2009上海高考數(shù)學(xué)文科試題及答案詳解

1、îx1 1 1 111 111 1 1上海數(shù)學(xué)試卷（文史類）考生注意：1 答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條 形碼。2 本試卷共有 23 道試題，滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘。一.填空題（本大題滿分 56 分）本大題共有 14 題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填 寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 4 分，否則一律得零分。1函數(shù) f(x)=x3+1 的反函數(shù) f-1(x)=_.1【答案】3 x -1【解析】由 yx3+1，得 x 3 y -1 ，將 y 改成 x，x 改成 y 可得答案。2已知集體 A=x|x1,B=x|a,且 AB=

2、R，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_.2【答案】a1【解析】因?yàn)?AB=R，畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù) a 必須在點(diǎn) 1 上或在 1 的左邊，所以，有 a1。 4 5 x3. 若行列式1 x 37 8 9中，元素 4 的代數(shù)余子式大于 0，則 x 滿足的條件是_.3【答案】x >83【解析】依題意，得： (-1)2×(9x-24)0，解得：x >834. 某算法的程序框如右圖所示，則輸出量 _.y 與輸入量 x 滿足的關(guān)系式是4【答案】ì2x , x <1 y =íx -2, x >1【解析】當(dāng) x1 時(shí)，有 yx2，當(dāng) x1 時(shí)有 y 2 ，所以，有分段

3、函數(shù)。5.如圖，若正四棱柱 ABCDA B C D 的底面邊長(zhǎng)為 2，高為 4，則異面直線 BD 與 AD 所成角的大小是_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).5【答案】arctan 5【解析】因?yàn)?ADA D ，異面直線 BD 與 AD 所成角就是 BD 與 A D 所在角，- 1 - / 91 111 11 1S12RR12即A D B，由勾股定理，得 A B2 5 ，tanA D B 5 ，所以，A D B arctan 5 。6.若球 O 、O 表示面積之比 1S2=4，則它們的半徑之比 1R2=_.6【答案】2【解析】由4pR24，得 1 4pR2 R22。ìï7.已知實(shí)

4、數(shù) x、y 滿足 íïîy £2 x y ³-2x x £3則目標(biāo)函數(shù) z=x-2y 的最小值是_.7【答案】9【解析】畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標(biāo)函數(shù)化為：1 1y = x z ，畫直線 y = x 及其平行線，當(dāng)此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A2 2時(shí)，z 的值最大，z 的值最小，A 點(diǎn)坐標(biāo)為（3,6），所以，z的最小值為：32×69。8.若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為 2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體 積是 。8【答案】8p3【解析】幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為 2，高也為 2，體積 V13´p&

5、#180;4 ´28p39 過(guò) 點(diǎn) A （ 1 ， 0 ） 作 傾 斜 角 為p4的 直 線 ， 與 拋 物 線y 2 =2 x交 于M 、N兩 點(diǎn) ， 則MN=9【答案】2 6?！窘馕觥恐本€方程為 yx1，代入拋物線y2=2 x，得：x24x10，x1x24，x x121，則| MN |=( x -x ) 1 22+( y -y ) 1 222( x -x ) 1 222( x +x ) 1 22-4 x x 2 6 1 210.函數(shù)f ( x ) =2cos 2 x +sin 2 x的最小值是 。10【答案】1 - 2- 2 - / 93ïïî

6、31;÷【解析】f ( x) =cos 2 x +sin 2 x +1 =p2 sin(2 x + ) +14，所以最小值為：1 - 211.若某學(xué)校要從 5 名男生和 2 名女生中選出 3 人作為上海世博會(huì)的志愿者，則選出的志愿者 中男女生均不少于 1 名的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）。11【答案】57【解析】因?yàn)橹挥?2 名女生，所以選出 3 人中至少有一名男生，當(dāng)選出的學(xué)生全是男生時(shí)有：C35，概率為:：C 25 =C 3 77，所以，均不少于 1 名的概率為：12 5=7 7。12. 已知F 、F1 2是橢圓C :x 2 y 2+ =1(a >b >0) a 2

7、 b 2的兩個(gè)焦點(diǎn)， p為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF PF 。若 DPF F 1 2 1 2的面積為 9，則b =.12【答案】3ì|PF | +| PF |=2 a 1 2【解析】依題意，有 í|PF | | PF |=181 2| PF | 2 +| PF | 2 =4c 1 22，可得 4c2364a2，即 a2c29，故有 b3。13. 已知函數(shù) f ( x ) =sin x +tan x。項(xiàng)數(shù)為 27 的等差數(shù)列a n滿足æ p pö a Î - , ,n è 2 2 ø且公差d ¹0 ,若 f ( a )

