千奇百怪——整數(shù)們的特別之處

1、千奇百怪整數(shù)們的特別之處 0 0：加法不變，即0+x=x+0=x。1 1：乘法不變，即1*x=x*1=x。這兩條看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際上，這是實(shí)數(shù)域作為線性空間的必要條件。通俗地說(shuō)就是，線性空間中需要有兩個(gè)元素，一個(gè)加了白加，一個(gè)乘了白乘，在實(shí)數(shù)這個(gè)線性空間 中，分別是0和1。2 2：唯一的偶質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)：除1和該數(shù)本身之外無(wú)其它約數(shù)的數(shù)。質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，百以內(nèi)質(zhì)數(shù)有：97。由于比2大的偶數(shù)都有約數(shù)2，所以它們都不是質(zhì)數(shù)，亦即2是唯一的偶 質(zhì)數(shù)。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、3 3：我們生活的空間

2、的維數(shù)。也就是傳說(shuō)中的“三維空間” ，點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，體，或者說(shuō)空間，是三維的。4 4：足夠?yàn)槠矫娴貓D上色的最少顏色數(shù)。這就是著名的“四色猜想” ，即平面地圖上有不同的一片一片區(qū)域（比如世界地圖上的不同國(guó)家） ，對(duì)于相鄰的區(qū)域要用不同的顏色上色，四色猜想說(shuō)，只要四種顏色， 就能按這種要求為任意復(fù)雜的平面地圖上色，該猜想定理。5 5：柏拉圖立體（正多面體）的個(gè)數(shù)。正多面體，是指各個(gè)面都是全等的正多邊形并且各個(gè)多面角都是全等的多面角的多面體。數(shù)學(xué)上由多面體歐拉定理等都可以證明，正多面體只有五種，分別是正四面體、 正六面體（即立方體） 、正八面體、正十二面體、正二十面體。6 6：

3、最小的完美數(shù)。不包括本身的所有約數(shù)的和等于該數(shù)本身，比如6的約數(shù)有1、2、3、6，其中1+2+3=6。完美數(shù)很少，并且至今沒(méi)有發(fā)現(xiàn)奇完美數(shù)。 7 7：邊數(shù)最少的尺規(guī)作圖無(wú)法做出的正多邊形。高斯做出正十七邊形尺規(guī)作圖法時(shí)也給出，尺規(guī)作圖能做出的正多邊形的邊數(shù)只能是任意個(gè)2與任意個(gè)不同的費(fèi)爾馬質(zhì)數(shù)連乘的乘積（這里任意個(gè)均可以為以內(nèi)尺規(guī)作圖能作的正多邊形邊數(shù)為0個(gè)），這樣百3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、3、5、17、65537等）0、1、1、20世紀(jì)被計(jì)算機(jī)證明，故也稱四色30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96，而正七邊形無(wú)法由尺規(guī)作圖

4、作 出。（費(fèi)爾馬數(shù)：2a（2ak）+1，其中的質(zhì)數(shù)稱為費(fèi)爾馬質(zhì)數(shù)，有8 8：斐波那契數(shù)列中最大的立方數(shù)。斐波那契數(shù)列：由0、1開(kāi)始，之后的每個(gè)數(shù)都等于前面兩個(gè)數(shù)的和，即9 9：任意正整數(shù)表示成整數(shù)立方和形式至多需要的立方數(shù)個(gè)數(shù)。也就是說(shuō)，任意一個(gè)正整數(shù)，都能表示成為最多9個(gè)數(shù)的立方和。 1010：我們的數(shù)系的基數(shù)。也就是說(shuō)我們常用的是十進(jìn)制。1111：正整數(shù)數(shù)字連乘歸個(gè)位所需最多步數(shù)。把一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字連乘，得到一個(gè)新的整數(shù)，再對(duì)這個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字連乘，以此類推，直到只剩一位數(shù)字為止，比如9876，9*8*7*6=3024，3*0*2*4=0，至此只 剩一位數(shù)字，9876的這個(gè)過(guò)程一共有2

5、步，而現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，正整數(shù)最多經(jīng)歷11步就能達(dá)到只 剩一位數(shù)字。1212：最小的過(guò)剩數(shù)。不包括本身的所有約數(shù)的和大于該數(shù)本身，12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6=1612，從而12是過(guò)剩數(shù)。較小的自然數(shù)中過(guò)剩數(shù)并不多，20以內(nèi)只有12和18兩個(gè)，再除去完美數(shù)6，其它的都是不足數(shù)，但很大的自然數(shù)幾乎都是過(guò)剩數(shù)，過(guò)?！薄?313：阿基米德立體（半正多面體）的個(gè)數(shù)。 半正多面體是使用兩種或以上的正多邊形為面的凸多面體，共有13種。2、3、5、8、13，其中8是最大的立方數(shù)，也就是說(shuō)8以后，斐波那契數(shù)列中不再有 立方數(shù)。“確實(shí)很11414：滿足如下條件的最小的n：沒(méi)有一個(gè)整數(shù)與n個(gè)小

