2020屆全國100所名校高三模擬金典卷文科數(shù)學（一）試題（解析版）

1、1 / 20 100 所名校高考模擬金典卷所名校高考模擬金典卷 數(shù)學（一）數(shù)學（一） （120 分鐘分鐘 150 分）分） 一、選擇題：本題共一、選擇題：本題共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分分.在每小題給出的四個選項中，只有一項在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的是符合題目要求的. 1. 已知集合 | 24, | 22axxbxx= = ，則ab =（ ） a. | 22xx b. | 24xx c. | 22xx d. | 24xx 【答案】b 【解析】 【分析】 直接利用并集的定義計算即可. 【詳解】由已知，集合 | 24, | 22axxbxx

2、= = ，所以 | 24abxx= . 故選：b 【點睛】本題考查集合的并集運算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題. 2. 已知a是實數(shù)，()11aai +是純虛數(shù)，則復數(shù)zai=+的模等于（ ） a. 2 b. 3 c. 2 d. 1 【答案】c 【解析】 【分析】 ()11aai +是純虛數(shù)可得1a =，則1zi= +，再根據(jù)模的計算的公式計算即可. 【詳解】()11aai +是純虛數(shù)，則實部為 0，虛部不為 0，即1a =， 所以1zi= +，|2|z =. 故選：c 【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，涉及到復數(shù)的相關(guān)概念，是一道容易題. 3. 某產(chǎn)品的宣傳費用x（萬元）與銷售額y（萬元

3、）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示： 宣傳費用x（萬4 2 3 5 2 / 20 元） 銷售額y（萬元） 25 24 a 50 根據(jù)上表可得回歸方程9.62.9yx=+，則宣傳費用為 3 萬元時銷售額a為（ ） a. 36.5 b. 30 c. 33 d. 27 【答案】d 【解析】 【分析】 由題表先計算出x，將其代入線性回歸方程即可. 【詳解】由已知，1(4235)3.54x =+ +=， 由回歸方程過點(), x y，故36.5y =， 即1(452450)36.54ya=+=，解得27a =. 故選：d 【點睛】本題考查線性回歸方程的簡單應(yīng)用，回歸方程一定過樣本點的中心( , )x y，考查學生的

4、基本計算能力，是一道容易題. 4. 已知在等差數(shù)列 na中，34576, 11aaaa+=，則1a =（ ） a 3 b. 7 c. 7 d. 3 【答案】c 【解析】 【分析】 由3456aaa+=，可得42,a =結(jié)合7 11a =，可得公差d，再由413aad=+可得1a. 【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得345436aaaa+=， 所以42,a =公差7493743aad=， 又4132aad=+=，所以17a = . 故選：c 【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列基本量的計算，考查學生的運算能力，是一道容易題. 3 / 20 5. 已知拋物線24yx=的準線與圓2260 xyxm+=

5、相切，則實數(shù)m的值為（ ） a. 8 b. 7 c. 6 d. 5 【答案】b 【解析】 【分析】 由題可得準線方程為1x = ，再利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得到答案. 【詳解】由已知，拋物線的準線方程為1x = ， 圓2260 xyxm+=的標準方程為22(3)9xym+=+， 由1x = 與圓相切，所以圓心到直線的距離()3149dm= =+， 解得7m =. 故選：b 【點睛】本題主要考查拋物線的定義，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的運算求解能力，是一道容易題. 6. 已知平面向量, a b 滿足(1, 3)a=，| 3b=，(2 )aab，則|23|ab=（ ） a. 7

6、3 b. 7 c. 4 d. 5 【答案】a 【解析】 分析】 根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出a b，再將向量的模長轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，即可求解. 【詳解】由題意可得|1 32a =+=且(2 )0aab=， 即220aa b=，所以420a b=， 所以2a b=， 222|23 |(23 )4129ababaa bb= + 16248173=+= 故選：a. 【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題 7. 已知定義在r上的函數(shù)( )yf x=，對于任意的rx，總有()()123fxfx+=成立，則函數(shù)4 / 20 ( )yf x=的圖象（ ） a. 關(guān)于點()1,2對稱 b. 關(guān)

7、于點3 3,2 2對稱 c. 關(guān)于點()3,3對稱 d. 關(guān)于點()1,3對稱 【答案】b 【解析】 【分析】 設(shè)( , )a x y是( )yf x=圖象上任意一點，a關(guān)于( , )a b對稱的點為()2,2aaxby也在( )yf x=的圖象上，再結(jié)合()()123fxfx+=簡單推導即可得到. 【詳解】設(shè)( , )a x y是( )yf x=圖象上任意一點，a關(guān)于( , )a b對稱的點為()2,2aaxby 也在( )yf x=的圖象上，則(2)(1(21)3(221)faxfxafxa=+=+ 3(32)2( )faxbf x=+=，所以有23,320ba=，解得33,22ab=.

