm-cde=13scde·dm=216.19.(本小題滿分14分)(2014廣東,文19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和

18、為sn,且sn滿足sn2-(n2+n-3)·sn-3(n2+n)=0,nn*.(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)<13.(1)解:由sn2-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*,令n=1,得s12-(-1)s1-6=0,即a12+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.由于數(shù)列an為正數(shù)數(shù)列,所以a1=2.(2)解:由sn2-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*,因式分解得(sn+3)(sn-n2-n)=0.由數(shù)列an為正數(shù)數(shù)列可得sn-n2-n=0,即s

19、n=n2+n.當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n,由a1=2可得,nn*,an=2n.(3)證明:由(2)可知1an(an+1)=12n(2n+1),nn*,1an(an+1)=12n(2n+1)<1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.當(dāng)n=1時(shí),顯然有1a1(a1+1)=16<13;當(dāng)n2時(shí),1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)<12·(2+1)+1213-15+15-17+12n-1-12n+1=13-12·12n+1<13,所以,對(duì)一切正整數(shù)n,有1a1(a1+1)+

20、1a2(a2+1)+1an(an+1)<13.20.(本小題滿分14分)(2014廣東,文20)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0),離心率為53.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動(dòng)點(diǎn)p(x0,y0)為橢圓c外一點(diǎn),且點(diǎn)p到橢圓c的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)p的軌跡方程.解:(1)由c=5,e=ca=53得:a=3,b=2.橢圓方程為:x29+y24=1.(2)設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為a,b.當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí),即a,b兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn),p點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,±2).當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí),設(shè)橢圓切線斜率為k,過點(diǎn)p的橢圓的切線方程為y-y0=k(x-x0),聯(lián)立y-y0=k(x-x0),x29+y24=1,得(9k2+4)x2+(18ky0-18k2x0)x+9k2x02-18kx0y0+9y02-36=0,=09k2+4=(kx0-y0)2(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0,設(shè)pa,pb斜率分別為k1,k2,則k1·k2=y02-4x02-9,又pa,pb互相垂直,k1·k2=y02-4x02-9=-1,化簡(jiǎn)得x02+y02=13(x0±3).又p(±3,±2)在x02+y02=13上,點(diǎn)p在圓x2+y2=13上.點(diǎn)p