6、于它的整數(shù)互質(zhì)?；ベ|(zhì)，就是指兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1，也就是在兩個(gè)數(shù)的所有約數(shù)中，只有1是共 有的。比如20，在比它小的數(shù)中，它與3、7、9、11、13、17、19等7個(gè)數(shù)互質(zhì)，比如21，在比它小的數(shù)中，它與2、4、5、7、8、10、11、13、16、17、19、20等12個(gè)數(shù)互 質(zhì)，而有一批數(shù)n,所有的數(shù)都不會(huì)恰好與比它小的n個(gè)數(shù)互質(zhì)，也就是或者比n多，或者比n少，這些n就是不可能的個(gè)數(shù)。而在許許多多的n中，14是最小的一個(gè)。1515：僅有一個(gè)有限群的最小合階數(shù)。 這個(gè)我也不懂啦,我們當(dāng)初學(xué)線性代數(shù)的時(shí)候也沒(méi)講群論,反正簡(jiǎn)單地看了一下,大概就是說(shuō),階數(shù),就是有限群里的元素的個(gè)數(shù),而對(duì)于某些階數(shù)

7、,比如質(zhì)的階數(shù),就是15,15階有限群只有一個(gè),就是c15。1616：唯一一個(gè)能滿足等式xay=yax的整數(shù)，其中x和y是不相等的整數(shù)。（xay表示x的y次方 ）x，y相等的時(shí)候，顯然有xay=yax，而x，y不相等的時(shí)候， 只有2a4=4a2=16這唯一一個(gè)整數(shù)解,也就是2*2*2*2=4*4=16。24,一共有15個(gè)有限群,而對(duì)于另外一些階數(shù),就只有一個(gè)有限群,質(zhì)數(shù)階數(shù)好像都是這樣的,而合 數(shù)里面,最小的一個(gè)具有這個(gè)性1717： 平面對(duì)稱群組（墻紙群組）的個(gè)數(shù)。 這個(gè)我也不是太明白，看了看大概就是說(shuō)，忽略二維墻紙的細(xì)部顏色形狀細(xì)節(jié)，只 考慮小圖案的平鋪方式，每單位以若干正多邊形組成的，不多

8、不少一共有十七種。1818： 唯一一個(gè)等于各位數(shù)字和兩倍的整數(shù)。18=2*（1+8），這個(gè)解釋最短啦1919： 任意正整數(shù)表示成整數(shù)四次方和形式至多需要的四次方數(shù)個(gè)數(shù)。類似于前面9的那條，至多需要19個(gè)數(shù)，它們的四次方的和可以是任意一個(gè)整數(shù)。2020： 六頂點(diǎn)有根樹(shù)的個(gè)數(shù)。 樹(shù)是網(wǎng)絡(luò)圖論中的一個(gè)概念。圖，大致就是常見(jiàn)到的那種組織結(jié)構(gòu)圖的樣式，其中 的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，頂點(diǎn)之間有連線，就是這一類圖。所有的圖當(dāng)中，樹(shù)是指其中滿足以下條件的那一部分圖：整個(gè)樹(shù)是連通的，而且其中沒(méi)有環(huán)路。而有根樹(shù)，就是樹(shù)中有一個(gè) 頂點(diǎn)是根，根的位置不同可能樹(shù)就不同，總結(jié)起來(lái)以上的意思就是，三個(gè)頂點(diǎn)的有根 樹(shù)，有兩種。而這個(gè)條

9、目是說(shuō)，六個(gè)頂點(diǎn)的有根樹(shù)，有20種。2121： 用不同的小正方形拼大正方形至少需要的個(gè)數(shù)。 用幾個(gè)數(shù)的平方和湊另一個(gè)數(shù)的平方很簡(jiǎn)單，勾股定理，只要兩個(gè)就可以；用相同 的小正方形拼大正方形，這個(gè)干脆一點(diǎn)難度都沒(méi)有，4個(gè)，9個(gè)，16個(gè)，都行；但是要用兩兩不同的小正方形拼成一個(gè)大正方形，就不是那么簡(jiǎn)單了，至少需要方形才能做到。 （勾股定理跟這個(gè)兩碼事，3*3與4*4不可能拼成5*5）2222：8的劃分的種數(shù)。把一個(gè)正整數(shù)拆成若干個(gè)正整數(shù)的和（若干個(gè)也包括一個(gè)，也就是這個(gè)整數(shù)本 身），稱為一種劃分，比如4=3+1，這就是4的一種劃分，4=2+1+1，這就是4的另外一種 劃分，除此之外還有4=4，4=2