8、所以函數(shù)( )yx=的圖象關(guān)于點3 3,2 2對稱. 故選：b 【點睛】本題考查函數(shù)圖象的對稱性，考查學生的邏輯推理能力，當然也可以作一個示意圖得到，是一道中檔題. 8. 某學校為了解 1 000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為 1，2，1 000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取 100名學生進行體質(zhì)測驗，若 46號學生被抽到，則下面 4 名學生中被抽到的是 a. 8 號學生 b. 200號學生 c. 616號學生 d. 815號學生 【答案】c 【解析】 【分析】 等差數(shù)列的性質(zhì)滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)使用統(tǒng)計思想，逐個選項判斷得出答案 【詳解】詳解：由已知將 1000名學生分成 100個組

9、，每組 10 名學生，用系統(tǒng)抽樣，46號學生被抽到， 所以第一組抽到 6號，且每組抽到的學生號構(gòu)成等差數(shù)列na，公差10d =， 所以6 10nan=+()nn， 5 / 20 若86 10n=+，則15n =，不合題意；若2006 10n=+，則19.4n =，不合題意； 若6166 10n=+，則61n =，符合題意；若8156 10n=+，則80.9n =，不合題意故選 c 【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣. 9. 函數(shù)| |4xeyx=的圖象可能是（ ） a. b. c. d. 【答案】c 【解析】 【分析】 由函數(shù)的奇偶性可排除 b；由(1),(3)ff可排除選項 a、d. 【詳解】設(shè)|

10、 |( )4xef xx=，定義域為 |0 x x ，| |()( )4xefxf xx= = ，所以( )f x為奇函數(shù)， 故排除選項 b；又(1)14ef=，排除選項 a；3(3)112ef=，排除選項 d. 故選：c 【點睛】本題考查由解析式選函數(shù)圖象的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，此類題一般從單調(diào)性、奇偶性、特殊點的函數(shù)值入手，是一道容易題. 10. 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ） 6 / 20 a. 163 b. 3 c. 29 d. 169 【答案】d 【解析】 【分析】 根據(jù)三視圖可得該幾何體是圓錐的一部分，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，即可求解. 【詳解】從

11、三視圖中提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知： 該幾何體的底面是圓心角為23的扇形，高是 4的圓錐體 底面面積14433s=， 所以其體積14164339v= 故選：d. 【點睛】本題考查三視圖求直觀圖的體積，由三視圖還原出直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 11. 已知函數(shù)( )sin3cos(0)f xxx=+的圖象上存在()()12,0 ,0a xb x兩點，|ab的最小值為2，再將函數(shù)( )yf x=的圖象向左平移3個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )g x，則( )g x =（ ） a. 2sin2x b. 2sin2x c. 2cos 26x d. 2sin 26x 【答案】a 【解析】 【

12、分析】 ( )2sin3f xx=+，由min|2ab=可得t=，2=，再由平移變換及誘導公式可得( )g x的解析7 / 20 式. 詳解】( )sin3cos2sin3f xxxx=+=+， 因為|ab的最小值為12222t=，解得2=. 因為函數(shù)( )yf x=的圖象向左平移3個單位長度， 所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )g x， 所以( )2sin 22sin(2)2sin233g xxxx=+=+= . 故選：a 【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的變換，涉及到輔助角公式、誘導公式的應(yīng)用，考查學生的邏輯推理能力，是一道中檔題. 12. 如圖所示，在棱錐pabcd-中，底面abcd是正方形，邊長為

13、2，22pdpapc=，.在這個四棱錐中放入一個球，則球的最大半徑為（ ） a. 2 b. 21+ c. 2 d. 21 【答案】d 【解析】 【分析】 由題意，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為s，連接sd，sasbscsp、，則把此四棱錐分為五個棱錐，設(shè)它們的高均為r，求出四棱錐的表面積s以及四棱錐的體積p abcdv，利用公式13p abcdvs=r，計算即可. 【詳解】由已知，22pdadpa=，所以222pdadpa+=，所以 pdad，同理pdcd，又cdadd=，所以pd 平面abcd， pdab，又abad，pdadd=，所以ab 平面pad，所以 8 / 20 paab