8、+ f ( a ) +. + f ( a ) =01 2 27，則當(dāng) k=時(shí)，f ( a ) =0. k。13【答案】14【解析】函數(shù)f ( x) =sin x +tan x在 ( -p p， )2 2是增函數(shù)，顯然又為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閍 +a127=a +a226= =2 a14，所以f ( a ) + f ( a ) = f ( a ) + f ( a ) = = f ( a ) =0 ，所以當(dāng) k =14 時(shí)， f ( a ) =0 1 27 2 26 14 k.14.某地街道呈現(xiàn)東西、南北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰街距都為 1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)。若以相互垂直的兩條街道為軸

9、建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）為報(bào)刊零售店，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn) 行站之間路程的和最短。14【答案】（3，3）為發(fā)行站，使 5 個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)【 解 析 】 設(shè) 發(fā) 行 站 的 位 置 為(x,y )， 零 售 點(diǎn) 到 發(fā) 行 站 的 距 離 為z =2 x +2 + y -2 +2 x -3 + y -1 + y -4 + y -3 + x -4 + y -5 + x -6 + y -6- 3 - / 9，這2 2 2 2+( y -2) =4 （D） ( x +2) +( y -1)ïïïî六個(gè)

10、點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的平均值為-2 +3 +3 -2 +4 +6 2 +1 +4 +3 +5 +6 7=2 ， =6 6 2，記A（2，72），畫出圖形可知，發(fā)行站的位置應(yīng)該在點(diǎn) A 附近，代入附近的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較可知，在（3,3）處 z 取得最小值。二。、選擇題（本大題滿分 16 分）本大題共有 4 題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在 答案紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 4 分，否則一律得零分。15 已知直線（ ）l : ( k -3) x +(4 -k ) y +1 =0, 與l : 2( k -3) x -2 y +3 =0, 1 2平行，則 K 得值是（A） 1 或 3（

11、B）1 或 5（C）3 或 5（D）1 或 215、【答案】C3 -k【解析】當(dāng) k3 時(shí)，兩直線平行，當(dāng)k3 時(shí)，由兩直線平行，斜率相等，得：4 -kk3，解得：k5，故選 C。16，如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為3 和 4，過(guò)直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)為 4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是（ ）16、【答案】B【解析】從正面看，應(yīng)看到直角邊為 3 的頂點(diǎn)，而高為 4，故正視圖應(yīng)為 B。17點(diǎn) P（4，2）與圓x2 +y 2=4上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是答（ ）（A）( x -2) +( y +1) =1 （B） ( x -2) +( y +1) =4（C）( x +4)2 2

12、 2 2=117、【答案】Aì 4 +sx =ï 2【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為 Q（s，t），PQ的中點(diǎn)為 A（x，y），則í-2 +ty =î 2ìs =2 x -4 ，解得：ít =2 y +2，代入圓方程，得（2x4）2（2y2）24，整理，得：( x -2)2 +( y +1)2=1- 4 - / 918在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體 感染的標(biāo)志為“連續(xù) 10 天，每天新增疑似病例不超過(guò) 7 人”. 根據(jù)過(guò)去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是答（ ）（A）

13、甲地：總體均值為 3，中位數(shù)為 4 . （B）乙地：總體均值為 1，總體方差大于 0 .（C）丙地：中位數(shù)為 2，眾數(shù)為 3 .（D）丁地：總體均值為 2，總體方差為 3 .18、【答案】D【解析】根據(jù)信息可知，連續(xù) 10 天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過(guò) 7 的數(shù)，選項(xiàng) A 中， 中位數(shù)為 4，可能存在大于 7 的數(shù)；同理，在選項(xiàng) C 中也有可能；選項(xiàng) B 中的總體方差大于 0， 敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于 7 的數(shù)；選項(xiàng) D 中，根據(jù)方差公式，如果有 大于 7 的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為 3，故答案選 D.三解答題（本大題滿分 78 分）本大題共 5 題，解答下列各題必須在

14、答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定 區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 .19（本題滿分 14 分）已知復(fù)數(shù)z =a +bi（ a 、 bÎR+） (I 是虛數(shù)單位 ) 是方程 x2-4 x +5 =0的根 . 復(fù)數(shù)w =u +3i（u ÎR）滿足w -z <2 5，求 u 的取值范圍 .19.解：原方程的根為x1,2=2 ±iQ a、b ÎR +,z =2 ±iQ w -z = (u +3i ) -(2 +i ) = (u -2)2+4 <2 5-2 <u <620（本題滿分 14 分）本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題

15、滿分 8 分 .ur已知ABC 的角 A、B、C 所對(duì)的邊分別是 a、b、c，設(shè)向量 m =( a, b )，r urn =(sin B ,sin A) ， p =(b -2, a -2).ur r（1） 若 m / n ，求證：ABC 為等腰三角形；ur ur （2） 若 m p，邊長(zhǎng) c = 2，角 C =p3，求ABC 的面積 .20 題。證明：（1）uv vQ m / n, a sin A =b sin B ,即a ×a b=b ×2R 2R，其中 R 是三角形 ABC 外接圓半徑，a =bDABC為等腰三角形- 5 - / 9ïï解（2）由題意