10、+2，4=1+1+1+1，總共是5種劃分，也就是把四個(gè)相同的東 西放到若干個(gè)相同的盒子里，一共有5種放法。上面21個(gè)不同的小正說(shuō)的是4有5種劃分，而條目說(shuō)的是8，有22種劃分。2323：整數(shù)邊小長(zhǎng)方體不共棱拼成大長(zhǎng)方體至少需要的個(gè)數(shù)。 小長(zhǎng)方體拼成大長(zhǎng)方體很簡(jiǎn)單，但是這里要求不共棱，也就是說(shuō)，每個(gè)小長(zhǎng)方體的12條棱，所有這些小長(zhǎng)方體所有的棱沒(méi)有任何兩條是完全重合的（簡(jiǎn)單想象一下就知道 了，這個(gè)很困難的） 。那么用邊長(zhǎng)是整數(shù)的小長(zhǎng)方體，以這種不共棱的形式拼成大長(zhǎng)方 體，至少需要23個(gè)。2424：能被平方根以下所有整數(shù)整除的最大整數(shù)。平方根常會(huì)用在判斷質(zhì)數(shù)的場(chǎng)合，如果一個(gè)數(shù)不能被平方根以下1以上的

11、所有整數(shù)整 除，那么這個(gè)數(shù)就是質(zhì)數(shù)。不過(guò)這里說(shuō)的這個(gè)事情與之完全相反，能被平方根以下所有 整數(shù)整除，24的平方根在4和5之間，而24能被1、2、3、4每個(gè)數(shù)整除，可以認(rèn)為是天 下 最合的合數(shù)，在所有這樣的合數(shù)里，24是最大的一個(gè)，2其它的還有4、6、8、12。 2525：能表示為兩數(shù)平方和的最小平方數(shù)。也就是勾股定理里最小的一組，3*3+4*4=5*5=25。 2626：唯一一個(gè)恰巧夾在平方數(shù)與立方數(shù)之間的數(shù)。25是5的平方，而27是3的立方。像這樣被夾在中間的，只有26這一個(gè)數(shù)。2727： 等于自己立方的數(shù)字和的最大的數(shù)。27人3=19683,1+9+6+8+3=27，這樣的數(shù)里27是最大的

12、。這樣的數(shù)還有1、8、17、18。2828：第二個(gè)完美數(shù)。完美數(shù)參見(jiàn)前面6那一條，第三個(gè)完美數(shù)就要到496了。目前發(fā)現(xiàn)的完美數(shù)都是以6或8結(jié)尾的。2929：第七個(gè)盧卡斯數(shù)。盧卡斯數(shù)就是以1、3為前兩項(xiàng)的斐波那契數(shù)列，前十項(xiàng)為1、3、4、7、11、18、29、47、76、123。3030：與所有小于它的合數(shù)不互質(zhì)的最大的數(shù)。 原來(lái)?xiàng)l目說(shuō)的是，所有既比它小又與它互質(zhì)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，逆否命題，一回事。對(duì)于30，這些質(zhì)數(shù)就是7、11、13、17、19、23、29。30擁有三個(gè)小質(zhì)因數(shù)2、3、5，因此 與30互質(zhì)的最小合數(shù)是7*7=49。這種數(shù)里30是最大的，其它還有3、4、6、8、12、18、24。31

13、31：梅森質(zhì)數(shù)。梅森質(zhì)數(shù)就是（2人n-1）形式的質(zhì)數(shù)，即“二的n次方減一”，這樣的質(zhì)數(shù)有3、7、31、127、8191等。梅森質(zhì)數(shù)雖然不像費(fèi)爾馬質(zhì)數(shù)那樣只有前面幾個(gè)，但也同樣稀缺，發(fā) 現(xiàn)一條新聞，長(zhǎng)達(dá)七百八十萬(wàn)位的數(shù)“2的次方減1”被發(fā)現(xiàn)是質(zhì)數(shù)，而這僅僅 是第四十二個(gè)梅森質(zhì)數(shù)。3232：除1以外最小的五次方數(shù)。2*2*2*2*2=32。3333： 不能寫(xiě)成不同三角數(shù)和形式的最大整數(shù)。 先來(lái)說(shuō)三角數(shù)。一個(gè)點(diǎn)陣，第一行一個(gè)點(diǎn)，第二行兩個(gè)點(diǎn)，以此類推，每行比上一 行多一個(gè)點(diǎn)，也就是第n行就有n個(gè)點(diǎn)（可以想象成跳棋里放棋子的那個(gè)區(qū)域） 。前n行， 組成一個(gè)三角形，那么這個(gè)三角形里所有的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是第

