2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(福建卷)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)數(shù)學試題(文史類)第卷(選擇題共60分)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2015福建,文1)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,br,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于()a.3,-2b.3,2c.3,-3d.-1,4答案:a解析:由已知得3-2i=a+bi,a,br,a=3,b=-2.故選a.2.(2015福建,文2)若集合m=x|-2x<2,n=0,1,2,則mn等于()a.0b.1c.0,1,2d.0,1答案:d解析:m=x|-2x<2,n=0

2、,1,2,mn=0,1.故選d.3.(2015福建,文3)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()a.y=xb.y=exc.y=cos xd.y=ex-e-x答案:d解析:a錯,y=x是非奇非偶函數(shù);b錯,y=ex是非奇非偶函數(shù);c錯,y=cos x是偶函數(shù);d中,令y=f(x),f(-x)=e-x-e-(-x)=-(ex-e-x)=-f(x),d為奇函數(shù),故選d.4.(2015福建,文4)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序.若輸入x的值為1,則輸出y的值為()a.2b.7c.8d.128答案:c解析:當x=1時,不滿足條件“x2”,則y=9-1=8.即輸出y=8,故選c.5.(2015福建,文5)若直線

3、xa+yb=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于()a.2b.3c.4d.5答案:c解析:直線xa+yb=1過點(1,1),1a+1b=1.又a,b均大于0,a+b=(a+b)1a+1b=1+1+ba+ab2+2ba·ab=2+2=4,故選c.6.(2015福建,文6)若sin =-513,且為第四象限角,則tan 的值等于()a.125b.-125c.512d.-512答案:d解析:sin =-513,且為第四象限角,cos =1-sin2=1213,于是tan =sincos=-512,故選d.7.(2015福建,文7)設(shè)a=(1,2),b=(1,

4、1),c=a+kb.若bc,則實數(shù)k的值等于()a.-32b.-53c.53d.32答案:a解析:a=(1,2),b=(1,1),c=(1+k,2+k).bc,b·c=1+k+2+k=0.k=-32.故選a.8.(2015福建,文8)如圖,矩形abcd中,點a在x軸上,點b的坐標為(1,0),且點c與點d在函數(shù)f(x)=x+1,x0,-12x+1,x<0的圖象上.若在矩形abcd內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于()a.16b.14c.38d.12答案:b解析:如圖,設(shè)f(x)與y軸的交點為e,則e(0,1).b(1,0),yc=1+1=2.c(1,2).又四邊形abc

5、d是矩形,d(-2,2).sdce=12×1-(-2)×1=32.又s矩形=3×2=6,由幾何概型概率計算公式可得所求概率p=326=14.故選b.9.(2015福建,文9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()a.8+22b.11+22c.14+22d.15答案:b解析:由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱,其表面積為s=1×2+2×2+1×2+2×2+2×1+22×1=2+22+2+4+3=11+22,故選b.10.(2015福建,文10)變量x,y滿足約束條件x+y0,x-2

6、y+20,mx-y0,若z=2x-y的最大值為2,則實數(shù)m等于()a.-2b.-1c.1d.2答案:c解析:畫出約束條件x+y0,x-2y+20的可行域,如圖,作直線2x-y=2,與直線x-2y+2=0交于可行域內(nèi)一點a(2,2),由題知直線mx-y=0必過點a(2,2),即2m-2=0,得m=1.故選c.11.(2015福建,文11)已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為f,短軸的一個端點為m,直線l:3x-4y=0交橢圓e于a,b兩點.若|af|+|bf|=4,點m到直線l的距離不小于45,則橢圓e的離心率的取值范圍是()a.0,32b.0,34c.32,1

