2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(四川卷)理

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù)學(理工類)本試題卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題).第卷1至2頁,第卷3至4頁,共4頁.考生作答時,須將答案答在答題卡上.在本試題卷、草稿紙上答題無效.滿分150分.考試時間120分鐘.考試結束后,將本試題卷和答題卡一并交回.第卷(選擇題共50分)注意事項:必須使用2b鉛筆在答題卡上將所選答案對應的標號涂黑.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求的.1.(2013四川,理1)設集合a=x|x+2=0,集合b=x|x2-4=0,則ab=(). a.-2b.2c.-2,2d.答案:a

2、解析:由題意可得,a=-2,b=-2,2,ab=-2.故選a.2.(2013四川,理2)如圖,在復平面內,點a表示復數(shù)z,則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是().a.ab.bc.cd.d答案:b解析:復數(shù)z表示的點與其共軛復數(shù)表示的點關于實軸對稱.3.(2013四川,理3)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是().答案:d解析:由三視圖可知該幾何體為一個上部為圓臺、下部為圓柱的組合體,故選d.4.(2013四川,理4)設xz,集合a是奇數(shù)集,集合b是偶數(shù)集.若命題p:xa,2xb,則().a.􀱑p:xa,2xbb.􀱑p:xa,2xbc.Л

3、729;p:xa,2xbd.􀱑p:xa,2xb答案:d5.(2013四川,理5)函數(shù)f(x)=2sin(x+)>0,-2<<2的部分圖象如圖所示,則,的值分別是().a.2,-3b.2,-6c.4,-6d.4,3答案:a解析:由圖象可得,3t4=512-3=34,t=,則=2=2,再將點512,2代入f(x)=2sin(2x+)中得,sin56+=1,令56+=2k+2,kz,解得,=2k-3,kz,又-2,2,則取k=0,=-3.故選a.6.(2013四川,理6)拋物線y2=4x的焦點到雙曲線x2-y23=1的漸近線的距離是().a.12b.32c.1d.

4、3答案:b解析:由題意可得,拋物線的焦點為(1,0),雙曲線的漸近線方程為y=±3x,即±3x-y=0,由點到直線的距離公式可得拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離d=|±3-0|2=32.7.(2013四川,理7)函數(shù)y=x33x-1的圖象大致是().答案:c解析:由函數(shù)解析式可得,該函數(shù)定義域為(-,0)(0,+),故排除a;取x=-1,y=-113-1=32>0,故再排除b;當x+時,3x-1遠遠大于x3的值且都為正,故x33x-10且大于0,故排除d,選c.8.(2013四川,理8)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中,每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a,b,共

5、可得到lg a-lg b的不同值的個數(shù)是().a.9b.10c.18d.20答案:c解析:記基本事件為(a,b),則基本事件空間=(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)共有20個基本事件,而lg a-lg b=lgab,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使lgab的值相等,則不同值的個數(shù)為20-2=18(個),故選c.9.(2013四川,理9)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛

6、了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是().a.14b.12c.34d.78答案:c解析:設兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x,y,則由題意可得,0x4,0y4;而所求事件“兩串彩燈同時通電后,第一次閃亮相差不超過2秒”=(x,y)|x-y|2,由圖示得,該事件概率p=s陰影s正方形=16-416=34.10.(2013四川,理10)設函數(shù)f(x)=ex+x-a(ar,e為自然對數(shù)的底數(shù)),若曲線y=sin x上存在點(x0,y0)使得f(f(y0)=y

7、0,則a的取值范圍是().a.1,eb.e-1-1,1c.1,e+1d.e-1-1,e+1答案:a解析:由題意可得,y0=sin x0-1,1,而由f(x)=ex+x-a可知y00,1,當a=0時,f(x)=ex+x為增函數(shù),y00,1時,f(y0)1,e+1.f(f(y0)e+1>1.不存在y00,1使f(f(y0)=y0成立,故b,d錯;當a=e+1時,f(x)=ex+x-e-1,當y00,1時,只有y0=1時f(x)才有意義,而f(1)=0,f(f(1)=f(0),顯然無意義,故c錯.故選a.第卷(非選擇題共100分)注意事項:必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的

8、答題區(qū)域內作答.作圖題可先用鉛筆繪出,確認后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚,答在試題卷上無效.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2013四川,理11)二項式(x+y)5的展開式中,含x2y3的項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答) 答案:10解析:由二項式展開系數(shù)可得,x2y3的系數(shù)為c53=c52=10.12.(2013四川,理12)在平行四邊形abcd中,對角線ac與bd交于點o,ab+ad=ao,則=. 答案:2解析:如圖所示,在平行四邊形abcd中,ab+ad=ac=2ao,=2.13.(2013四川,理13)設sin 2=-sin ,2,則tan