14、n個(gè)三角形數(shù)。也就是說(shuō)，第n個(gè)三角形數(shù)，就等于1+2+n，等差數(shù)列求和，n*（n+1）/2。于是三角數(shù)有1、3、6、10、15、21等。比較大的整數(shù)，都能拆成若干個(gè)不同的三角數(shù)的和，而比較小的整數(shù) 里面有一些就不能，而這些不能這樣拆的書(shū)里面，最大的是3434：與相鄰數(shù)約數(shù)一樣多的最小整數(shù)。33的約數(shù)有1、3、11、33，34的約數(shù)有1、2、17、34，35的約數(shù)有1、5、7、35，一 樣都是33。四個(gè)約數(shù)，像這種與鄰居約數(shù)個(gè)數(shù)相同的數(shù)，34是最小的一個(gè)。3535：六連塊的個(gè)數(shù)。這個(gè)名字我自己起的，也不知具體該叫什么，反正這個(gè)“連塊”就是說(shuō)，四連塊叫做tetromi no，另外二連塊就是傳說(shuō)中的

15、諾）。不考慮旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)的，稱為翻轉(zhuǎn)）。既考慮翻轉(zhuǎn)又考慮旋轉(zhuǎn)，稱為種（并不是四七二十八，因?yàn)橛械姆綁K是中心對(duì)稱的，是四連塊，而這個(gè)條目是說(shuō)，既不考慮旋轉(zhuǎn)又不考慮翻轉(zhuǎn)，也就是1*1的小正方形，n個(gè)連在一起。比如說(shuō)最普通的俄羅斯方塊，那里的每個(gè)單位就是一個(gè)四連塊（俄羅斯方塊叫tetris，domi no（多米free，這樣四連塊一共有5種。只考慮翻轉(zhuǎn)，不考慮旋轉(zhuǎn)，稱為one-sided，這樣四連塊一共有7種，這就是俄羅斯方塊里的七種方塊（因?yàn)?游戲里只能旋轉(zhuǎn)不能fixed，這樣四連塊一共有192*2甚至是四方對(duì)稱的） 。這說(shuō)的free的情況下，六連塊一共有35種（還記得中學(xué)的時(shí)候親自畫(huà)過(guò)的，很不容易

16、呢） 。這個(gè)數(shù)字增長(zhǎng)也很快， 都是free,七連塊有108種，八連塊有369種。 3636：除1以外既是平方數(shù)又是三角數(shù)的最小整數(shù)。36=6*6=1+2+3+4+5+6+7+8。3737：任意正整數(shù)表示成整數(shù)五次方和形式至多需要的五次方數(shù)個(gè)數(shù)。3類似于前面9和19那兩條， 最多37個(gè)五次方數(shù)就能累加成任意一個(gè)正整數(shù)。 發(fā)現(xiàn)一個(gè) 小規(guī)律，9=8+1，19=16+3，37=32+5，不知道前面和后面還滿足不滿足。 3838：按字母順序排列時(shí)排在最后的羅馬數(shù)字。羅馬數(shù)字中i是1,v是5,x是10，38寫(xiě)成羅馬數(shù)字是xxxviii，把從1到無(wú)窮所有 的羅馬數(shù)字放在一起,按照字母順序abcd排列（原條目

17、用的詞是lexicographically,意為 “字典編纂地”）,前一位相同就看下一位,最后排下來(lái),所有的數(shù)里這個(gè)xxxviii是排在最后的。 （為了這個(gè)條目研究了一上午,突然靈光一閃研究明白了） 3939：可以劃分為三組乘積相同的三個(gè)數(shù)的最小整數(shù)。前面22里提到過(guò)劃分,這里是說(shuō),一個(gè)數(shù),它的三種劃分,每種劃分都得到了三個(gè) 小整數(shù),三種劃分里這三個(gè)數(shù)的乘積是相同的。這樣的數(shù),4040：唯一一個(gè)字母按字母順序排列的數(shù)。就是說(shuō)40的英文forty這五個(gè)字母是按照字母表的先后順序排的,英文表示的那么多 數(shù),這樣的數(shù)只有40這一個(gè)。4141：一個(gè)有如下特性的n值：使得x=0,1,n-2時(shí),都有x*x

18、+x+n是質(zhì)數(shù)。39是最小的。excel之,偶終于找到了這三種劃分,39=4+15+20=5+10+24=6+8+25,4*15*20=5*10*24=6*8*25=1200。就是說(shuō)現(xiàn)在n等于41,那么x等于從0到39任意一個(gè)數(shù)時(shí)，xa2+x+41都是質(zhì)數(shù)（41、43、47、53、61、71、83、97等,這是一個(gè)兩項(xiàng)之間的差為等差數(shù)列的數(shù)列） 。x=40時(shí),這個(gè)值就會(huì)達(dá)到41的平方,不再是合數(shù)。要知道質(zhì)數(shù)的分布幾乎是找不到規(guī)律的, 能把40個(gè)質(zhì)數(shù)統(tǒng)一在一個(gè)式子里是很不簡(jiǎn)單的事情。4242：第五個(gè)卡塔蘭數(shù)。 連出正方形的一條對(duì)角線，那么這條對(duì)角線就把原來(lái)的正四邊形分成了兩部分（4-2）部分），