14、，設(shè)此球半徑為r，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為s， 連接sd，sasbscsp、，則把此四棱錐分為五個棱錐，它們的高均為r. 四棱錐體積2112223323p abcdabcdvspd=， 四棱錐的表面積 s22112222222242 222padpababcdsss=+=+ +=+， 因為13p abcdvs=r， 所以32 212142 221p abcdvrs=+. 故選：d 【點睛】本題考查幾何體內(nèi)切球的問題，考查學生空間想象能力、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，是一道有一定難度的壓軸選擇題. 二、填空題：本題共二、填空題：本題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20

15、分分.把答案填在題中的橫線上把答案填在題中的橫線上. 13. 設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件101010yxyxy+ + + ，則34zxy=的最大值是_. 【答案】4 【解析】 【分析】 作出可行域，344zyx=，易知截距越小，z越大， 【詳解】根據(jù)實數(shù)x，y滿足約束條件101010yxyxy+ + + ，畫出可行域，如圖，平移直線34yx=即可得到目標函數(shù)的最大值. 9 / 20 344zyx=，易知截距越小，z越大，平移直線34yx=，可知當目標函數(shù)經(jīng)過點a時取 得最大值，由11yyx= = ，解得()0, 1a，所以max3 04 ( 1)4.z= = 故答案為：4 【點睛】本題考查簡單的

16、線性規(guī)劃及應(yīng)用，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題. 14. 曲線( )e43xf xx=+在點( )(0,)0f處的切線方程為_. 【答案】52yx= 【解析】 【分析】 直接利用導數(shù)的幾何意義計算即可. 【詳解】因為( )02f= ，( )4xfxe=+， 所以0(0)45fe=+=， 所以切線方程為()25y =()0 x，即52.yx= 故答案為：52yx= 【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的基本計算能力，是一道容易題. 15. 已知數(shù)列 na滿足：11a =，12nnnaa+=+，則數(shù)列 na的前n項和ns =_. 【答案】122nn+ 【解析】 【分析】 利用累加法可得數(shù)

17、列 na的通項公式，再利用分組求和法求和即可. 10 / 20 【詳解】由已知，12nnnaa+=，當2n 時， ()()()211213211212222112nnnnnnaaaaaaaa=+= +=， 又11a =滿足上式，所以21nna =， ()212 1 2222221 2nnnnsnnn+=+=. 故答案：122nn+ 【點睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項以及分組求和法求數(shù)列的和，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題. 16. 已知雙曲線22221xyab=（0ba）的左、右焦點分別是1f、2f，p為雙曲線左支上任意一點，當1222 pfpf最大值為14a時，該雙曲線的離心率的取值范

18、圍是_. 【答案】( 2,3 【解析】 【分析】 112222111224|24|2pfpfapfpfapfapf=+，1pfca，分2caa，2aca兩種情況討論，要注意題目中隱含的條件ba. 【詳解】由已知，112222111224|24|2pfpfapfpfapfapf=+，因為1pfca，當2caa時， 2211221442 444aaaapfapf=+，當且僅當12pfa=時，1222 pfpf取最大值14a， 由2aca，所以3e ；當2caa時，1222 pfpf的最大值小于14a，所以不合題意. 因為ba，所以2221 1bea= ，所以2e ，所以23.e 11 / 20 故

19、答案為：( 2,3 【點睛】本題考查雙曲線的離心率的取值范圍問題，涉及到雙曲線的概念與性質(zhì)及基本不等式，考查學生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題. 三、解答題：共三、解答題：共 70 分分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第第 121 題為必考題，每個題為必考題，每個試題考生都必須作答試題考生都必須作答.第第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共（一）必考題：共 60 分分. 17. 某學校組織高一、高二年級學生進行了“紀念建國 70 周年”的知識競賽.從這兩個年級各隨機抽取了40 名學生,對

