2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(課標全國Ⅱ) (2)

1、1 / 9 2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 課標全國理科數(shù)學 注意事項: 1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上. 2.回答第卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效. 3.回答第卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效. 4.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回. 第卷 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2015 課標全國,理

2、 1)已知集合 a=-2,-1,0,1,2,b=x|(x-1)(x+2)0,則 ab=( ) a.-1,0 b.0,1 c.-1,0,1 d.0,1,2 答案:a 解析:b=x|-2x1,ab=-1,0. 2.(2015 課標全國,理 2)若 a為實數(shù),且(2+ai)(a-2i)=-4i,則 a=( ) a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:b 解析:(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i, 4 = 0,2 4 = 4,解之得 a=0. 3.(2015 課標全國,理 3)根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結論中不正確的是

3、( ) a.逐年比較,2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 b.2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 c.2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 d.2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 答案:d 解析:由柱形圖知,2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢,故其排放量與年份負相關,故 d 錯誤. 4.(2015 課標全國,理 4)已知等比數(shù)列an滿足 a1=3,a1+a3+a5=21,則 a3+a5+a7=( ) a.21 b.42 c.63 d.84 答案:b 解析:由題意知1+3+51=1+q2+q4=213=7,解得 q2=2(負值舍去).a3+a5+

4、a7=(a1+a3+a5)q2=212=42. 5.(2015 課標全國,理 5)設函數(shù) f(x)=1 + log2(2 ), 1,21, 1,則 f(-2)+f(log212)=( ) a.3 b.6 c.9 d.12 答案:c 解析:f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2log2121=2log21221=122=6,f(-2)+f(log212)=9. 2 / 9 6.(2015 課標全國,理 6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如右圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) a.18 b.17 c.16 d.15 答案:d 解析:由題意知該正方體截

5、去了一個三棱錐,如圖所示,設正方體棱長為 a,則 v正方體=a3,v截去部分=16a3,故截去部分體積與剩余部分體積的比值為16a356a3=15. 7.(2015 課標全國,理 7)過三點 a(1,3),b(4,2),c(1,-7)的圓交 y 軸于 m,n 兩點,則|mn|=( ) a.26 b.8 c.46 d.10 答案:c 解析:設圓的方程為 x2+y2+dx+ey+f=0,將點 a,b,c 代入,得 + 3 + + 10 = 0,4 + 2 + + 20 = 0, 7 + + 50 = 0,解得 = 2, = 4, = 20. 則圓的方程為 x2+y2-2x+4y-20=0. 令 x

6、=0 得 y2+4y-20=0, 設 m(0,y1),n(0,y2),則 y1,y2是方程 y2+4y-20=0 的兩根, 由根與系數(shù)的關系,得 y1+y2=-4,y1y2=-20,故|mn|=|y1-y2|=(1+ 2)2 412= 16 + 80=46. 8.(2015 課標全國,理 8)下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著九章算術中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的 a,b 分別為 14,18,則輸出的 a=( ) a.0 b.2 c.4 d.14 答案:b 解析:由程序框圖,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),則輸出的 a=2. 9.(

7、2015 課標全國,理 9)已知 a,b是球 o 的球面上兩點,aob=90 ,c 為該球面上的動點.若三棱錐 o-abc 體積的最大值為 36,則球 o 的表面積為( ) a.36 b.64 c.144 d.256 答案:c 解析:由aob 面積確定,若三棱錐 o-abc 的底面 oab的高最大,則其體積才最大.因為高最大為半徑 r,所以 vo-abc=1312r2r=36,解得 r=6,故 s球=4r2=144. 3 / 9 10.(2015 課標全國,理 10)如圖,長方形 abcd 的邊 ab=2,bc=1,o 是 ab的中點.點 p沿著邊 bc,cd 與 da運動,記bop=x.將動

8、點 p到 a,b兩點距離之和表示為 x 的函數(shù) f(x),則 y=f(x)的圖像大致為( ) 答案:b 解析:當點 p在線段 bc 上時,如圖,x0,4. pb=obtan x=tan x,pa=2+ 2= tan2 + 4, 所以 f(x)=pb+pa=tan x+tan2 + 4. 顯然函數(shù) f(x)在0,4內單調遞增, 故 f(0)f(x)f(4),即 2f(x)1+5. 取線段 cd 的中點 e,當點 p在線段 ce上時,x(4,2). 如圖,過點 p作 phab,垂足為 h. 則 oh=1tan,bh=1-1tan. 所以 pb=2+ 2=12+ (1 1tan)2, pa=2+ 2