19、這里要考慮到旋轉(zhuǎn)，所以另一條對(duì)角線算是另一種方法，于是把正四邊形分成（4-2）部分的方法一共有2種。把一個(gè)正（n+2）邊形用頂點(diǎn)之間互不交叉的連線分成部分，旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)所得也都算進(jìn)去，總共的方法數(shù)就是第是第二個(gè)卡塔蘭數(shù)，而易知，第一個(gè)卡塔蘭數(shù)是n個(gè)卡塔蘭數(shù)。前面說(shuō)的2,就1，也就是把正三角形切成一塊的方法n個(gè)數(shù)。這里說(shuō)的是,42是第五個(gè)卡塔蘭數(shù),就是說(shuō),把正七邊形用頂點(diǎn)間不交叉連線分成部分,一共有42種分法。前十個(gè)卡塔蘭數(shù)：1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796。4343：含翻轉(zhuǎn)七鉆圖案數(shù)。5前面提到過(guò)六連塊,那是在拼正方形,現(xiàn)在每個(gè)單位變成正三角形,七個(gè)正三角

20、形，翻轉(zhuǎn)計(jì)入，旋轉(zhuǎn)不計(jì)入（這叫做4444：5件東西完全放錯(cuò)位置的情況個(gè)數(shù)。就是說(shuō)，原本的順序是12345，現(xiàn)在還是這5個(gè)數(shù)排在一起，但每個(gè)數(shù)字都不在自己 原來(lái)的位置，這樣的情況一共有44種。也就是說(shuō)，一共5位的猜數(shù)字游戲，會(huì)出現(xiàn)0a5b的猜法一共有44種。4545：雷劈數(shù)（卡普利加數(shù)） ?？ㄆ绽訑?shù)是指，如果一個(gè)n位數(shù)x，把它的平方從中間切開(kāi)，后面得到一個(gè)n位數(shù)，sided 7-iamo nds），共有43種拼法。前面得到一個(gè)n位數(shù)或n-1位數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相加得到原來(lái)的數(shù)一半寫(xiě)著x，那么x就是卡普利加數(shù)。45*45=2025，20+25=45。據(jù)說(shuō)這種數(shù)是當(dāng)初數(shù)學(xué)家卡普利加在暴風(fēng)雨后看到路邊的里

21、程 碑被雷劈成兩半，30，一半寫(xiě)著25，30+25=55，55*55=3025。前幾個(gè)卡普利加數(shù)是1，9，45，55，99，297，703。4646：不含翻轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)九后問(wèn)題解法個(gè)數(shù)。n后問(wèn)題是指，把n個(gè)國(guó)際象棋里的后，放在n*n的正方形棋盤(pán)上，要求這些后兩兩不 能互相攻擊（不共橫線，不共豎線，不共斜線） 。普通的國(guó)際象棋棋盤(pán)上的八后問(wèn)題有12種解法，這里說(shuō)的9*9棋盤(pán)上的九后問(wèn)題則有46種解法。這里經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)得到的解 法都不計(jì)入。4747：不能連加為一個(gè)立方數(shù)的立方數(shù)最大個(gè)數(shù)。這種句式就是比較別扭，解釋一下。費(fèi)爾馬大定理中指數(shù)為三時(shí)，有aa3+ba3=ca3沒(méi)4有正整數(shù)解，這就是說(shuō)，兩個(gè)立方

22、數(shù)不可能相加成為一個(gè)立方數(shù)?；蛘哒f(shuō)，一個(gè)立方數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)的立方和。這個(gè)條目說(shuō)，有這樣一些數(shù)立方和，前面說(shuō)的2就是其中的一個(gè)，而這些數(shù)里面最大的4848：擁有10個(gè)約數(shù)的最小的數(shù)。48的約數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。n，個(gè)立方數(shù)不能寫(xiě)成n個(gè)數(shù)的n是47。4949：與相鄰數(shù)都是倍平方數(shù)的最小整數(shù)。squareful，這里自己起了個(gè)名字叫倍平方”，就是說(shuō)這個(gè)數(shù)或者是完全平方數(shù)，或者是完全平方數(shù)的整數(shù)倍（當(dāng)然本身也是本身的整數(shù)倍啦）。49=7*7，48=2*2*2*2*3，50=2*5*5，鏈接里把squareful解釋為至少有一對(duì)相同的質(zhì)因數(shù)，與前面 說(shuō)的是一個(gè)意思。50

23、50：可用兩種方式表示成兩數(shù)平方和的最小整數(shù)。50=1*1+7*7=5*5+5*5。5151：第六個(gè)莫茨金數(shù)。沒(méi)有圖還真不好解釋， 舉個(gè)例子吧， 架橋， 寬n單位的水面， 每單位寬度上要架一段橋，“橋段 ”有三種，上坡，平路，下坡(當(dāng)然專業(yè)一點(diǎn)可以叫做三個(gè)向量三個(gè)要求，第一，整座橋不能斷開(kāi)，是一條折線，第二，橋的兩端高度都是(1,1)、(1,0)、(1,-1)，0，也就是上坡和下坡數(shù)量要相等， 第三，整個(gè)橋面要在水的上方，縱坐標(biāo)永遠(yuǎn)不能小于零。非軸對(duì)稱的翻 轉(zhuǎn)所得也計(jì)入，這樣寬n的水面能造的橋的種數(shù)就是第5252：第五個(gè)貝爾數(shù)。貝爾數(shù)：把n個(gè)不同的物品分成任意組，每組任意個(gè)，總共的分法種數(shù)，就