20、其成績進行分析，得到了高一年級成績的頻率分布直方圖和高二年級成績的頻數(shù)分布表. 高二 成績分組 頻數(shù) )75,80 2 )80,85 6 )85,90 16 )90,95 14 )95,100 2 （1）若成績不低于 80分為“達標”，估計高一年級知識競賽的達標率； （2）在抽取的學生中，從成績?yōu)?5,100的學生中隨機選取 2 名學生，代表學校外出參加比賽，求這 2名學生來自于同一年級的概率. 12 / 20 【答案】（1）0.85；（2）715 【解析】 【分析】 （1）利用 1減去)75,80的概率即可得到答案； （2）高一年級成績?yōu)?5,100的有4人，記為1234, , , aaaa

21、，高二年級成績?yōu)?5,100的有 2名，記為12,b b，然后利用列舉法即可. 【詳解】（1）高一年級知識競賽的達標率為10.0350.85=. （2）高一年級成績?yōu)?5,100的有0.02 5 404 =（名），記為1234, , , aaaa， 高二年級成績?yōu)?5,100的有 2名，記為12,b b.選取 2名學生的所有可能為 121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , a aa aa aababa aa aa ba ba aa ba ba ba bb b，共 15種； 其中 2 名學生來自于同一年級的有1213142

22、3243412,a a a a a a a a a a a a b b，共 7 種. 所以這 2名學生來自于同一年級的概率為715. 【點睛】本題考查統(tǒng)計與古典概率的計算，涉及到頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，考查學生簡單的數(shù)學運算，是一道容易題. 18. 在abc中，角、 、abc所對的邊分別是abc、 、，且2bac=+，13b =. （1）若3sin4sinca=，求c的值； （2）求ac+的最大值 【答案】（1）4；（2）2 13. 【解析】 【分析】 （1）由已知，易得3b=，由正弦定理可得34ca=，再由角 b 的余弦定理即可得到答案； （2）正弦定理得2 13sinsinsin3ac

23、bacb=，所以2 132 13sin ,sin33aa cc=，2 13(sinsin)3acac+=+，再利用兩角和的正弦公式以輔助角公式可得2 13sin6aca+=+，即可得到最大值. 【詳解】（1）因為2bac=+， 13 / 20 又abc+=，得3b=. 又3sin4sinca=，由正弦定理得34ca=，即34ac=， 由余弦定理2222cosbacacb=+， 得22331132442ccc c=+ ，解得4c =或4c = （舍）. （2）由正弦定理得2 13sinsinsin3acbacb=， 2 132 13sin,sin33aa cc=， 2 13(sinsin)3ac

24、ac +=+ 2 13sinsin()3aab=+ 2 132 1313sinsinsinsincos32233aaaaa=+=+ 2 13sin6a=+， 由203a，得5666a+=， 當62a+=，即3a=時，max()2 13ac+=. 【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角和的正弦公式及輔助角公式的應(yīng)用，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道容易題. 19. 在菱形abcd中，,3adcaba=，o為線段cd的中點（如圖 1）將aod沿ao折起到aod的位置，使得平面aod 平面abco，m為線段bd的中點（如圖 2） 14 / 20 （）求證：odbc； （）求證：cm 平面a

25、od； （）當四棱錐dabco的體積為32時，求a的值 【答案】（）見解析. （）見解析. （） 2a =. 【解析】 【分析】 （）證明 odao 推出 od平面 abco 然后證明 odbc（）取 p 為線段 ad的中點，連接 op，pm；證明四邊形 ocmp 為平行四邊形，然后證明 cm平面 aod；（）說明 od是四棱錐 dabco的高通過體積公式求解即可 【詳解】（）證明：因為在菱形abcd中，3adc=，o為線段cd的中點， 所以odao 因為平面aod 平面abco 平面aod平面abcoao=， od 平面aod， 所以od 平面abco 因為bc 平面abco， 所以odbc

26、 （）證明：如圖，取p為線段ad的中點，連接 op,pm； 因為在abd中，p，m分別是線段ad，bd的中點， 所以/ /pmab，12pmab= 因為o是線段cd的中點，菱形abcd中，abdca=，/ /abdc， 所以122aoccd= 15 / 20 所以oc / /ab，12ocab= 所以/ /pmoc，pmoc= 所以四邊形ocmp為平行四邊形， 所以/ /cmop， 因為cm 平面aod，op 平面aod， 所以/ /cm平面aod； （）由（）知od 平面abco 所以od 是四棱錐dabco的高，又 s=233 32228aaaa+= ,2aod = 因為31333162a