7、d.34,1答案:a解析:如圖,取橢圓的左焦點f1,連接af1,bf1.由橢圓的對稱性知四邊形af1bf是平行四邊形,|af|+|bf|=|af1|+|af|=2a=4.a=2.不妨設(shè)m(0,b),則|3×0-4b|32+4245,b1.e=ca=1-ba21-122=32.又0<e<1,0<e32.故選a.12.(2015福建,文12)“對任意x0,2,ksin xcos x<x”是“k<1”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件答案:b解析:當x0,2時,sin x<x,且0<cos x&l

8、t;1,sin xcos x<x.k<1時有ksin xcos x<x.反之不成立.如當k=1時,對任意的x0,2,sin x<x,0<cos x<1,所以ksin xcos x=sin xcos x<x成立,這時不滿足k<1,故應(yīng)為必要不充分條件.第卷(非選擇題共90分)二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.(2015福建,文13)某校高一年級有900名學生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為. 答案:25解析:設(shè)男生

9、抽x人.女生有400人,男生有500人,則x=500×45900=25,故抽取男生的人數(shù)為25.14.(2015福建,文14)若abc中,ac=3,a=45°,c=75°,則bc=. 答案:2解析:由三角形內(nèi)角和定理知b=60°,由正弦定理得:3sin60°=bcsin45°,得bc=2.15.(2015福建,文15)若函數(shù)f(x)=2|x-a|(ar)滿足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在m,+)上單調(diào)遞增,則實數(shù)m的最小值等于. 答案:1解析:由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的對稱軸為x=1,a=

10、1,f(x)=2|x-1|,又f(x)在1,+)上是單調(diào)遞增的,m1.16.(2015福建,文16)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于. 答案:9解析:由題意,得a+b=p>0,ab=q>0,a>0,b>0.不妨設(shè)a<b,則-2,a,b成等差數(shù)列,a,-2,b成等比數(shù)列,即-2+b=2a,ab=4,解得a=1,b=4.p=5,q=4.p+q=9.三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算

11、步驟.17.(本小題滿分12分)(2015福建,文17)等差數(shù)列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+b10的值.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,解得a1=3,d=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=2(1-210)1-2+(1+10)×102=(211-2)+55=21

12、1+53=2 101.18.(本小題滿分12分)(2015福建,文18)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜合指標.根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進行分組統(tǒng)計,結(jié)果如表所示.組號分組頻數(shù)14,5)225,6)836,7)747,83(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在4,5)和7,8內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在7,8內(nèi)的概率;(2)根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù).解法一:(1)融合指數(shù)在7,8內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為a

13、1,a2,a3;融合指數(shù)在4,5)內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為b1,b2.從融合指數(shù)在4,5)和7,8內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本事件是:a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2,共10個.其中,至少有1家融合指數(shù)在7,8內(nèi)的基本事件是:a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,共9個.所以所求的概率p=910.(2)這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)平均數(shù)等于4.5×220+5.5×820+6.5×72

14、0+7.5×320=6.05.解法二:(1)融合指數(shù)在7,8內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為a1,a2,a3;融合指數(shù)在4,5)內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為b1,b2.從融合指數(shù)在4,5)和7,8內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有的基本事件是:a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2,共10個.其中,沒有1家融合指數(shù)在7,8內(nèi)的基本事件是:b1,b2,共1個.所以所求的概率p=1-110=910.(2)同解法一.19.(本小題滿分12分)(2015福建,文19)已知點f為拋物線e:y2=2px(p>0

15、)的焦點,點a(2,m)在拋物線e上,且|af|=3.(1)求拋物線e的方程;(2)已知點g(-1,0),延長af交拋物線e于點b,證明:以點f為圓心且與直線ga相切的圓,必與直線gb相切.(1)解:由拋物線的定義,得|af|=2+p2.因為|af|=3,即2+p2=3,解得p=2,所以拋物線e的方程為y2=4x.(2)證法一:因為點a(2,m)在拋物線e:y2=4x上,所以m=±22,由拋物線的對稱性,不妨設(shè)a(2,22).由a(2,22),f(1,0)可得直線af的方程為y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,從而b12,