24、是第n個(gè)貝爾數(shù)。 比如1、2、3三個(gè)物品， 可以有(1 ),(2),(3)、(1),(2,3)、(1,2),(3)、(1,3),(2)、(1,2,3)這樣五種分法， 于是第三個(gè)貝爾數(shù)就是5，而條目說(shuō)第五個(gè)貝爾數(shù)是52。前十個(gè)貝爾數(shù)是1，2，5，15，52，203，877，4140，21147，115975。 5353：唯一一個(gè)十進(jìn)制與十六進(jìn)制寫(xiě)法相反的兩位數(shù)。n個(gè)莫茨金數(shù)。51第六個(gè)莫茨金數(shù)，是前十個(gè)莫茨金數(shù)是：1，2，4，9，21，51，127，323，835，2188。十進(jìn)制的53，寫(xiě)成十六進(jìn)制是35，也就是3*16+5=53，這樣的兩位數(shù)只有這一個(gè)。 5454：可用三種方式表示成三數(shù)平方

25、和的最小整數(shù)。54=1*1+2*2+7*7=2*2+5*5+5*5=3*3+3*3+6*6，這一條跟前面50那一條還是有密切聯(lián) 系的。5555：斐波那契數(shù)列里最大的三角數(shù)。這兩個(gè)名詞分別在8和33里解釋過(guò)，不再重復(fù)了。5656： 五階正規(guī)化拉丁方的個(gè)數(shù)。n階拉丁方，是指一個(gè)n*n的方陣，里面的元素有n個(gè)1,n個(gè)2, . ,n個(gè)n,也就是從1到n各n個(gè)，而且要求相同的數(shù)字不共行不共列，那么也就是每行、每列都是由1,2,n構(gòu)成的。而這樣交換一下各行各列的順序就會(huì)出現(xiàn)很多拉丁方，比如說(shuō)四階拉 丁方就有576種。如果要去除這些重復(fù)， 就要引入正規(guī)化的概念， 正規(guī)化拉丁方， 就是指首 行首列都是按從1到

26、n的順序排列的。這樣, 四階正規(guī)化拉丁方只有四個(gè), 而這里條目說(shuō)的 是五階正規(guī)化拉丁方有56個(gè)(五階拉丁方總共有161280個(gè))。5757：轉(zhuǎn)換成七進(jìn)制為111。1*7*7+1*7+1=57。 5858：四階交換半群的個(gè)數(shù)。前面說(shuō)過(guò)了,我也不是太懂,簡(jiǎn)單看了一下,就是說(shuō),有一些元素和一種二元運(yùn)算(就 是兩個(gè)元素進(jìn)行這種運(yùn)算得到另一個(gè)元素) ,如果這種運(yùn)算滿足結(jié)合律, 這個(gè)系統(tǒng)就叫半群, 如果還滿足交換律, 這就叫交換半群,而四階就是指四個(gè)元素。于是這里說(shuō),四階交換半群 有58個(gè)。5959：星形二十面體的個(gè)數(shù)。這里的二十面體是廣義的, 因?yàn)樾切味嗝骟w大多不是凸多面體。 這里二十面體是指整個(gè) 立體

27、所有的面分布在二十個(gè)平面上, 同時(shí)還有其他幾條要求, 首先所有的小面要全等, 第二, 對(duì)于20個(gè)面中的每一個(gè)面,上面的形狀5要三次對(duì)稱(就是繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)不變,亦即旋轉(zhuǎn)360度出現(xiàn)三次相同形狀,而中心對(duì)稱實(shí)際就是二次對(duì)稱)面體,總共有59個(gè)。6060：能被從1到6每個(gè)數(shù)整除的最小整數(shù)。120度所得形狀,第三,所有的部分都要在立體的外側(cè),第四,能分成兩部分,每部分各自有完整對(duì)稱性的,不計(jì)入。以上 這五條都滿足的星形二十60的約數(shù)有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60,我們必須承認(rèn),我們?cè)跁r(shí) 間上所采用的六十進(jìn)制、 二十四進(jìn)制都是約數(shù)很多, 很方便進(jìn)行分配的數(shù)字, 必須感謝我