9、2的值是. 答案:3解析:sin 2=-sin ,2sin cos =-sin .又2,cos =-12.sin =1-cos2=32.sin 2=-32,cos 2=2cos2-1=-12.tan 2=sin2cos2=3.14.(2013四川,理14)已知f(x)是定義域為r的偶函數(shù),當x0時,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是. 答案:(-7,3)解析:當x0時,令x2-4x<5,解得,0x<5.又因為f(x)為定義域為r的偶函數(shù),則不等式f(x+2)<5等價于-5<x+2<5,即-7<x<3;故

10、解集為(-7,3).15.(2013四川,理15)設p1,p2,pn為平面內的n個點,在平面內的所有點中,若點p到點p1,p2,pn的距離之和最小,則稱點p為點p1,p2,pn的一個“中位點”,例如,線段ab上的任意點都是端點a,b的中位點,現(xiàn)有下列命題:若三個點a,b,c共線,c在線段ab上,則c是a,b,c的中位點;直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點;若四個點a,b,c,d共線,則它們的中位點存在且唯一;梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號) 答案:解析:由“中位點”可知,若c在線段ab上,則線段ab上任一點都為“中

11、位點”,c也不例外,故正確;對于假設在等腰rtabc中,acb=90°,如圖所示,點p為斜邊ab中點,設腰長為2,則|pa|+|pb|+|pc|=32|ab|=32,而若c為“中位點”,則|cb|+|ca|=4<32,故錯;對于,若b,c三等分ad,若設|ab|=|bc|=|cd|=1,則|ba|+|bc|+|bd|=4=|ca|+|cb|+|cd|,故錯;對于,在梯形abcd中,對角線ac與bd的交點為o,在梯形abcd內任取不同于點o的一點m,則在mac中,|ma|+|mc|>|ac|=|oa|+|oc|,同理在mbd中,|mb|+|md|>|bd|=|ob|+

12、|od|,則得,|ma|+|mb|+|mc|+|md|>|oa|+|ob|+|oc|+|od|,故o為梯形內唯一中位點是正確的.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(2013四川,理16)(本小題滿分12分)在等差數(shù)列an中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列an的首項、公差及前n項和.解:設該數(shù)列公差為d,前n項和為sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即數(shù)列an的首項為4,公差為0,或首項為1

13、,公差為3.所以,數(shù)列的前n項和sn=4n或sn=3n2-n2.17.(2013四川,理17)(本小題滿分12分)在abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,(1)求cos a的值;(2)若a=42,b=5,求向量ba在bc方向上的投影.解:(1)由2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,得cos(a-b)+1cos b-sin(a-b)sin b-cos b=-35,即cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin b=-35.則cos(a-b+b)=-3

14、5,即cos a=-35.(2)由cos a=-35,0<a<,得sin a=45,由正弦定理,有asina=bsinb,所以,sin b=bsinaa=22.由題知a>b,則a>b,故b=4.根據(jù)余弦定理,有(42)2=52+c2-2×5c×-35,解得c=1或c=-7(舍去).故向量ba在bc方向上的投影為|ba|cos b=22.18.(2013四川,理18)(本小題滿分12分)某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,24這24個整數(shù)中等可能隨機產生.(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率pi(i=1,2,3

15、);(2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù),以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù).甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當n=2 100時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合算法要求的

16、可能性較大;(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.解:(1)變量x是在1,2,3,24這24個整數(shù)中隨機產生的一個數(shù),共有24種可能.當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產生時,輸出y的值為1,故p1=12;當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產生時,輸出y的值為2,故p2=13;當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產生時,輸出y的值為3,故p3=16.所以,輸出y的值為1的概率為12,輸出y的值為2的概率為13,輸出y的值為3的概率為16.(2)當n=2 100時,甲、乙所編程序各自輸

17、出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下:輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲1 0272 1003762 1006972 100乙1 0512 1006962 1003532 100比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大.(3)隨機變量可能的取值為0,1,2,3.p(=0)=c30×130×233=827,p(=1)=c31×131×232=49,p(=2)=c32×132×231=29,p(=3)=c33×133×230=127,故的分布列為0123p82749

18、29127所以,e=0×827+1×49+2×29+3×127=1.即的數(shù)學期望為1.19.(2013四川,理19)(本小題滿分12分)如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,側棱aa1底面abc,ab=ac=2aa1,bac=120°,d,d1分別是線段bc,b1c1的中點,p是線段ad的中點.(1)在平面abc內,試作出過點p與平面a1bc平行的直線l,說明理由,并證明直線l平面add1a1;(2)設(1)中的直線l交ab于點m,交ac于點n,求二面角a-a1m-n的余弦值.解:(1)如圖,在平面abc內,過點p作直線lbc,因為l在平面a1