16、-2.又g(-1,0),所以kga=22-02-(-1)=223,kgb=-2-012-(-1)=-223,所以kga+kgb=0,從而agf=bgf,這表明點f到直線ga,gb的距離相等,故以f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切.證法二:設(shè)以點f為圓心且與直線ga相切的圓的半徑為r.因為點a(2,m)在拋物線e:y2=4x上,所以m=±22,由拋物線的對稱性,不妨設(shè)a(2,22).由a(2,22),f(1,0)可得直線af的方程為y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,從而b12,-2.又g(-1,0),故直線ga的

17、方程為22x-3y+22=0,從而r=|22+22|8+9=4217 .又直線gb的方程為22x+3y+22=0,所以點f到直線gb的距離d=|22+22|8+9=4217=r.這表明以點f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切.20.(本小題滿分12分)(2015福建,文20)如圖,ab是圓o的直徑,點c是圓o上異于a,b的點,po垂直于圓o所在的平面,且po=ob=1.(1)若d為線段ac的中點,求證:ac平面pdo;(2)求三棱錐p-abc體積的最大值;(3)若bc=2,點e在線段pb上,求ce+oe的最小值.(1)證明:在aoc中,因為oa=oc,d為ac的中點,所以acdo.又p

18、o垂直于圓o所在的平面,所以poac.因為dopo=o,所以ac平面pdo.(2)解:因為點c在圓o上,所以當coab時,c到ab的距離最大,且最大值為1.又ab=2,所以abc面積的最大值為12×2×1=1.又因為三棱錐p-abc的高po=1,故三棱錐p-abc體積的最大值為13×1×1=13.(3)解法一:在pob中,po=ob=1,pob=90°.所以pb=12+12=2.同理pc=2,所以pb=pc=bc.在三棱錐p-abc中,將側(cè)面bcp繞pb旋轉(zhuǎn)至平面bc'p,使之與平面abp共面,如圖所示.當o,e,c'共線時,c

19、e+oe取得最小值.又因為op=ob,c'p=c'b,所以oc'垂直平分pb,即e為pb中點.從而oc'=oe+ec'=22+62=2+62,亦即ce+oe的最小值為2+62.解法二:在pob中,po=ob=1,pob=90°,所以opb=45°,pb=12+12=2.同理pc=2.所以pb=pc=bc,所以cpb=60°.在三棱錐p-abc中,將側(cè)面bcp繞pb旋轉(zhuǎn)至平面bc'p,使之與平面abp共面,如圖所示.當o,e,c'共線時,ce+oe取得最小值.所以在oc'p中,由余弦定理得:oc'

20、;2=1+2-2×1×2×cos(45°+60°)=1+2-2222×12-22×32=2+3.從而oc'=2+3=2+62.所以ce+oe的最小值為22+62.21.(本小題滿分12分)(2015福建,文21)已知函數(shù)f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移6個單位長度,再向下平移a(a>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為2.求函數(shù)g(x)的解析式;證明:存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得g(

21、x0)>0.(1)解:因為f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2=53sin x+5cos x+5=10sinx+6+5,所以函數(shù)f(x)的最小正周期t=2.(2)解:將f(x)的圖象向右平移6個單位長度后得到y(tǒng)=10sin x+5的圖象,再向下平移a(a>0)個單位長度后得到g(x)=10sin x+5-a的圖象.又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以10+5-a=2,解得a=13.所以g(x)=10sin x-8.證明:要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0,就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>45.由45<32知,存在0<0<3,使得sin 0=45.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當x(0,-0)時 ,均有sin x>45.因為y=sin x的周期為2,所以當x(2k+0,2k+-0)(kz)時,均有sin x>45.因為對任意的整數(shù)k,(2k+-0)-(2k+0)=-20>3>1,所以對任意的正整數(shù)k,都存在正整數(shù)xk(2k+0,2k+-0),使得sin xk>45.亦即,存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0.22.(本小題滿分14分)(2015福建,文