28、們 的先賢。6161：第六個(gè)歐拉數(shù)。這個(gè)歐拉數(shù)可不好解釋了。第n個(gè)歐拉數(shù)，就是正割函數(shù) (sec x)泰勒展開(kāi)式的n次項(xiàng)6系數(shù)的分子，其中分母是n!。我覺(jué)得啊，既然前面連什么是質(zhì)數(shù)都解釋了，這里也就沒(méi)什 么必要把泰勒展開(kāi)的過(guò)程說(shuō)一遍了， 簡(jiǎn)單理解也就是把一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成非負(fù)整數(shù)次項(xiàng)組成的 多項(xiàng)式函數(shù)。第奇數(shù)個(gè)歐拉數(shù)都是0（也就是展開(kāi)式里沒(méi)有奇數(shù)次項(xiàng)） ，第0、2、4、6、8個(gè)歐拉數(shù)為1、1、5、61、1385。6262：可用兩種方式表示成不同三數(shù)平方和的最小整數(shù)。前面54可以用三種方式表示成三數(shù)平方和，但那里有兩種中都有相同數(shù)字。而62=2*2+3*3+7*7=1*1+5*5+6*6，三個(gè)數(shù)都是

29、不同的。6363：五元素偏序集的個(gè)數(shù)。嗯，這個(gè)徹底不懂啦。好像，大概意思吧，就是說(shuō)一共有集合里有一個(gè)關(guān)系，類似于實(shí)數(shù)里的小于等于，滿足三個(gè)條件：第一，5個(gè)元素，組成一個(gè)集合，這a=a；第二，如果a=b且b=a，貝u a=b；第三，如果a=b且b=c，貝u a=c（這里=指的是這種關(guān)系，不是 實(shí)際意義上的小于等于） 。有這樣的關(guān)系，連集合帶關(guān)系這個(gè)整體就叫做偏序集。 6464：擁有七個(gè)約數(shù)的最小整數(shù)。完全平方數(shù)擁有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，其他的數(shù)擁有偶數(shù)個(gè)約數(shù)。64的約數(shù)有1、2、4、8、16、32、64。6565：與反寫(xiě)數(shù)相加相減都得到平方數(shù)的最小整數(shù)。65反過(guò)來(lái)寫(xiě)是56，65+56=121，是11的平方

30、，65-56=9，是3的平方。有這樣特性感嘆一句，這么稀奇古怪的特性都誰(shuí)研究出來(lái)的6666：八鉆圖案數(shù)?？梢詤⒁?jiàn)43那條，這里是說(shuō)八鉆圖案一共 翻）的整數(shù)65最小。66種。不過(guò)這里的八鉆圖案數(shù)指的是旋轉(zhuǎn)、121種。轉(zhuǎn)都不計(jì)入的情況，含翻轉(zhuǎn)的八鉆圖案一共有6767：五六進(jìn)制下均為回文數(shù)的最小整數(shù)。67五進(jìn)制下為232，六進(jìn)制下為151，都是從左往右看和從右往左看數(shù)字不變的回文數(shù)。6868:圓周率n中最后出現(xiàn)的2位數(shù)字符串。舉個(gè)例子吧，圓周率前幾位3.288，出現(xiàn)的2位數(shù)字符串依次有14、41、15、59、92、26、65、53、58、89等等，n是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所有的2位數(shù)早晚都要出現(xiàn)的，而最

31、晚出現(xiàn)的2位數(shù)就是68。6969： 平方與立方恰由從0到9十個(gè)數(shù)字組成。69*69=4761，69*69*69=328509，恰好包含從0到9每個(gè)數(shù)字各一個(gè)。 7070：過(guò)剩數(shù)中最小的不等于部分約數(shù)和的數(shù)。過(guò)剩數(shù)參見(jiàn)12。不含本身的所有約數(shù)和比原數(shù)大，（顯然，不足數(shù)都不能寫(xiě)成部分約數(shù)和7171：能整除小于它的所有質(zhì)數(shù)的和。小 于71而有些過(guò)剩數(shù)如12=1+2+3+6=2+4+6，）。18=1+2+6+9=3+6+9，可以寫(xiě)成部分約數(shù)的和， 而70就是不能寫(xiě)成部分約數(shù)和的過(guò)剩數(shù)中的 最小的一個(gè)的 質(zhì) 數(shù) 的 和 為。2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47

32、+53+59+61+67=568=71*87272： 六維空間中一個(gè)六維球周圍最多的等球數(shù)。我的理解可能會(huì)有錯(cuò)誤，如果沒(méi)錯(cuò)的話，概念就是到某個(gè)點(diǎn)距離一定的所有點(diǎn)的集合。下面就來(lái)解釋一下。 在任意維的空間中， 球的一維球大概就是兩個(gè)點(diǎn)， 二維球是圓。 拿二維舉個(gè)例子，一堆等圓（就是大小一樣的圓）放在一起，互不相交（可以想象大家都是固體的圓片），那么每個(gè)圓最多能與六個(gè)圓相鄰，三維的情況下就是指把一堆乒乓球放在一起，每 個(gè)乒乓球最多與多少個(gè)乒乓球相鄰，而結(jié)論是12個(gè)。推廣到六維空間，這個(gè)數(shù)字就增大到72。7373： 除1以外比反寫(xiě)數(shù)的兩倍小1的最小整數(shù)。773反寫(xiě)為37，37*2=74=73+1。這