27、vsod=， 所以2a = 【點睛】本題考查線面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力,是基礎(chǔ)題 20. 已知橢圓2222:1(0)xycabab+=的離心率為12，過右焦點f作與x軸垂直的直線，與橢圓的交點到x軸的距離為32. （1）求橢圓c的方程； （2）設(shè)o為坐標原點，過點f的直線l與橢圓c交于a b、兩點（a b、不在x軸上），若oeoaob=+，求四邊形aobe面積s的最大值. 【答案】（1）22143xy+=；（2）3. 【解析】 16 / 20 【分析】 （1）由12ca=，232ba=結(jié)合222abc=+解方程組即可； （2）設(shè):1lxty

28、=+，聯(lián)立直線l與橢圓的方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，因為oeoaob=+，可得四邊形aobe為平行四邊形，2121212122|()42aobssofyyyyy y=+=，將根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可解決. 【詳解】(1)由已知得12ca=， 直線經(jīng)過右焦點， 2222231,|2cybyaba+=， 又222abc=+，2,3,1abc=， 故所求橢圓c的方程為22143xy+=. （2）過()1,0f的直線與橢圓c交于a b、兩點（a b、不在x軸上）， 設(shè):1lxty=+，由221143xtyxy=+=，得22(34)690tyty+=， 設(shè)()()1122,a x yb xy，則12212

29、2634934tyyty yt+=+=+， oeoaob=+， 四邊形aobe為平行四邊形， 22121212216122|()4234aobtsofyyyyytsy+=+， 令211tm+=， 得2621313msmmm=+， 由對勾函數(shù)的單調(diào)性易得當1m =，即0t =時，max32s=. 17 / 20 【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓的方程、橢圓中面積的最值問題，考查學生的邏輯推理能力，是一道中檔題. 21. 設(shè)函數(shù)( )2a2xf xxalnx(a0)x=+ ()求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間； ()記函數(shù)( )f x的最小值為( )g a，證明：( )g a1 【答案

30、】（i）( )f x在( 0,)a上單調(diào)遞減，在(,)a +上單調(diào)遞增；（ii）詳見解析. 【解析】 【分析】 （i）對函數(shù)( )f x求導，解導函數(shù)所對應(yīng)的不等式即可求出結(jié)果； （ii）由（i）先得到( )g a，要證( )1g a ，即證明1ln1aa aa，即證明2111 lnaaa， 構(gòu)造函數(shù)( )211ln1h aaaa=+，用導數(shù)的方法求函數(shù)( )h a的最小值即可. 【詳解】（）顯然( )f x的定義域為()0,+ ( )()()()222242332222221xxaxx axaxxfxaxxxxx+= =+= 220 x +，0 x ， 若()0,xa，0 xa，此時( )0

31、fx，( )f x在()0,a上單調(diào)遞減； 若(),xa+，0 xa，此時( )0fx，( )f x在(),a +上單調(diào)遞增； 綜上所述：( )f x在()0,a上單調(diào)遞減，在(),a +上單調(diào)遞增 （）由（）知：( )( )min1lnf xf aaa aa=， 即：( )1lng aaa aa= 要證( )1g a ，即證明1ln1aa aa，即證明2111 lnaaa， 令( )211ln1h aaaa=+，則只需證明( )211ln10h aaaa=+ ， ( )()()22333211122aaaah aaaaaa+=，且0a ， 當()0,2a，20a ，此時( )0h a，( )

32、h a在()0,2上單調(diào)遞減； 18 / 20 當()2,a+，20a ，此時( )0h a，( )h a在()2,+上單調(diào)遞增， ( )( )min1112ln21ln20244h ah=+ = ( )211ln10h aaaa=+ ( )1g a 【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導，用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等，屬于?？碱}型. （二）選考題：共（二）選考題：共 10 分分.請考生在第請考生在第 22、23兩題中任選一題作答兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一如果多做，則按所做的第一題計分題計分. 22. 在平面直角坐標系xoy中，以o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線2:cos4 sin (0)caa=，直線的參數(shù)方程為21xtyt= += +，（t為參數(shù)）.直線l與曲線c交于mn，兩點. （1）寫出曲線c的直角坐標方程和直線l的普通方程. （2）設(shè)()2, 1p ，若|,|,|pmmnpn成等比數(shù)列，求a和的|mn值. 【答案】（1）22cos4sin (0)aa=，10 xy+ =；（2）10，10. 【解析】 【分析】 （1）利用直