16、可知 a +b =ab由余弦定理可知，uv uvm / p =0, 即 a (b -2) +b ( a -2) =04 =a 2 +b 2 -ab =( a +b ) 2 -3ab即( ab ) 2 -3ab -4 =0 ab =4(舍去ab =-1) S =1 1 pab sin C = ×4×sin = 3 2 2 321（本題滿分 16 分）本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 10 分 .有時(shí)可 用函數(shù)ì a0.1 +15ln , x £6,ï a -xf ( x) =íx -4.4, >6&

17、#239;îx-4描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度.其中 x 表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（ x Î N*）， f ( x )表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù) a 與學(xué)科知識(shí)有關(guān).（1）證明：當(dāng) x ³7 時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量 f（x+1）- f(x)總是下降；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的 a 的取值區(qū)間分別為（115，121,(121,127, (127,133.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí) 6 次時(shí)，掌握程度是 85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科.21 題。證明（1）當(dāng)x ³7時(shí)，f ( x +1) -f ( x ) =0.4( x -3)( x -4)而當(dāng) x

18、79;7 時(shí)，函數(shù) y =( x -3)( x -4)單調(diào)遞增，且( x -3)( x -4) >0故函數(shù)f ( x +1) -f ( x)單調(diào)遞減當(dāng)x ³7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f ( x +1) -f ( x)總是下降(2)有題意可知0.1 +15lnaa -6=0.85整理得aa -6=e0.05解得a =e0.05e0.05 -1×6=20.50 ´6 =123.0,123.0 Î(121,127.13 分由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.14 分- 6 - / 9ï22.（本題滿分 16 分）本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 4 分

19、，第 2 小題滿分 4 分，第 3 小 題滿分 8 分.已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(3，0)，一條漸近線m:x+ 2 y =0, 設(shè)過(guò)點(diǎn)A( -3 2,0)v的直線 l 的方向向量 e =(1,k )。（1） 求雙曲線 C 的方程；（2） 若過(guò)原點(diǎn)的直線 a / l ，且 a 與 l 的距離為 6 ，求 K 的值；（3） 證明：當(dāng)k >22時(shí)，在雙曲線 C 的右支上不存在點(diǎn) Q，使之到直線 l 的距離為6.22【解】（1）設(shè)雙曲線 C 的方程為 x2-2 y2=l(l>0) l+l2=3 ，解額 l =2 雙曲線 C 的方程為x 22-y2=1（2）直線l : kx -y

20、 +3 2k =0，直線a : kx -y =0由題意，得| 3 2 k | 1 +k 2= 6，解得k =±22（3）【證法一】設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于 l 的直線b : kx -y =0則直線 l 與 b 的距離 d =3 2| k |1 +k 2, 當(dāng) k >22時(shí)，d > 6又雙曲線 C 的漸近線為 x ± 2 y =0雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線C右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于6。故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為6【證法二】假設(shè)雙曲線C右支上存在點(diǎn)Q ( x , y ) 0 0到直線l的距離為6，ì|kx -y +3

21、2 k 0 0則 í 1 +k 2= 6 (1)ïîx 2 -2 y 2 =2 0 0(2)由（1）得y =kx +3 2k ± 6 × 1 +k 0 02- 7 - / 9設(shè)t =3 2k ± 6 × 1 +k2，當(dāng)k >22時(shí)，t =3 2k + 6 × 1 +k2>0；t =3 2k + 6 × 1 +k2= 6 ´2 k 2 -1 3k 2 + 1 +k 2>0將y =kx +t 0 0代入（2 ）得(1-2 k 2 ) x 2 -4 ktx -2( t 2 +1) =

22、00 02Q k > , t >02，1 -2 k2<0, -4 kt <0, -2( t2+1) <0方程(*)不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為623.（本題滿分 18 分）本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 5 分，第 2 小題滿分 5 分，第 3 小 題滿分 8 分.已知an是公差為 d 的等差數(shù)列，b是公比為q 的等比數(shù)列 n（1）若a =3n +1 n，是否存在m, n Î N*，有a +amm +1=ak？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若 b =aq nn（a、q 為常數(shù)，且 aq ¹ 0）對(duì)任意 m 存在 k，有b ×bm m +1=bk，試求 a、q 滿足的充要條件；（3）若a =2 n +1, b =3 n nn試確定所有的 p,使數(shù)列bn中存在某個(gè)連續(xù) p 項(xiàng)的和式數(shù)列中a的一項(xiàng)，請(qǐng)證明. n23【解】（1）由a +amm +1=a ,k得6 m +6 +3k +1，整理后，可得k -2 m =43,Q m、k ÎN， k -2 m為整數(shù)不存在n、k ÎN*，使等式成立。（2）當(dāng)m