9、=12+ (1 +1tan)2. 所以 f(x)=pb+pa=1 + (1 1tan)2+1 + (1 +1tan)2.所以 f(x)在(4,2)上單調遞減. 當點 p在點 e處,f(x)=pb+pa=220,b0),點 m 在右支上, 如圖所示,abm=120 ,過點 m 向 x 軸作垂線,垂足為 n,則mbn=60 . ab=bm=2a, mn=2asin 60 =3a,bn=2acos 60 =a. 點 m 坐標為(2a,3a),代入雙曲線方程2222=1,整理,得22=1,即22=1. e2=1+22=2,e=2. 12.(2015 課標全國,理 12)設函數(shù) f(x)是奇函數(shù) f(x

10、)(xr)的導函數(shù),f(-1)=0,當 x0 時,xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范圍是( ) a.(-,-1)(0,1) b.(-1,0)(1,+) c.(-,-1)(-1,0) d.(0,1)(1,+) 答案:a 解析:當 x0 時,令 f(x)=(),則 f(x)=()()20 時,f(x)=()為減函數(shù). f(x)為奇函數(shù),且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 f(1)=0. 在區(qū)間(0,1)上,f(x)0; 在(1,+)上,f(x)0,即當 0 x0; 當 x1 時,f(x)0; 當 x(-1,0)時,f(x)0 的解集為(-,-1)(0,1).故選 a. 第卷 本卷

11、包括必考題和選考題兩部分.第 13 題第 21 題為必考題,每個試題考生都必須做答.第 22 題第 24 題為選考題,考生根據(jù)要求做答. 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分. 13.(2015 課標全國,理 13)設向量 a,b 不平行,向量 a+b 與 a+2b 平行,則實數(shù) = . 答案:12 解析:由題意知存在常數(shù) tr,使 a+b=t(a+2b),得 = ,1 = 2,解之得 =12. 14.(2015 課標全國,理 14)若 x,y 滿足約束條件 + 1 0, 2 0, + 2 2 0,則 z=x+y 的最大值為 . 答案:32 解析:由約束條件畫出可行域,如圖中的陰影部

12、分所示. 由可行域可知,目標函數(shù) z=x+y 過點 b取得最大值. 聯(lián)立 2 = 0, + 2 2 = 0,得 b(1,12). zmax=12+1=32. 15.(2015 課標全國,理 15)(a+x)(1+x)4的展開式中 x 的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為 32,則 a= . 答案:3 解析一:(1+x)4=x4+c43x3+c42x2+c41x+c40 x0=x4+4x3+6x2+4x+1, (a+x)(1+x)4的奇數(shù)次冪項的系數(shù)為 4a+4a+1+6+1=32,a=3. 5 / 9 解析二:設(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5. 令 x=1,得

13、 16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5, 令 x=-1,得 0=b0-b1+b2-b3+b4-b5, 由-,得 16(a+1)=2(b1+b3+b5). 即 8(a+1)=32,解得 a=3. 16.(2015 課標全國,理 16)設 sn是數(shù)列an的前 n 項和,且 a1=-1,an+1=snsn+1,則 sn= . 答案:-1 解析:由 an+1=sn+1-sn=snsn+1,得11+1=1,即1+11=-1,則1為等差數(shù)列,首項為11=-1,公差為 d=-1,1=-n,sn=-1. 三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分 12 分)(201

14、5 課標全國,理 17)abc 中,d 是 bc 上的點,ad 平分bac,abd 面積是adc 面積的 2 倍. (1)求sinsin; (2)若 ad=1,dc=22,求 bd 和 ac 的長. 解:(1)sabd=12ab adsinbad, sadc=12ac adsincad. 因為 sabd=2sadc,bad=cad, 所以 ab=2ac. 由正弦定理可得sinsin=12. (2)因為 sabdsadc=bddc, 所以 bd=2. 在abd 和adc 中,由余弦定理知 ab2=ad2+bd2-2ad bdcosadb, ac2=ad2+dc2-2ad dccosadc. 故

15、ab2+2ac2=3ad2+bd2+2dc2=6. 由(1)知 ab=2ac,所以 ac=1. 18.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 18)某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從 a,b 兩地區(qū)分別隨機調查了 20 個用戶,得到用戶對產品的滿意度評分如下: a 地區(qū):62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 b 地區(qū):73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比

16、較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可); (2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級: 滿意度評分 低于 70分 70 分到 89分 不低于 90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 記事件 c:“a 地區(qū)用戶的滿意度等級高于 b 地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,求 c 的概率. 解:(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下: 6 / 9 通過莖葉圖可以看出,a 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于 b 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;a 地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,b 地

17、區(qū)用戶滿意度評分比較分散. (2)記 ca1表示事件:“a 地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”; ca2表示事件:“a 地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”; cb1表示事件:“b 地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”; cb2表示事件:“b 地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”, 則 ca1與 cb1獨立,ca2與 cb2獨立,cb1與 cb2互斥,c=cb1ca1cb2ca2. p(c)=p(cb1ca1cb2ca2)=p(cb1ca1)+p(cb2ca2)=p(cb1)p(ca1)+p(cb2)p(ca2). 由所給數(shù)據(jù)得 ca1,ca2,cb1,cb2發(fā)生的頻率分別為1620,420,1020,82

