專題：橢圓的焦點三角形

1、橢圓的焦點三角形一知識梳理定義：橢圓（雙曲線）上一點和兩焦點組成的三角形叫焦點三角形； 三角形叫焦點直角三角形。，性質(zhì)一：該三角形一邊長為焦距，另兩邊的和為定值。所以周長為定值有一個角為直角的焦點2a+2c22性質(zhì)二：已知橢圓方程為、+/=1（a Ab0）,兩焦點分別為尸2,設(shè)焦點三角 a b0形 PF1F2 中/F1PF2 = 8,貝 Spf2 = b2 tan-.證明：記 | PF1 |=r1,| PF2 |=r2,由橢圓的第一定義得r1 , r2 = 2a, (r1 -2 )2 = 4a2.在 F1PF2中，由余弦定理得:22ch 2 - 2rjr2 cosi 二配方得：(r1 r2)2

2、 -2r1r2 -2r1r2 cos 1-4c2.即 4a2 _2r1r2(1 cosu) =4c2.一22- 22(a -c )2b1 cos 二 1 cos二由任意三角形的面積公式得:C1.S. F1PF2 =212$訪7' - b2 sin 11 cos1=b2e e2sin cos22 _.22-b2cos 一2e tan.2，.c,2,)S, F1 pf2 - b tan -.22性質(zhì)三：已知橢圓方程為x2+Ir=1（a>b>0）,兩焦點分別為F1尸2,設(shè)焦點三角 a b形 PF1F2 中 /F1PF2 =日，貝tJcosH 之2b2-1=1-2e2.并且點P在y

3、軸上是張角最大。證明：設(shè)PF1 =r1，PF2 =0則在AF1PF2中，由余弦定理得:cos J12r22 一 F1F22 J12)2-212-4。2212212224a2 - 4c2 彳12122b2b21-1-1 =1 -2e .當切僅當r1 = r2，即點P在y軸是cose（。I）2a2取的最小值，而角 e取得最大值。二典型例題22x y 例1如圖把橢圓 +工=1的長軸AB分成8分，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半25 16PF + P2F +.+ P7F =部分于P1 , P2 ,P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則解：只需取橢圓的另一焦點與 P1, P2,P7七個點分別連接，由結(jié)論1

4、和對稱性可知1RF| + P2F +|P7F| = a><（14M5）=3522例2若P是橢圓 "+匕=1上的一點，F(xiàn)1、F2是100 64其焦點，且NF1PF2 =60:1）求 F1PF2的面積2）求點P的坐標22例3已知F1、F2是橢圓 與+4=1（a >b >0）的兩個焦點，橢圓上一點 P使 a b/F1PF2=901求橢圓離心率e的取值范圍。由焦點三角形性質(zhì)二，cos900 .1 -2e2.二 9 < 12三練習(xí)題221.橢圓yTir1上一點P與橢圓兩個焦點F1、F2的連線互相垂直，則4 F1PF2的面積為（）A.20 B. 22 C. 2822

5、.橢圓 + y2 =1的左右焦點為Fi4D. 24F2, P是橢圓上一點，當 F1PF2的面積.為1時，PF1 PF2的值為（）A. 0B. 1C. 3D. 623 .橢圓、+ y2 =1的左右焦點為E、F2, P是橢圓上一點，當 PF2的面積 4最大時，Pf1 PF2的值為（）A. 0 B. 2 C. 4 D.-224 .已知橢圓x2+y2=1 （a>1）的兩個焦點為Fi、F2 , P為橢圓上一點， a且上F1PF2 =60> 則 IPF1 | j PF2 |的值為()A. 1B . 1C . 4D . 23335.已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸,FF2為焦點，點P在橢圓上

6、,5直線P與PF?傾斜角的差為90°, F1PF2的面積是20,離心率為 三,求橢圓的標準方程.226 EE是橢圓C:2+匕=1的焦點，在C上滿足PF1 LPF2的點P的個數(shù)為? 84A. 0 B. 1 C. 3 D. 4227橢圓 人十以=1的焦點為F1、F2,點P為其上的動點，當 NF1PF2為鈍角時，點 P橫94坐標的取值范圍是。8已知橢圓的兩個焦點為 F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若AF1PF2為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）'.2、.2-1A - B-C2 -、29已知 ABC的頂點B、C在橢圓x2 +y2=1上,頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦 4點在BC邊上，則 ABC勺周長是 .J J10設(shè)F1,F2是橢圓£在=1的左、右焦點，點M在橢圓上，若4MFF2是直2S It角三角形，則 M