33、樣的數(shù)最小的是1，其次就是73。 7474：頂點(diǎn)數(shù)最少的不同非漢密爾頓多面體的個(gè)數(shù)。這個(gè)偶也是大概地理解一下， 說(shuō)不定是錯(cuò)的。 漢密爾頓多面體， 就是說(shuō)存在一個(gè)漢密爾 頓環(huán)， 由多面體上的部分棱組成閉合折線，經(jīng)過(guò)多面體所有頂點(diǎn)， 但只經(jīng)過(guò)一次（也就是從 一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)各一次最后回到出發(fā)點(diǎn)） 。而不能用這種方式連接所有頂點(diǎn)的 多面體，就是非漢密爾頓多面體，這樣的多面體中，頂點(diǎn)數(shù)最少的，一共有74種不同形狀。 7575：允許并列的情況下四個(gè)物品的排序種數(shù)。舉個(gè)例子， 就是說(shuō)四個(gè)選手比賽，比了一大堆，最后如果允許有并列， 那么所得的比賽 結(jié)果一共可能有75種。其中分出一二三四名的有24種

34、，有一對(duì)并列的有36種，兩對(duì)分別并列的有6種，有三個(gè)人并列的有8種，四個(gè)人徹底并列的還有1種，24+36+6+8+1=75。 7676：自守?cái)?shù)。一個(gè)數(shù)k,如果n*k*k的尾數(shù)為k，則k稱為關(guān)于n的自守?cái)?shù)。關(guān)于1的自守?cái)?shù)簡(jiǎn)稱為 自守?cái)?shù)。 也就是說(shuō)自守?cái)?shù)的平方尾數(shù)是原來(lái)的數(shù)。76*76=5776，自守?cái)?shù)有1、5、6、25、76、376、625等,除1以外,所有的自守?cái)?shù)都以前面的數(shù)結(jié)尾,如6、76、376、9376。7777：不能寫(xiě)成倒數(shù)和為1的不同整數(shù)的和的最大整數(shù)。舉個(gè)例子,1/2+1/3+1/6=1,2+3+6=11,11就能寫(xiě)成倒數(shù)和為1的不同整數(shù)的和。而有 些書(shū)就不能寫(xiě)成倒數(shù)和為1的不同整

35、數(shù)的和,77是其中最大的數(shù)。 7878：可用三種方式表示成不同四數(shù)平方和的最小整數(shù)。這個(gè)跟前面的62很有關(guān)系,78=2*2+3*3+4*4+7*7=1*1+4*4+5*5+6*6=1*1+2*2+3*3+8*8每組四個(gè)數(shù)都是不同的。7979：可交換的質(zhì)數(shù)。好像是說(shuō),79是質(zhì)數(shù),97也是質(zhì)數(shù)。這樣的2位數(shù)的質(zhì)數(shù)還有1 1、1 3、1 7、37（只列 出較小數(shù)字在前的） 。8080：本身和本身加一都是四個(gè)以上質(zhì)數(shù)乘積的最小的數(shù)。80=2*2*2*2*5,81=3*3*3*3,兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)都能分出4個(gè)以上的質(zhì)數(shù),這樣的相 鄰數(shù)里最小的就是805、6結(jié)尾,而且5、6兩系列中后面的數(shù)都以,和81（因

36、為2和3的差距,奇合數(shù)質(zhì)因數(shù)往往比附近的偶合數(shù)少） 。 8181：數(shù)字和的平方。8+1=9,9*9=81。8282：六連六邊形的個(gè)數(shù)。類似前面的六連塊, 這里單位變成正六邊形,82種,如果計(jì)入翻轉(zhuǎn)則有147種。旋轉(zhuǎn)、 翻轉(zhuǎn)所得不計(jì)入, 六連正六邊形有8383:19九個(gè)數(shù)字組成的平方數(shù)的個(gè)數(shù)。由19九個(gè)數(shù)字組成九位數(shù)，一共能組成個(gè)。8484:14元素排列的最大階數(shù)。8585:從1到該數(shù)所有整數(shù)的平方和等于一個(gè)三角數(shù)的最大整數(shù)。其實(shí)就是1+22+32+?4 -852=l+2+3+ ? ?+645-208335能滿足這個(gè)式子的數(shù)中85是最大的 一個(gè)。8686:轉(zhuǎn)換成六進(jìn)制為222。2*6*6+2*6+2-86。8787:前四個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和。22+32+52+72=87。362880個(gè)數(shù)，這么多數(shù)當(dāng)中，完全平方數(shù)有838888：唯一已知的平方數(shù)無(wú)孤立數(shù)字的數(shù)。88z