18、0, 故 p(ca1)=1620,p(ca2)=420,p(cb1)=1020,p(cb2)=820,p(c)=10201620+820420=0.48. 19.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 19)如圖,長方體 abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,點 e,f分別在 a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4,過點 e,f的平面 與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由); (2)求直線 af與平面 所成角的正弦值. 解:(1)交線圍成的正方形 ehgf 如圖: (2)作 emab,垂足為 m, 則

19、am=a1e=4,em=aa1=8. 因為 ehgf為正方形,所以 eh=ef=bc=10. 于是 mh=2 2=6,所以 ah=10. 以 d 為坐標原點, 的方向為 x 軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系 d-xyz, 則 a(10,0,0),h(10,10,0),e(10,4,8),f(0,4,8), =(10,0,0), =(0,-6,8). 設 n=(x,y,z)是平面 ehgf 的法向量, 則 = 0, = 0,即10 = 0,6 + 8 = 0, 所以可取 n=(0,4,3). 又 =(-10,4,8), 故|cos|=| | |=4515. 所以 af與平面 ehgf所成角

20、的正弦值為4515. 20.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 20)已知橢圓 c:9x2+y2=m2(m0),直線 l 不過原點 o 且不平行于坐標軸,l 與 c 有兩個交點 a,b,線段 ab的中點為 m. (1)證明:直線 om 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值; (2)若 l 過點(3,),延長線段 om 與 c 交于點 p,四邊形 oapb 能否為平行四邊形?若能,求此時 l 的斜率;若不能,說明理由. 解:(1)設直線 l:y=kx+b(k0,b0),a(x1,y1),b(x2,y2),m(xm,ym). 將 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2得(k2+9)x2+

21、2kbx+b2-m2=0,故 xm=1+22=2+9,ym=kxm+b=92+9. 于是直線 om 的斜率 kom=-9,即 kom k=-9. 所以直線 om 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值. (2)四邊形 oapb能為平行四邊形. 7 / 9 因為直線 l 過點(3,), 所以 l 不過原點且與 c 有兩個交點的充要條件是 k0,k3. 由(1)得 om 的方程為 y=-9x. 設點 p的橫坐標為 xp. 由 = 9,92+ 2= 2得2=2292+81, 即 xp=32+9. 將點(3,)的坐標代入 l 的方程得 b=(3)3, 因此 xm=(3)3(2+9). 四邊形 oapb 為平

22、行四邊形當且僅當線段 ab 與線段 op 互相平分,即 xp=2xm. 于是32+9=2(3)3(2+9), 解得 k1=4-7,k2=4+7. 因為 ki0,ki3,i=1,2, 所以當 l 的斜率為 4-7或 4+7時,四邊形 oapb 為平行四邊形. 21.(本小題滿分 12 分)(2015 課標全國,理 21)設函數(shù) f(x)=emx+x2-mx. (1)證明:f(x)在(-,0)單調遞減,在(0,+)單調遞增; (2)若對于任意 x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求 m 的取值范圍. 解:(1)f(x)=m(emx-1)+2x. 若 m0,則當 x(-,0)時

23、,emx-10,f(x)0. 若 m0,f(x)0; 當 x(0,+)時,emx-10. 所以,f(x)在(-,0)單調遞減,在(0,+)單調遞增. (2)由(1)知,對任意的 m,f(x)在-1,0單調遞減,在0,1單調遞增,故 f(x)在 x=0 處取得最小值. 所以對于任意 x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1 的充要條件是(1) (0) e 1,(1) (0) e 1, 即e e 1,e+ e 1. 設函數(shù) g(t)=et-t-e+1,則 g(t)=et-1. 當 t0 時,g(t)0 時,g(t)0. 故 g(t)在(-,0)單調遞減,在(0,+)單調遞增. 又 g(

24、1)=0,g(-1)=e-1+2-e1 時,由 g(t)的單調性,g(m)0,即 em-me-1; 當 m0,即 e-m+me-1. 綜上,m 的取值范圍是-1,1. 請考生在第 22、23、24 題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分,做答時請寫清題號. 22.(本小題滿分 10 分)(2015 課標全國,理 22)選修 41:幾何證明選講 如圖,o 為等腰三角形 abc 內一點,o 與abc 的底邊 bc 交于 m,n 兩點,與底邊上的高 ad 交于點 g,且與ab,ac 分別相切于 e,f兩點. (1)證明:efbc; (2)若 ag 等于o 的半徑,且 ae=mn=23,求四邊形 ebcf 的面積. 解:(1)由于abc 是等腰三角形,adbc, 所以 ad 是cab 的平分線. 8 / 9 又因為o 分別與 ab,ac 相切于點 e,f, 所以 ae=af,故 adef. 從而 efbc. (2)由(1)知,ae=af,adef, 故 ad 是 ef的垂直平分