19、bc外,bc在平面a1bc內,由直線與平面平行的判定定理可知,l平面a1bc.由已知,ab=ac,d是bc的中點,所以,bcad,則直線lad.因為aa1平面abc,所以aa1直線l.又因為ad,aa1在平面add1a1內,且ad與aa1相交,所以直線l平面add1a1.(2)解法一:連接a1p,過a作aea1p于e,過e作efa1m于f,連接af.由(1)知,mn平面aea1,所以平面aea1平面a1mn.所以ae平面a1mn,則a1mae.所以a1m平面aef,則a1maf.故afe為二面角a-a1m-n的平面角(設為).設aa1=1,則由ab=ac=2aa1,bac=120°,

20、有bad=60°,ab=2,ad=1.又p為ad的中點,所以m為ab中點,且ap=12,am=1,所以,在rtaa1p中,a1p=52;在rta1am中,a1m=2.從而ae=aa1·apa1p=15,af=aa1·ama1m=12.所以sin =aeaf=25.所以cos =1-sin2=1-252=155.故二面角a-a1m-n的余弦值為155.解法二:設a1a=1.如圖,過a1作a1e平行于b1c1,以a1為坐標原點,分別以a1e,a1d1,a1a的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系oxyz(點o與點a1重合).則a1(0,0,0),a(0,

21、0,1).因為p為ad的中點,所以m,n分別為ab,ac的中點.故m32,12,1,n-32,12,1.所以a1m=32,12,1,a1a=(0,0,1),nm=(3,0,0).設平面aa1m的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1a1m,n1a1a,即n1·a1m=0,n1·a1a=0,故有(x1,y1,z1)·32,12,1=0,(x1,y1,z1)·(0,0,1)=0,從而32x1+12y1+z1=0,z1=0.取x1=1,則y1=-3,所以n1=(1,-3,0).設平面a1mn的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2a1m,n2n

22、m,即n2·a1m=0,n2·nm=0,故有(x2,y2,z2)·32,12,1=0,(x2,y2,z2)·(3,0,0)=0,從而32x2+12y2+z2=0,3x2=0.取y2=2,則z2=-1,所以n2=(0,2,-1).設二面角a-a1m-n的平面角為,又為銳角,則cos =n1·n2|n1|·|n2|=(1,-3,0)·(0,2,-1)2·5=155.故二面角a-a1m-n的余弦值為155.20.(2013四川,理20)(本小題滿分13分)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個

23、焦點分別為f1(-1,0),f2(1,0),且橢圓c經(jīng)過點p43,13.(1)求橢圓c的離心率;(2)設過點a(0,2)的直線l與橢圓c交于m,n兩點,點q是線段mn上的點,且2|aq|2=1|am|2+1|an|2,求點q的軌跡方程.解:(1)由橢圓定義知,2a=|pf1|+|pf2|=43+12+132+43-12+132=22,所以a=2.又由已知,c=1.所以橢圓c的離心率e=ca=12=22.(2)由(1)知,橢圓c的方程為x22+y2=1.設點q的坐標為(x,y).(1)當直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓c交于(0,1),(0,-1)兩點,此時點q的坐標為0,2-355.(2)當直

24、線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=kx+2.因為m,n在直線l上,可設點m,n的坐標分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則|am|2=(1+k2)x12,|an|2=(1+k2)x22.又|aq|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由2|aq|2=1|am|2+1|an|2,得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.將y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>

25、32.由可知,x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入中并化簡,得x2=1810k2-3.因為點q在直線y=kx+2上,所以k=y-2x,代入中并化簡,得10(y-2)2-3x2=18.由及k2>32,可知0<x2<32,即x-62,00,62.又0,2-355滿足10(y-2)2-3x2=18,故x-62,62.由題意,q(x,y)在橢圓c內,所以-1y1.又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)295,94且-1y1,則y12,2-355.所以,點q的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18,其中x-62,62,y12,2-355.21.(2013四川,理21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a,x<0,lnx,x>0,其中a是實數(shù).設a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)為該函數(shù)圖象上的兩點,且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點a,b處的切線互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;(3)若函數(shù)f(x)的圖象在點a,b處的切線重合,求a的取值范圍.解:(1)函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(-,-1),單調遞增區(qū)間為-1,0),(0,+).(2)由導數(shù)的幾何意義可知,點a處的切線斜